Возможно, Герон что-то утаил

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Научное общество учащихся

«Поиск»

38 –я открытая областная научная конференция учащихся.

Секция математики.

Научная работа по теме:

Возможно, Герон что-то утаил.

Выполнил: Мухлаев Антон,

МОУ «Куломзинская средняя школа», 8 класс.

Руководитель: Лысенко Ольга

Григорьевна,

МОУ «Куломзинская средняя

школа».

Омск – 2006г.

Содержание.

Введение ……………………………………………………………...стр.3

Глава 1. Что можно узнать из формулы Герона. Теоретическая часть работы…………………………………………………………..стр.5

Вывод модифицированной формулы Герона…………………….....стр.5

Формула Герона для различных видов треугольников…………….стр.6

Аналог формулы Герона в стереометрии…………………………...стр.8

Геронов определитель………………………………………………..стр.8

Ещё раз модификации формулы Герона……………………………стр.9

Глава 2.Применение модифицированной формулы Герона при

решении задач. Практическая часть работы………………………стр.11

Заключение ………………………………………………………….стр.14

Литература …………………………………………………………..стр.15

Введение.

С некоторых пор в нашей жизни появилось такое новшество как – ЕГЭ, в связи с этим появилась необходимость использовать «время сберегающие технологии» решения задач, предлагаемых на ЕГЭ. Хотя справедливости ради следует заметить, что похожие задачи и раньше предлагались на вступительных экзаменах в ВУЗы. Время во все вносит свои коррективы. И вот однажды в своем кабинете математике я стал свидетелем картины, не уступающей картине, кисти известного художника Богданова-Бельского. Старшеклассники решали задачи из материалов ЕГЭ. Вот одна из таких задач: Задача 1. Вычислить площадь треугольника с вершинами О(0; 0), А(1; 3), В(3; 0). Решение: достроим треугольник ОАВ до объединения прямоугольника ОА2АА1 и трапеции А1АВВ1 с вершинами А2(0;3), А1(1;0), В(3;0), тогда S(OAB) = S(OA2AA1) + S(A1ABB1) – S(OA2A )-S(OBB1) = 1×3+1\2×(3-2)×(3+2)-1\2×3×1-1\2×3×2=3,5.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

У

3

2

1

0 А1 В1 Х

Такое решение оценивается как красивое, но большинство старшеклассников пытались решать задачу так: применяли обычную формулу Герона и получили громоздкий ответ: │ОА│= √1 + 32 = √10, │ОВ│= √22 + 32 = √13, │АВ│= √(3-1)2+(2-3)2= √5;

S=1\4√(√10+√13+√5)( √10+√13-√5)( √10+√5-√13)( √13+√5-√10), не догадываясь, что его можно существенно упростить. По идее решение было верное, но ответ. Он не входил ни в какие «рамки». Как же найти и правильное, и красивое решение, да и ответ, чтобы был хороший? Для меня эта ситуация казалась забавной, но только для меня. И я решил поискать выход, ведь скоро и я буду на их месте.

Уже 20 веков пользуется человечество математическим наследием Герона (Александрийского), в частности, формулой площади треугольника по трём сторонам:

S = √р(р-а)(р-b)(р-с), где р=1/2(а+b+с), но понятно, что она не удобна в этом случае. Возможно, существует другая запись этой формулы? А не утаил ли её Герон?

Поиск ответа на этот вопрос и стал целью моей работы.

Цель: получить такую модификацию формулы Герона, которая позволит без лишних затрат времени находить площадь треугольника, со сторонами, выраженными иррациональными числами.

Задачи: - изучить литературу по интересующему меня вопросу;

- попытаться получить, интересующую меня модифицированную формулу;

- решать задачи с использованием модифицированной формулы Герона.

- познакомить выпускников с полученной формулой;

Гипотеза: 1) выяснить существует ли другая формула, кроме известной формулы Герона, для решения задачи о нахождении площади треугольника, если известны все его стороны, причем длины сторон - иррациональные числа, т. е. необходимо убедиться в существовании модификации формулы Герона;

2) выяснить связана ли каким-либо образом модифицированная формула с такими формулами, как

S = 1/2aha,

S = 1/2ab,

S = 1/2absinα,

S = a2√3/4.

Глава 1.Теоретическая часть работы.

Что можно узнать из формулы Герона.

