В а р и а н т № 1
Часть В
В1 Железнодорожный билет для взрослого стоит 1800 рублей. Стоимость билета школьника составляет 60% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 32 школьников и 3 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях.
В2 На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Иркутске с 3 по 15 февраля 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 2 миллиметров осадков.
В3 Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки на 800 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант? Цена дизельного топлива 25 р. за литр, бензина 30 р. за литр, газа 20 р. за литр.
Автомобиль | Топливо | Расход топлива на 100 км | Арендная плата за 1 сутки |
1. | Дизельное | 7 | 3700 |
2. | Бензин | 10 | 3200 |
3. | Газ | 14 | 3200 |
В4 В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 65, ВС = 52.
Найдите тангенс угла В.
В5 Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
В6 Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
 |
В7 Найдите значение выражения 
В8 Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите ординату точки касания.
В9 В прямоугольном параллелепипеде АВСТА1В1С1Т1 известно, что
ВТ1 = 3 , СТ = АТ = 2 . Найдите длину ребра АА1 .
В10 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
В11 Около шара описан цилиндр, полная площадь поверхности которого равна 36. Найдите площадь поверхности шара.
В12 Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением , где , , . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите
(в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
В13 Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14 Найдите точку максимума функции 
Часть С
С1 А) Решите уравнение .
Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
С4 Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М. Известно, что площадь треугольника АКМ равна 35 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите длину отрезка КМ.
С6 Задумано несколько различных целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2 , 3 и 5 , то на доске будет выписан набор 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 , 10 .
а) На доске выписан набор -13 , -9 , -5 , -4 , -1 , 4 , 8 .
Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно девять раз. Какое наименьшее количество чисел могло
быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор.
Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
В а р и а н т № 1
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | B7 | B8 | B9 | B10 | B11 | B12 | B13 | B14 |
39960 | 4 | 5100 | 0,75 | -23 | 7,5 | 5 | -3 | 1 | 0,07 | 24 | 20 | 64 | -19 |
С1 А) 
Б) 
С4 1) Достаточно показать, что углы АКМ и АО1О2 , АМК и АО2О1
измеряются половинами соответствующих дуг АВ.
2) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны
от прямой АВ, а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ.
Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия
треугольников АКМ и АО1О2 равен 
, то есть 
.
Поэтому КМ = 
О1О2 = 14.
С6 а) -9 , -4 , 8 ; б) 6 ; в) нет
Вариант № 2
Часть В
В1 Флакон шампуня стоит 95 рублей Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%?
В2 На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций компании в первые две недели сентября. 5 сентября бизнесмен приобрел 25 акций этой компании. Шесть из них он продал 8 сентября, а 12 сентября продал остальные акции. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?
В3 Клиент хочет арендовать автомобиль на двое суток для поездки общей протяженностью 900 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант? Цена дизельного топлива 25 р. за литр, бензина 30 р. за литр, газа 20 р. за литр.
Автомобиль | Топливо | Расход топлива на 100 км | Арендная плата за 1 сутки |
1. | Дизельное | 9 | 3600 |
2. | Бензин | 10 | 3400 |
3. | Газ | 14 | 3200 |
В4 В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 375 , ВС = 105 .
Найдите cos A .
В5 Найдите корень уравнения
В6 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 
1 см изображен круг (см. рисунок). Найдите площадь (в квадратных сантиметрах) незакрашенной части круга. В ответе запишите значение 
.
В7 Найдите значение выражения .
В8 На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (-5 , 5) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой или совпадает с ней.
|
В9 В правильной треугольной пирамиде SABC точка R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1 , а SR = 2 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В10 Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
В11 Около шара описан цилиндр, объём которого равен 120 . Найдите объём шара.
(объём шара равен ; объём цилиндра равен )
В12 Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: 
. Определите минимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц 
составит не менее 120 тыс. руб.
В13 Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
В14 Найдите точку максимума функции
Часть С
С1 А) Решите уравнение .
Б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
С4 Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М. Известно, что длина отрезка КМ равна 8 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 16 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите площадь треугольника АКМ.
