Московский Государственный Институт Электроники и Математики
Кафедра ИКТ
Рассчетно–графическая работа
по курсу «Основы теории управления».
Вариант №8
Выполнила:
Студентка группа С-55
Проверил:
Москва 2010
Аннотация
В данной работе выполнен анализ динамической системы с параметром, заданной структурной схемой с целью выявления значений параметра, при которых заданная система является устойчивой. В работе использован математический пакет Mathematica 6.0; для анализа системы построены частотные и временные характеристики, применены критерии устойчивости системы: алгебраический Льенара-Шипара и геометрический Найквиста, а также использован признак устойчивости системы.
Оглавление
Аннотация. 2
Введение. 4
Цель рассчетно-графической работы.. 4
Задачи. 4
Исходные данные. 4
Техническое задание. 4
Анализ технического задания. 4
Алгоритм решения. 6
Анализ устойчивости по управлению.. 11
Анализ устойчивости по возмущению.. 18
Заключение. 26
Список используемой литературы.. 27
Введение
Цель рассчетно-графической работы
Целью работы является приобретение навыков анализа многоконтурных линейных стационарных динамических систем с сосредоточенными параметрами на базе качественной теории дифференциальных уравнений – геометрических и алгебраических критериях устойчивости (соответственно Найквиста и Льенара-Шипара).
Задачи
В РГР решаются задачи:
· Приведение двухмерной системы к двум одномерным.
· Переход с языка структурных схем к языку передаточных функций и наоборот.
· Построение годографов и частотных характеристик.
· Оценка устойчивости системы.
Исходные данные
Вариант №8
Постоянная времени 
=0.9.
Алгебраический критерий: Льенара-Шипара.
Геометрический критерий: Найквист.
Техническое задание
I. Для заданной модели динамической системы определить коэффициент К, при котором система:
a. Устойчива.
b. Неустойчива.
II. Построить частотные и временные характеристики.
III. Анализ устойчивости проводить с помощью двух критериев устойчивости.
Анализ технического задания
Исходная схема:
Схема 1. Многомерная система.
Параметры системы:
Анализируемая система является многомерной, многоконтурной, линейной, непрерывной, стационарной, детерминированной системой со сосредоточенными параметрами и аналоговыми сигналами.
Алгоритм решения
· Разделение многомерной системы на две системы: по входу (возмущению) и по выходу (управлению).
Данную многомерную систему необходимо разделить на две систему: по управлению и по возмущению. Для того, чтобы выделить из многомерной системы управления одномерную систему по управлению, считают дестабилизирующий фактор z(p)=0. Если же мы хотим выделить одномерную систему по возмущению, считают входное воздействие v(p)=0. Согласно, эти заключениям, сделаем из схемы 1, две новых – по управлению и по возмущению.
1. По управлению z(p)=0.
Cхема 2. По управлению .
2. По возмущению v(p)=0.
Схема 3. По возмущению.
· Поиск передаточных функций системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований.
Каждую из предыдущих схем необходимо преобразовать.
Возьмем для начала схему 2 и преобразуем ее.
~
Заметим, что у исходной схемы звенья w2(p) и w3(p), w9(p) и w7(p) подсоединены последовательно, поэтому можно преобразовать следующим образом:
w10(p)= w2(p) w3(p);
w11(p)= w7(p) w9(p).
Получим:
~
Перенесем сумматор через сумматор.
~
Упростим связь, содержащую звенья w5(p), w10(p), w8(p), т. е. проведем соответствующие операции.
Получим:
Где 
.
~
Далее, переносим сумматор через звено w1(p) по ходу сигнала. Получим:
~
Заметим, что у предыдущей схемы звенья w1(p) и w11(p) соединены последовательно, поэтому: w13(p)=w1(p) w11(p)/ Получим:
~
Преобразовываем схему следующим образом:
.
~
Теперь проведем преобразования для схемы №3.
~
~
~
~
Анализ устойчивости по управлению
· Вычисление передаточной функции по управлению.
Ранее полученные вычисления 
(*).
