4.1.10. Модель Друкера–Прагера
В этой модели используется критерий текучести Другера-Прагера, при этом закон течения может быть как ассоциированным, так неассоциированным. Поверхность текучести не меняется с ростом деформаций текучести, следовательно, отсутствует закон упрочнения, а материал является упруго-идеальнопластическим (Рис. 4.1-1f). Эквивалентные напряжения для модели Другера-Прагера определяются выражением:
sе = 3bsm + [1/2 {s}T [M] {s}]1/2, (4.1-53)
где sm = 1/3 (sx + sy + sz) - среднее или гидростатическое напряжение,
{s} - девиаторная часть напряжений (уравнение 4.1-25),
b - константа материала,
[M] - матрица, определяемая уравнением (4.1-24).
Это выражение представляет собой модифицированный критерий Мизеса (уравнение (4.1-24) при {a} = {0}), оно учитывает влияние среднего, или гидростатического, напряжения: чем выше гидростатическое напряжение (всестороннее давление), тем выше предел текучести. Параметр b - константа материала, определяемая выражением:
b = 2 sinj/[Ö3(3 - sinj)], (4.1-54)
где j - задаваемый угол внутреннего трения.
Предел текучести материала:
sу = 6c cosf/[Ö3(3 - sinf)], (4.1-55)
где с - задаваемая величина сцепления.
Критерий текучести (уравнение (4.1-4)), таким образом, принимает вид:
F = 3bsm + [1/2 {s}T [M] {s}]1/2 - sу =
Эта поверхность текучести представляет собой круговой конус (Рис. 4.1-2с) с параметрами материала (уравнения (4.1-54) и (4.1-55)), выбранными таким образом, что поверхность является описанной по отношению к шестиграннику Мора-Кулона (Рис. 4.1-5).
Рис. 4.1-5. Поверхности текучести Друкера-Прагера и Мора-Кулона
Вектор производных {¶F/¶s} легко вычисляется:
{¶F/¶s} = b ëûТ + (1/[1/2 {s}T [M] {s}]1/2 ) {s}. (4.1-57)
Вектор {¶Q/¶s} находится аналогичным образом; параметр b определяется с использованием угла ff (задаваемая константа дилатансии). При ff = f закон течения является ассоциированным, и вектор пластических деформаций направлен по нормали к поверхности текучести, что соответствует объемному расширению материала при наличии пластических деформаций. Если ff < f, объемное расширение менее выражено, а при ff = 0 отсутствует полностью.
Эквивалентные пластические деформации Î*pl (выходная величина EPEQ) определяются уравнением (4.1-31), параметр эквивалентных напряжений sе*pl (выходная величина SEPL) определяется следующим соотношением:
s е*pl =Ö3 (sу - 3 b sm). (4.1-58)
Параметр эквивалентного напряжения интерпретируется как эквивалентное напряжение текучести Мизеса для текущего значения гидростатического напряжения. Следовательно, для любой точки интегрирования, в которой имеет место текучесть (отношение напряжений SRAT >1), величина напряжения s е*pl (SEPL) должна быть близкой к фактическому значению эквивалентного напряжения Мизеса (SIGE), если решение сходится.
4.1.11. Полилинейное кинематическое упрочнение (MKIN)
В этом варианте пластического поведения материала используется модель Бесселинга [53], также называемая многослойной моделью (Zienkihwicz [54]). Материал предполагается составленным из различных частей (или объемов), испытывающих одинаковую общую деформацию, но имеющих различные пределы текучести. (При анализе плоского напряженного состояния материал можно трактовать составленным из нескольких различных слоев, каждый со своей толщиной и пределом текучести). Каждый слой имеет связь “напряжение–деформация” простого вида, но комбинация слоев может моделировать сложное поведение материала. Так, возможно существование “многослойной” кривой “напряжение-деформация”, которая описывает эффект Баушингера (кинематическое упрочнение) (Рис. 4.1-1b).