Трудно переоценить значимость формулы Герона, позволяющей по данным трём сторонам подсчитать площадь треугольника. Однако на практике её стараются использовать только в самых крайних случаях, когда нет возможности вычислить площадь более быстрым способом. Кроме того, очевидно, что задачи на её применение встречаются в школьном курсе не так часто, как они того заслуживают. Причина проста: формула тяжеловесна, ведёт к оперированию с радикалами, которые традиционно не любимы учащимися. Эта формула достаточно громоздка, и её использование требует выполнения большого количества арифметических действий,(а значит и времени) что может быть очень нелегко, особенно если числа a, b, c иррациональны. Попробуем преобразовать формулу (1), сделав её более удобной для работы с иррациональными числами.

Получение модифицированной формулы Герона.

Итак, формула Герона, позволяющая определять площадь треугольника, зная длины трёх его сторон, записана в привычном для нас виде: : S = √p(p-a)(p-b)(p-c) , (1) где р =(a+b+c)\2- полупериметр, а a, b, c - стороны треугольника.

Перепишем её, подставив, вместо р полусумму сторон треугольника и преобразуем полученное выражение, следующим образом: S =√(a+b+c)\2× ((a+b+c)\2-a)×((a+b+c)\2-b)×((a+b+c)\2-c)=1\4√((a+b)+c)×((a+b)-c)×(c-(a-

-b))×(c+(a-b))=1\4√((a + b)2 - с2)×(с2-(a + b)2)=1\4√(2ab-(c2-a2-b2))×(2ab+(c2-a2-b2)).

Итак, S=1\4√4a2b2-(c2-a2 - b2)2. (2)

Это и есть новая, точнее, модифицированная запись формулы Герона. Оказалось, это совсем не сложно. Аналогично можно вывести ещё две симметричные формулы, полученные путём перестановки чисел а, b, c. Однако могу предложить еще один вариант формулы Герона. Чтобы получить её сделаем следующее: подставим в (1) р=(а+b+с)/2: будем иметь

S=√((a+b+c)/2) ×((a+b+c)/2-a) ×((a+b+c)/2-b)×((a+b+c)/2-c) (2')

Проведем алгебраические преобразования в числителе и знаменателе подкоренного выражения, получим следующее

(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=((a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)=c2(a+b)2-c4-(a+b)2(a+b)2+c2(a-b)=c2(2a2+2b2)-c4-(a2-b2)2=-(c4-2c2(a2+b2)+(a2-b2)2).

Теперь имеем: S=1/4√-(c4-2c2(a2+b2)+(a2-b2)2). (2'')

Это и есть ещё один вариант формулы Герон.

Мы получили формулу более удобную, чем формула (1), для вычисления площади треугольника, (точнее две формулы (2) и (2'')), если длины сторон выражены через радикалы, например √11, 3√7, √17. Кроме того, формула (2) наиболее подходящая для исследования.

Формула Герона для различных видов треугольников.

Рассмотрим различные виды треугольников, и выясним тем самым зависимость между длинами сторон.

Пусть треугольник прямоугольный с гипотенузой с и катетами а и b. Тогда справедлива теорема Пифагора c2=a2+b2, или c2-a2-b2=0. (3).

Подставляя полученное выражение в формулу (2), имеем: S=1\4√4a2b2-(c2-a2-b2) =1\4√4a2b2-0, или S=1\2a×b – хорошо известная формула для вычисления площади прямоугольного треугольника через длины его катетов.

Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b, то S=1\4√4a2b2-(b2-a2-b2)2=1\4 √4a2b2-a4, или S= a\4 √4 b2- a2. (4)

Обычно эту формулу получают другим способом. Пусть в треугольнике АВС АВ=АС=b, ВС=a (рис. 1)

В С

Рис.1.

Тогда S=1\2AD × BC. (5)

По теореме Пифагора AD= √AB2-BD2= √ b2-(a\2)2 = 1\2 √4b2-a2. Подставляя полученное соотношение в равенство (5) и учитывая, что ВС=а, получаем искомую формулу (4).

Если треугольник равносторонний со стороной а, то как из равенства (2), так и из равенства (4) можно получить формулу S = а2 ×√3\4.

Вспомним и другую формулу, выражающую зависимость между сторонами и углами треугольника, а именно теорему косинусов: c2=a2+b2-2ab × cos φ, где φ- угол между сторонами a и b. Перепишем её в другом виде:

c2- a2- b2= -2ab ×cos φ.

Можно заметить, что левая часть полученного равенства, есть элемент формулы (2). Сделаем подстановку: S=1\4√4a2b2-(c2-a2-b2)2=1\4√4a2b2-(-2ab ×cos φ)2=1\4√4a2b2(1-cos2φ) = 1\4√4a2b2sin2φ=1\2ab ×│sin φ│. Углы треугольника могут лежать в промежутке от 0 до 2π, функция sin х на этой области определения положительна, поэтому │sin φ│= sin φ, и мы приходим к известной формуле S= 1\2 ab sin φ. (6).

