Лабораторный практикум по физике (стр. 9 )

(5)

То есть при условии мы можем описать эту зависимость как гармонические колебания, у которых амплитуда экспоненциально убывает со временем. Такие колебания называются затухающими. Энергия этих колебаний убывает со временем. Зная зависимость заряда на конденсаторе от времени, мы можем написать и зависимость тока на катушке от времени, поскольку . Также можно найти зависимость напряжения на сопротивлении от времени: . Графики всех этих величин выглядят примерно одинаково, отличаясь начальной фазой и амплитудой.

Если же то колебания затухают за время меньше одного периода колебаний. Такое решение называется апериодическим и колебаний в контуре не будет.

Для возникновения колебаний в контуре необходимо, чтобы выполнялось условие . Подставив определения входящих в него величин, мы получим условие

, где (6)

Здесь - критическое сопротивление, при котором колебательный процесс в контуре становится апериодическим.

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания , временем релаксации системы (время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз), логарифмическим декрементом затухания , показывающим, как изменяется функция за период: , и величиной Q – добротностью контура.

(7)

Чем больше добротность контура, тем меньше затухание в системе.

Вынужденные колебания:

При добавлении в контур переменной ЭДС с амплитудой , то есть , колебания могут перестать затухать, поскольку идет приток энергии из источника, способный компенсировать потери энергии на сопротивлении. Но частота изменения ЭДС в общем случае не совпадает с частотой собственных или затухающих колебаний в контуре. С какой же частотой будут существовать колебания в системе?

По второму закону Кирхгофу для схемы, изображенной на рисунке 1,

или

(8)

Это уравнение аналогично уравнению (4), но с ненулевой правой частью. Нам удобнее будет рассматривать ток, а не заряд. Введем в уравнение коэффициенты затухания и частоту собственных колебаний , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

(9)

Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма общего решения однородного уравнения (то есть с нулевой правой частью) и любого частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения нам уже известно – мы можем получить его из (5), продифференцировав (5) по времени. Будем тогда искать частное решение в виде: , где

(10)

(11)

Величина называется полным сопротивлением цепи, величина является амплитудой напряжения на кон­денсаторе. Величина называется реактивным емкостным сопротивлением, причём . Величина называется реактивным индуктивным сопротивлением, а амплитуда колебаний напряжения на соленоиде находится как .

Фаза - сдвиг колебаний между колебаниями внешний ЭДС и силой тока в цепи. Ток отстает от напряжения или опережает его в зависимости от соотношения между и .

Таким образом, в системе существуют затухающие колебания с частотой и незатухающие вынужденные колебания с частотой внешней ЭДС . Ясно, что после времени релаксации мы будем наблюдать только вынужденные колебания, так как собственные колебания системы практически исчезнут.

Но если частота изменения ЭДС равна частоте собственных колебаний тока в контуре (), то . При этом , то есть изменения тока и ЭДС происходят в фазе. В этом случае полное сопротивление Z становится минимальным и равным R, а амплитуда колебаний силы тока в цепи принимает максимальное значение. Напряжения на конденсаторе и на соленоиде становится одинаковыми по амплитуде и противоположными по фазе (). То есть собственные колебания в контуре перестают быть затухающими, поскольку могут забирать энергию из источника (теперь источник и колебания системы согласованы), и складываются с колебаниями от ЭДС. Рассмотренное явление называется резонансом токов. Из (10) следует, что амплитудное значение тока при резонансе . Амплитудное значение напряжения на конденсаторе при резонансе равно

(12)

Здесь добротность контура. Если Q>1, то при резонансе напряжения на соленоиде и на конденсаторе превышают в Q раз ЭДС , приложенную к цепи.

Отметим, что максимум амплитуды колебаний силы тока достигается при частоте , а максимум амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе (резонанс напряжений) – при частоте , несколько меньшей . Однако если или

,

то это различие несущественно.

Лабораторная работа № 000а

«ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ»

Приборы и принадлежности: лабораторный стенд с колебательным контуром, генератор синусоидальных сигналов ГЗ-109, миллиамперметр Э-524, вольтметр ВЗ-38А.

Цель данной работы - изучение явления резонанса в колебательном контуре под действием внешней синусоидальной электродвижущей силы звуковой частоты.

Обязательно прочитайте введение к лабораторным работам 257 и 260!!

Описание установки.

В работе используется следующие приборы: генератор синусоидальных сигналов ГЗ-109; являющийся источником переменной ЭДС; миллиамперметр Э-524; вольтметр ВЗ-38А; а также колебательный контур, состоящий из резистора сопротивлением R1, соленоидом индуктивностью L, конденсатора емкостью С.