При пластическом расчете выполняются следующие шаги:
1. Определяется доля общего объема и соответствующий предел текучести. для каждого слоя.
2. Для каждого слоя находится приращение пластической деформации в предположении, что каждый слой испытывает одну и ту же деформацию.
3. Индивидуальные приращения пластической деформации суммируются с использованием весовых коэффициентов, вычисленных на шаге 1, для получения общего, или истинного, приращения деформации.
4. Модифицируется значение пластической деформации и вычисляется значение упругой деформации.
Весовые коэффициенты и предел текучести для каждого слоя подбираются так, чтобы можно было описать кривую “напряжения-деформации” для одноосного растяжения. В предположении идеальной пластичности материала весовой коэффициент w для слоя с номером k определяется формулой
E - ETk | k-1 | |||
wk = | E – [(1 – 2n)/3] ETk | – | å wi | , (4.1-59) |
I=1 |
где ETk - тангенс угла наклона каждого сегмента с номером k кривой “s-e” (Рис. 4.1-6),
å wi - сумма весовых коэффициентов для всех предшествующих слоев.
Рис. 4.1-6. Использование кривой одноосного растяжения
Напряжения текучести для каждого слоя вычисляются по формуле:
syk = | 1 | (3Еek -n)sk) | (4.1-60) |
2(1 + n) |
где (ek, sk) - координаты точки разрыва на кривой “s-e”. Число слоев соответствует числу задаваемых точек разрыва.
Приращение пластической деформации Îkpl для каждого слоя вычисляется с использованием критерия текучести Мизеса, закон течения является ассоциированным. Из общих соотношений для этой модели следуют соотношения для билинейного кинематического упрочнения, но так как каждый слой является упругим-абсолютно пластическим, то параметр С и, следовательно, вектор {a} равны нулю.
Приращение пластической деформации для всего объема материала равен сумме приращений каждого из слоев:
Nsv | ||
DÎpl = | å wi {DÎi pl} | (4.1-61) |
I=1 |
где Nsv - число слоев.
Затем по уравнениям (4.1-17) и (4.1-18) вычисляются текущие пластические и упругие деформации для всего объема.
Эквивалентные пластические деформации Î*pl (выходная величина EPEQ) определяются согласно уравнению (4.1-31), а параметр эквивалентных напряжений s*epl (выходная величина SEPL) подсчитывается с помощью кривой “напряжения–деформации” для значения Î*pl (после смещения этой кривой на величину упругой деформации).
4.1.12. Полилинейное изотропное упрочнение (MISO) и билинейное изотропное упрочнение (BISO)
Эти варианты описания пластического поведения материала используют критерий текучести Мизеса вместе с ассоциированным законом течения и изотропным упрочнением.
Эквивалентные напряжения (уравнение (4.1-1)):
se = [3/2 {s}T [M] {s}]1/2, (4.1-62)
где {s} - девиаторные напряжения (уравнение (4.1-25)). Когда напряжения se равны текущим напряжениям текучести sк, то это рассматривается как переход материала в пластическое состояние. Критерий текучести:
F = [3/2 {s}T [M] {s}]1/2 - sк =
При кинематическом упрочнении напряжения sк являются функцией затраченной пластической работы. В случае изотропной пластичности, что предполагается в данном случае, значение sк может быть определено непосредственно по величине эквивалентной пластической деформации Î*pl из уравнения (4.1-31) (выходная величина EPEQ) с помощью кривой “напряжения–деформации” для одноосного растяжения, как показано на Рис. 4.1-7. Напряжения sк выводятся как параметр эквивалентных напряжений (выходная величина SEPL). В случае учета свойств материала от температуры величина sк определяется интерполяцией кривых после того, как они будут преобразованы к зависимостям напряжений от пластических деформаций.
Рис. 4.1-7. Одноосное растяжение и определение sк