Из анализа технического задания, было получено:
(**)
Теперь займемся подбором коэффициентов.
Подставим в выражение (*) выражения (**).
W(p)=((1+0.92 p+0.009 p2) ((0.2 (1+0.002 p))/(1+0.015 p)+0.004/(1+0.01 p+0.07 p2)))/(1+(k/p2+(0.081 (1+0.3 p) p)/(1+0.6 p)) ((0.2 (1+0.002 p))/(1+0.015 p)+0.004/(1+0.01 p+0.07 p2)))= (2.52´1+0.6 p) p2 (1.09877 +p) (101.123 +p) (499.996 +p) (14.5715 +0.146572 p+p2))/(6.804´10-7 p2 (1.64329 +p) (45.279 +p) (1382.33 +p) (14.2893 +0.145489 p+p2)+0.0000168 k (1.66667 +p) (499.996 +p) (14.5715 +0.146572 p+p2))
Далее, составляем характеристическое уравнение, зная что знаменатель дроби является характеристическим многочленом:
0.204 k+0.12486 k p+1. p2+0.01548 k p2+0.641524 p3+0.0084304 k p3+0.0903065 p4+0.0000168 k p4+0.0443341 p5+0. p6+6.804´10-7 p7
Сгруппируем члены:
6.804´10-7 p7 +0. p6 +0.0443341 p5 +(0.0903065+0.0000168 k)p4 +(0.641524+0.0084304 k)p3+(1.+0.01548 k)p2+0.12486 k p+ 0.204 k=0.
· Поиск параметра алгебраическим критерием по управлению.
В связи с тем, что в задании был указан именно критерий Льенара-Шипара, то займемся поиском параметра с помощью данного критерия.
Итак, в чем же заключается этот критерий? Критерий Льенара-Шипара является модификацией критерия Рауса-Гурвица, а значит необходимо вычислить главные миноры только четного (или нечетного) порядка матрицы Формулировка критерия Льенара-Шипара следующая: «Любое из следующих четырех условий является необходимым и достаточным для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части:
Применяем данный критерий к нашему характеристическому уравнению.
Составим матрицу характеристического многочлена:
Наш характеристический многочлен:
6.804´10-7 p7 +0. p6 +0.0443341 p5 +(0.0903065+0.0000168 k)p4 +(0.641524+0.0084304 k)p3+(1.+0.01548 k)p2+0.12486 k p+ 0.204 k=0.
Т. е. a0= 6.804´10-7; a1=0.; a2=0.0443341; a3=0.0903065+0.0000168 k; a4=0.641524+0.0084304 k; a5=1.+0.01548 k; a6=0.12486 k; a7=0.204 k.
Следовательно, Н=
{{0.,0.0903065 +0.0000168 k,1. +0.01548 k,0.204 k,0,0,0},{6.804´10-7,0.00.641524 +0.0084304 k,0.12486 k,0,0,0},{0,0.,0.0903065 +0.0000168 k,1. +0.01548 k,0.204 k,0,0},{0,6.804´10-7,0.00.641524 +0.0084304 k,0.12486 k,0,0},{0,0,0.,0.0903065 +0.0000168 k,1. +0.01548 k,0.204 k,0},{0,0,6.804´10-7,0.00.641524 +0.0084304 k,0.12486 k,0},{0,0,0,0.,0.0903065 +0.0000168 k,1. +0.01548 k,0.204 k}}
a0= 6.804´10-7; a1=0.; a2=0.0443341; a3=0.0903065+0.0000168 k; a4=0.641524+0.0084304 k; a5=1.+0.01548 k; a6=0.12486 k; a7=0.204 k.
Согласно критерию Льенара-Шипара, должно быть выполнено любое из четырех условий. Выберем первое, т. е. 
. Т. е.
Для начала найдем значений миноров:
∆1= 0.