Схема включения приборов показана на рисунках 2 и 3. Все элементы колебательного контура соединены между собой, поэтому студенту, выполняющему работу, необходимо правильно подсоединить только генератор, миллиамперметр и вольтметр к контуру.

Отметим, что фигурирующее в формулах (11) и (12) активное сопротивление R всей цепи складывается в установке из выходного сопротивления генератора, сопротивления резистора R1, активного сопротивления соленоида и соединительных проводов.

Перед началом выполнения работы необходимо

  переключатели генератора установить в положения:

“Множитель частоты” – 1

“Регулировка ВЫХ.” - 15 V

“Нагрузка, Ω” - АТТ

  установить переключатель шкал вольтметра в положение 30V.

  установить переключатель шкал миллиамперметра в положение 100мА.

ВНИМАНИЕ! Генератор ГЗ-109 и вольтметр ВЗ-38А необходимо включить в сеть напряжением 220В с помощью стандартных сетевых вилок. При подключении соблюдайте осторожность. Включать приборы запрещается до проверки правильности подсоединения приборов лаборантом или преподавателем.

Порядок выполнения работы:

Таблица 1 и 2

, Г	, А	, В

Таблица 3

	С, мкФ	L, Гн	Q

  Соберите электрическую цепь по схеме (рис. 2). После проверки электрической цепи лаборантом или преподавателем включите генератор и вольтметр. Изменяя частоту генератора от 20 до 200 Гц, убедитесь по вольтметру и миллиамперметру в наличии резонанса в колебательном контуре.

  Установите частоту генератора, равную резонансной частоте контура, соответствующей максимуму тока. Далее установите ручкой плавной регулировки выходного напряжения генератора амплитуду ЭДС на выходе генератора такой, чтобы показания миллиамперметра находились в правой половине шкалы. При этом стрелочный прибор на лицевой панели генератора покажет - действующее значение ЭДС, отличающееся от амплитудного в раз:

Отметим, что стрелочные электроизмерительные приборы всегда показывают действующее значение силы тока и напряжения , а не амплитудное значение этих величин.

  Изменяя частоту генератора от 20 до 200 Гц, снимите зависимость действующего значения силы тока и напряжения на конденсаторе от частоты (не менее чем для 15 точек с меньшим интервалом частот вблизи резонанса). Результаты запишите в таблицу 1.

  Соберите электрическую цепь по схеме (рис. 3), при этом в контур добавлен резистор R1. Выполните действия по пункту 3. Результат измерений запишите в таблицу 2.

  Постройте график зависимости и для двух случаев: R1=0 и R1≠0. То есть должны быть два графика (для случаев R1=0 и R1≠0) на одной координатной плоскости I(), и два графика для тех же случаев на координатной плоскости U().

  По графику определите резонансную частоту , а также и -действующее значение силы тока в контуре и напряжение на конденсаторе при для случаев и .

  Определите С, L и Q по следующим формулам:

(*)

Результаты вычислений запишите в таблицу 3.

Контрольные вопросы

  Что такое резонанс напряжений?

  Что такое действующее значение силы тока, напряжения?

  Объясните вид полученных графиков.

  От каких параметров схемы зависит добротность контура?

  Выведите формулы (*)

  Используя правила Кирхгофа, получите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и приведите его решение.

Литература.

1. Савельев общей физики т. 2, любое издание.

2. . Курс физики, любое издание.

3. Скорохватов лекций по электромагнетизму. М: МИИГАиК, 2006 г.

Лабораторная работа N 260.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Приборы к принадлежности: лабораторная установка ФПЭ-10/11, источник питания, преобразова­тель импульсов ПИ/ФПЭ-09, генератор ГЗ-112/1, осциллограф С1-73.

Цель работы: измерение и расчет параметров колебательного контура.

Обязательно прочитайте введение к лабораторным работам 257 и 260!!

Метод измерений и описание установки.

Рассматриваемый нами колебательный контур выглядит так:

Принципиальная схема модуля лабораторной установки ФПЭ10/11 приведена на рис:

Модуль содержит элементы колебательного контура: конденсатор емкостью С и катушку ин­дуктивностью L. К гнездам R подключается магазин сопротивлений. Преоб­разователь импульсов (модуль ФПЭ-ПИ/09) осуществляет периодическую за­рядку конденсатора прямоугольными импульсами, которые подаются на гнезда " ВХ П".