Удивительно, но факт. Поражает та незримая связь, позволяющая одной формуле влиться в другую, уметь деформироваться. Это же просто замечательно!

В книге Перельмана ([3], с. 50) есть задача, озаглавленная «Уравнение думает за нас». Вот и формула Герона думает за нас, что не всегда можно сказать, например, о формуле (6). Знак корня позволяет накладывать ограничение на подкоренное выражение и тем самым сигнализировать вырожденных случаях. Речь идёт о случаях, когда стороны a, b, c не образуют треугольник. Учащийся может ошибиться в предварительных вычислениях, и формула (6) для вычисления площади « не отреагирует» - она выдаст ответ, правда неправильный. В формуле же Герона подкоренное выражение становится отрицательным, что, естественно, подвигнет нас на проверку предыдущих вычислений.

К примеру, если c › a + b (невыполненное неравенство треугольника), то p-c = (a+b+c)\2-c = (a+b+c)\2‹ 0 и всё подкоренное выражение отрицательно.

Если же a + b = c, то треугольник вырождается в отрезок. Принято считать, что площадь отрезка равна нулю. Продемонстрируем это, используя формулу (2):

S=1\4√4a2b2-((a+b)2-a2-b2)2=1\4√4a2b2-(2ab)2=0. По мере того как мы находим связь между различными формулами для вычисления площади треугольника, возникает естественный вопрос: а нельзя ли из формулы (1) или (2) получить самое простое выражение для нахождения площади : S=1\2ah, (7)

где а- основания, а h - высота? И здесь нас ждёт неожиданность. Дело в том, что как раз наоборот, формула Герона выводится с помощью формулы (7). Конечно, этого практически невидно, если рассматривать выражение вида (1), а вот формула (2) это наглядно показывает. поставим перед собой стандартную школьную задачу: нахождение высоты треугольника, если известны все стороны.

Пусть в треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c, AD - высота, опущенная на сторону ВС. (Для случая, когда основание высоте лежит на продолжении стороны, рассуждения полностью аналогичны)

Обозначим CD = x, BD = a - x (рис. 2). А

a b

В С

a-x D x (рис. 2).

воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABD и ACD. Выразим из обоих равенств h2 и приравняем: c2-(a-x)2=b2-x2,

c2- a2+2ax-x2=b2-x2, c2-b2-a2=-2ax,

x=c2-a2-b2/-2a.

заметим, что так как угол С острый, то c2‹ b2 + a2 и x › 0, выражая теперь h из треугольника ACD, имеем: h=√b2-x2=√b2-(c2-a2-b2\-2a)2=1\2a√4a2b2-(c2-a2-b2)2. Хочу заметить, что такую формулу, для нахождения высоты треугольника, я нигде раньше не встречал. Знай, я её раньше, возможно, некоторые задачи смог бы решить иначе, легче.

Подставляя полученное выражение для h в формулу (7), получаем формулу Герона, записанную в виде (2). Чтобы теперь получить привычную формулу (1), нужно проделать в обратном порядке все преобразования, осуществлённые нами при переходе от (1) к (2).

Аналог формулы Герона в стереометрии.

Оказывается, что существует аналог формулы Герона в стереометрии, он выглядит так:

V=1\6abc√1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ. Эту формулу можно использовать для нахождения объёма тетраэдра, причем, здесь а, b и с – длины ребер тетраэдра, а α, β, γ – плоские углы трехгранного угла.

Геронов определитель.

Вернусь к задаче1, оказывается, что существует ещё один способ решения этой задачи через

Геронов определитель. Известна формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин: A(x1; y1),B(x2;y2), C(x3; y3):

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

S=1/2

Так как длины сторон треугольника ВС= а, АС=b, AB=c связаны с координатами его вершин формулами: a2=(x2-x3)2 + (y2-y3)2,

b2=(x1-x3)2 + (y1-y3)2,

c2=(x1-x2)2 + (y1-y2)2,

то попробуем записать формулу Герона в виде определителя, элементами которого являются а, b, с и, может быть, число. После некоторых поисков подходящей комбинации напишем по кругу по часовой стрелке величины: a, b, c, 0 и составим из них определитель D

a b c 0

b a 0 c

c 0 a b

0 c b a

Структура его такова, первая строка начинается с а, и элементы идут по часовой стрелке; вторая строка начинается с b, и элементы идут против часовой стрелке; третья строка начинается с с, и элементы идут опять по часовой стрелке; четвёртая строка начинается с нуля, и элементы идут против часовой стрелки. Отметим также, что i-я строка определителя (i=1, 2, 3, 4) совпадает с его i столбцом. Легко получить, что D=a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2.