∆3= 3.28212´10-6-7.24161´10-9 k-1.92036´10-16 k2
∆5= 9.25321´10-9+3.33023´10-11 k+1.11768´10-12 k2+1.50495´10-14 k3+2.23907´10-17 k4
∆7=det[H]= -2.41712´10-10 k2-5.58039´10-12 k3+2.83874´10-13 k4-2.26275´10-15 k5-6.0096´10-23 k6
Теперь применим все условия одновременно:
Получаем окончательный результат для параметра k с помощью алгебраического критерия Льенара – Шипара: 0<k<10.4018||k>2.59854´106
· Проверка найденного параметра геометрическим критерием по управлению.
Этот критерий позволяет по диаграмме амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. Предполагая, что степень полинома M(jω) разомкнутой системы W(jω)= M(jω)/ Q(jω) меньше степени полинома Q(jω) и к тому же M(jω) и Q(jω) не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью, критерий Найквиста формулируется следующим образом: «САУ, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая m корней с положительной вещественной частью, будет устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая характеристика W(jω) охватывает точку (-1, jω) в направлении против хода часовой стрелки в m/2 раз». Т. е. угол поворота вектора кб проведенного из точки (-1, j0) к характеристике W(jω) при возрастании ω от 0 до ∞, должен быть равен 2πm/2=πm.
Т. е. поступаем следующим образом:
Изначально задана функция
W(p)=2.52´1+0.6 p) p2 (1.09877 +p) (101.123 +p) (499.996 +p) (14.5715 +0.146572 p+p2))/(6.804´10-7 p2 (1.64329 +p) (45.279 +p) (1382.33 +p) (14.2893 +0.145489 p+p2)+0.0000168 k (1.66667 +p) (499.996 +p) (14.5715 +0.146572 p+p2))
Представим, что p→iῲ. Подставим это в (1*). Получаем:
W(iῲ)-((2.52´1+0.6 ä w) (1.09877 +ä w) (101.123 +ä w) (499.996 +ä w) w2 (14.5715 +0.146572 ä w-w2))/(-6.804´1+ä w) (45.279 +ä w) (1382.33 +ä w) w2 (14.2893 +0.145489 ä w-w2)+0.000+ä w) (499.996 +ä w) (14.5715 +0.146572 ä w-w2)))
-((0.41616 w2)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2))+(0.115004 w4)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(0.0693144 w6)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)-(0. w8)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(0. w10)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(3.64349´10-6 w12)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)-(8.49112´10-11 w14)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+ä (-((0.382867 w3)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2))+(0.0963467 w5)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(0.0589258 w7)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)-(0.0090412 w9)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(0. w11)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(7.67373´10-8 w13)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2)+(1.02876´10-13 w15)/((2w^2+0.0904745 w^4-0. w^6)2+(1.2486 w-0.725828 w^3+0.0443341 w^5-6.804´10^-7 w^7)2))
Нам надо построить зависимость мнимой части функции W(iῲ) от действительной. Поэтому найдем их значения.
Действительная часть:
Получим:
(w2 (-0.41616+0.115004 w2+0.0693144 w4-0. w6+0. w8+3.64349´10-6 w10-8.49112´10-11 w12))/(4.1w2-0.109839 w4+0.42461 w6-0.0539277 w8+0. w10+8.85553´10-7 w12+4.62944´10-13 w14)
Мнимая часть:
Получим:
(w3 (-0.382867+0.0963467 w2+0.0589258 w4-0.0090412 w6+0. w8+7.67373´10-8 w10+1.02876´10-13 w12))/(4.1w2-0.109839 w4+0.42461 w6-0.0539277 w8+0. w10+8.85553´10-7 w12+4.62944´10-13 w14)
Строим график:
Устойчива при k=10.
Частотные характеристики по управлению:
· Амплитудно-фазовая частотная характеристика.
· Амплитудно-частотная характеристика.
· Вещественно-частотная характеристика.
· Мнимо-частотная характеристика.
· Фазо-частотная характеристика.
Анализ устойчивости по возмущению
· Проверка найденного параметра алгебраическим критерием по возмущению.