Затухающие колебания напряжения на конденсаторе наблюдаются на экране осциллографа (РО) при подключении его входа Y к соответствую­щим гнездам РО модуля ФПЭ-10/11.

Общее сопротивление контура равно

, (1)

где R - сопротивление магазина, a RK - сопротивление катушки.

Для различных значений сопротивления магазина R определяются значения логарифмического декремента . Логарифмический декремент , являющийся важной характеристикой затухающих колебаний, определяется как натуральный логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну и ту же сторону:

, (2)

где Т – период колебаний. Из введения к лабораторным работам № 000 и № 000 следует, что при

(3)

При малых значениях сопротивления R, (для данной установки R < 700 Ом) и логарифмический декремент линейно зависит от сопротивления R магазина

(4)

Или

,

где коэффициенты a и b равны:

Построив график зависимости можно определить коэффициент а (см. рис. 3):

Параметры колебательного контура (сопротивление катушки, емкость и индуктивность) могут быть определены следующим образом: из графика видно, что сопротивление катушки Rк можно определить, аппроксимируя экспериментально найденную зависимость до пересечения с осью абсцисс . Далее, зная период колебаний T, можно определить индуктивность катушки L по формуле:

(5)

а емкость С из равенства:

т. е. (6)

Порядок выполнения работы:

  Соберите электрическую схему (принципиальная электрическая схема лабораторной работы приведена на рис. 4)

  Включите лабораторный стенд; при этом должна загораться сигнальная лампочка «сеть».

  Включите генератор сигналов (PQ). Установите частоту выхода на 250 Гц.

  Включите источник питания (ИП)

  На преобразователе импульсов (ПИ, модуль ФПЭ-ПИ/09) нажмите клавишу «скважность грубо».

  На магазине сопротивлений установите R=100 Ом

  Включите осциллограф. Ручками «U/дел», «синхр.», «уровень» получите устойчивую картину колебаний на экране.

  Используя переключатель коэффициентов развертки, получите на экране изображение 5-6 периодов затухающих колебаний.

  Измерьте в делениях вертикальной шкалы экрана амплитуды колебаний U0(t) и Un(tn) = Un(t+nT), где n - число периодов, разделяющих амплитуды U0(t) и Un (можно выбрать из соображений удобства).

  Измерьте в делениях горизонтальной шкалы длительность промежутка времени tn (обозначены tn = nT).

  Перепишите со шкалы осциллографа в табл. 1 значения коэффициента развертки по оси Х (Кх, m сек/дел.).

  Повторите измерения по пунктам 6-11 при сопротивление магазина R=200, 300, 400, 500 Ом.

  Результаты измерений занесите в табл. 1.

  Для каждого значения сопротивления R магазина вычислите значения периода колебаний T по формуле:

R, Ом	n	U1, дел	Un, дел	Kх, mc/дел	tn, дел	Т
100
200
300
…

  Для каждого значения сопротивления магазина R вычислите значения логарифмического декремента по формуле

Результаты запишите в табл. 1

  По полученным величинам логарифмического декремента и сопротивления магазина R постройте график зависимости , имея в виду то обстоятельство, что каждое значение логарифмического декремента вычислено с некоторой ограниченной точностью. Поэтому стройте прямую так, чтобы примерно одинаковое количество точек оказывалось как выше, так и ниже прямой.

  Определите по графику величину сопротивления катушки Rк.

  Определите угловой коэффициент в зависимости .

  Используя формулы (5) и (6), рассчитайте значения индуктивности L и емкости С.

  Постепенно увеличивая сопротивления магазина R (т. е. устанавливая значения 800 Ом, 1000 Ом, 2000 Ом), пронаблюдайте переход колебаний в апериодический режим. Зарисуйте получившиеся картины в тетрадь.

Контрольные вопросы:

  Каким дифференциальным уравнением описываются собственные затухающие колебания?

  Каков физический смысл параметров, входящих в эти уравнения?

  Как выглядит общее решение затухающих колебаний, если:

а) б)

  Что называется логарифмическим декрементом затухания?

  Выведите формулу (3) при условии .

Литература.

1. Савельев общей физики т. 2, любое издание.

2. . Курс физики, любое издание.

3. Скорохватов лекций по электромагнетизму. М: МИИГАиК, 2006 г.

[1] Ослабление сигнала в децибелах, обозначаемых dB или дБ, численно равно значению выражения , где А0 и А — амплитуды, соответственно, исходного и “ослабленного” сигналов. Если это выражение равно 20, то А0 /А = 10. Таким образом, при использовании выхода генератора "земля", "20" амплитуда его ЭДС уменьшается в 10 раз.