С6 Задумано несколько различных целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2 , 3 и 5 , то на доске будет выписан набор 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 , 10 .
а) На доске выписан набор -11 , -7 , -5 , -4 , -1 , 2 , 6 .
Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно четыре раза. Какое наименьшее количество чисел могло
быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор.
Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Вариант № 2
В1 | В2 | В3 | В4 | В5 | В6 | В7 | В8 | В9 | В10 | В11 | В12 | В13 | В14 |
13 | 12600 | 8920 | 0,96 | 6,5 | 6,75 | -1 | 3 | 3 | 0,36 | 80 | 2 | 52 | 5 |
С1. А) 
; 
Б) 
С4 1) Достаточно показать, что углы АКМ и АО1О2 , АМК и АО2О1
измеряются половинами соответствующих дуг АВ.
2) Покажите, что центры окружностей расположены по одну сторону
от прямой АВ, а точка В лежит между на продолжении отрезка КМ.
Площадь треугольника АО1О2 равна 160 , коэффициент подобия
треугольников АКМ и АО1О2 равен 
, то есть 
.
Поэтому площадь треугольника АКМ = 
160 = 40.
С6 а) -7 , -4 , 6 ; б) 5 ; в) нет
Вариант № 3
Часть В
В1 В городе N живет 50000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 40% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает?
В2 Посев семян тыквы рекомендуется проводить в мае при дневной температуре воздуха не менее + 90С. На рисунке показан прогноз дневной температуры воздуха в первые три недели мая. Определите, в течение скольких дней можно производить посев тыквы.
В3 Для транспортировки 63 тонн груза на 500 км. можно использовать одного из трех перевозчиков. Причем у каждого из них своя грузоподъемность используемых автомобилей. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс?
|
В4 В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB , равна 24 , AD = 25. Найдите косинус угла B .
В5 Найдите корень уравнения
В6 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
В7 Найдите значение выражения .
В8 Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
. Найдите абсциссу точки касания.
В9 Диаметр основания конуса равен 72, а длина образующей – 39 .
Найдите высоту конуса.
В10 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится пятнадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
В11 Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3 .
В12 Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: , где — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь , а излучаемая ею мощность Р не менее . Определите наименьшую возможную температуру этой звезды.
В13 Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 120 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч меньше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 час. В результате он затратил на обратный путь на 3 часа больше времени, чем на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
В14 Найдите точку минимума функции .
Часть С
С1 Решите уравнение 
.
Укажите корни, принадлежащие отрезку 
.
С4 Окружности радиусов 25 и 39 пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая эти окружности ещё в точках К и М. Известно, что площадь треугольника АКМ равна 1260 , а расстояние между центрами О1 и О2 окружностей равно 56 .
1) Докажите, что треугольники АКМ и АО1О2 подобны.
2) Найдите длину отрезка КМ.
С6 Задумано несколько различных целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2 , 3 и 5 , то на доске будет выписан набор 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 , 10 .
а) На доске выписан набор -13 , -8 , -6 , -5 , -1 , 2 , 7 .
Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0
встречается ровно семь раз. Какое наименьшее количество чисел могло
быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор.
Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Вариант № 3
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | B7 | B8 | B9 | B10 | B11 | B12 | B13 | B14 |
24000 | 13 | 213500 | -0,28 | 10,5 | 12 | 4 | -2 | 15 | 0,91 | 11 | 1000 | 12 | -2 |
С1 А) 
; 
; 
Б) 
С4 1) Достаточно показать, что углы АКМ и АО1О2 , ВМК и АО2О1
измеряются половинами соответствующих дуг АВ.
2) Покажите, что центры окружностей расположены по разные стороны
от прямой АВ, а точка В лежит между точками К и М.
Площадь треугольника АО1О2 равна 560 , коэффициент подобия
треугольников АКМ и АО1О2 равен 
, то есть 
.
Поэтому КМ = 
О1О2 = 84.
С6 а) -8 , -5 , 7 ; б) 5 ; в) нет