При преобразовании исходной схемы по возмущению, мы получили следующее выражение: . Заметим, что в алгебраическом критерии (Линара-Шипара) используется только характеристический многочлен, благодаря которому определяется при каких коэффициентах усиления система является устойчивой. В нашем случае, характеристическое уравнение при преобразовании исходной схемы по возмущению и по управлению получился одинаковый многочлен, следовательно, все вычисления аналогичны, а значит, что систему будет устойчива и по управлению, и по возмущению при одинаковых коэффициентах усиления, а именно, при k: 0<k<10.4018||k>2.59854´106
· Проверка найденного параметра геометрическим критерием по возмущению.
В геометрическом критерии Найквиста надо найти зависимость мнимой части от действительной. Возьмем k=10. Для начала найдем значение исходной функции:
W(p)=10/(1+(10/p2+(0.081 (1+0.3 p) p)/(1+0.6 p)) ((0.2 (1+0.002 p))/(1+0.015 p)+0.004/(1+0.01 p+0.07 p2)))
Заменим p на äw:
W(äw)=10/(1+(-(10/w2)+(0.081 ä (1+0.3 ä w) w)/(1+0.6 ä w)) ((0.2 (1+0.002 ä w))/(1+0.015 ä w)+0.004/(1+0.01 ä w-0.07 w2)))
Упростим:
a=
10/((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2)-0.0006/((1+0.000225 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-20./(w2 (1+0.000225 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+(0.050706 w2)/((1+0.000225 w2) (1+0.36 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+(0. w4)/((1+0.000225 w2) (1+0.36 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+0.028/((0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-0.4/(w2 (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+(0.0010044 w2)/((1+0.36 w2) (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(0. w4)/((1+0.36 w2) (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+ä (-0.26/(w (1+0.000225 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(0.162 w)/((1+0.000225 w2) (1+0.36 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(0.0285331 w3)/((1+0.000225 w2) (1+0.36 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(8.748´10-7 w5)/((1+0.000225 w2) (1+0.36 w2) ((1-((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-0.004/(w (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(0.00324 w)/((1+0.36 w2) (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))-(0. w3)/((1+0.36 w2) (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))+(0. w5)/((1+0.36 w2) (0.0001 w2+(1-0.07 w^2w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+(-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2+((-(10/w^2)+(0.0243 w^2)/(1+0.36 w^w)/(1+0.000225 w^2))-(0.00004 w)/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2))+((0.081 w)/(1+0.36 w^2)+(0.01458 w^3)/(1+0.36 w^/(1+0.000225 w^2)+(6.´10^-6 w^2)/(1+0.000225 w^2)+(0.w^2))/(0.0001 w^2+(1-0.07 w^2)^2)))2))).
(w2 (-20.4+0.98668 w2+5.30829 w4-0.0815309 w6-0.226135 w8+0.0320149 w10-0. w12+0. w14+1.72686´10-8 w16+2.31537´10-12 w18))/(4.1w2-0.993428 w4+0.550881 w6+0.0390854 w8-0.0295684 w10+0.0035891 w12-0. w14+3.07853´10-6 w16+2.26369´10-9 w18+3.52288´10-13 w20+1.83743´10-19 w22)
(w3 (-0.264-0.282073 w2-0.0317392 w4+0.0137194 w6-0. w8-0. w10+0. w12-2.4367´10-7 w14-6.29567´10-11 w16-1.70132´10-15 w18))/(4.1w2-0.993428 w4+0.550881 w6+0.0390854 w8-0.0295684 w10+0.0035891 w12-0. w14+3.07853´10-6 w16+2.26369´10-9 w18+3.52288´10-13 w20+1.83743´10-19 w22)
Система устойчивая
Частотные характеристики по возмущению:
· Амплитудно-фазовая частотная характеристика.
· Амплитудно-частотная характеристика.
· Вещественно-частотная характеристика.
· Мнимо-частотная характеристика.
· Фазо-частотная характеристика.
Временные характеристики
1) Переходная функция
2) Импульсная переходная функция
Заключение
В ходе проделанной работы было выявлено, что данная система устойчива при k: (0,10.4018 )ᴗ(2.59854´106,+∞), а при k: (-∞,0) ᴗ(10.4018, 2.59854´106) система является неустойчивой.
Список используемой литературы