Из формулы Герона S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

выводим 16S2=2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4,

Следовательно,

a b c 0

b a 0 c

c 0 a b

0 c b a

S=1\4 √ -

Площадь треугольника удобнее, конечно, вычислять по формуле Герона, записанной в традиционном виде. Найденная формула математически интересна самим фактом своего существования.

Ещё раз о модификации формулы Герона.

Формула Герона, записанная в виде корня квадратного из определителя нам уже знакома.

S=1\4√-D, где (1)

A B C O

B A O C

C O A B

O C B A

= a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2=D

И хотя, при этом мы делали замечание, что площадь треугольника удобнее вычислять по обычной формуле Герона:

S=√p (p-a) (p-b) (p-c). (2)

Однако встречаются задачи на вычисление площадей, при решение которых удобнее пользоваться необычной формулой Герона (2), а её модификацией которая получается из формулы (1) после раскрытия определителя либо из (2) после подстановки р=1\2(a+b+c): S=1\4√(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=1\4√[(b+c)2-a2] x[a2-(b-c)2]=1\4√2(a2b2+a2c2+b2c2)-a4-b4-c4. (3)

Прежде всего, с помощью формулы (3) можно вывести формулу, выражающую площадь треугольника через координаты его вершин A(x0; y0), B(x1; y1), C(x2; y2):

x1-x0

x2-x0

y1-y0

y2-y0

(4)

S=1\2

Для краткости положим x0=y0=0 (x=x-x0, y=y-y0). Подставим

│АВ│=с=√х21+у12, │АС│=b=√х22+у22, │ВС│= а =√(х2-х1)2+(у2-у1)2 в (3).

После простых, хотя и несколько громоздких преобразований получим:

S=1\2│x1y2-x2y1│, (4')

т. е. (4).

Заметим, что формулу (4') проще всего вывести как формулу площади треугольника, построенного на векторах ř1(х1; у1), ř2(х2; у2). Тогда S=1\2 │ ř1 │x │ ř2 │x sin α, где α – угол между векторами ř1, ř2. Учитывая, что скалярное произведением векторов ř1, ř2 равно

ř1 × ř2=│ř1│×│ř2│×cos α = х1 х2+ у1 у2, получим s=1\2│ ř1│×│ ř2│×sin α

=1/2│ ř1│×│ ř2│×√1 - cos2 α =1\2 √│ř1│2 ×│ ř2│2- (ř1× ř2)2=1\2 √( х12+ у12)( х22+ у22)-( х1х2+ + у1у2)2=1\2 √ х12у22-2х1у2х2у1+ х22у12=1\2 │ х1у2- х2у1 │, т. е. (4').

Глава2. Практическая часть работы. Применение модифицированной формулы Герона при решении задач.

x1-x0

x2-x0

y1-y0

y2-y0

А теперь я cнова вернусь к задаче, о которой упоминалась в начале работы, и решу её, используя модифицированную формулу Герона: S = 1/4×√4а2b2 – (с2 – а2 – b2)2 и формулу

S=1\2

Решение.

S=1/2│3 2│

│1 3│=1/2(9–2)=3,5.

Или по модифицированной формуле : S = 1/4√ 4( √10)2( √13)2 – ( (√5)2 – ( √1√1= 1/4√520-324 = 1/4√196 = 3,5.

Или ещё одна, совсем «свежая» задача: В11 из нынешних КИМов, вариант 218: В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 с основанием АВСД известны ребра АВ=2, ВС=3, ДД1=√28. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСД1. Решение задачи сводится к нахождению площади треугольника со сторонами, выраженными опять таки иррациональными числами: АС = √13, АД1=√37, Д1С=√32, т. е. складывается уже знакомая по предыдущей задаче, ситуация.

Она решается аналогично. Нетрудно догадаться, что сечение представляет собой треугольник (см. рис.1) и затем найти стороны этого треугольника. А дальше, если только знать модифицированную формулу Герона, решение будет тривиальным : АС = √4+9 = √13, АД1 = √ 9+28 = √37, Д1С = √ 4+28 = √32. Тогда S = 1/4√4 × 13 × 37-()2= =1/4√ = √1600 = 40.

Рис.1

Ещё задача из той же серии: в треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3√2, ВС=10, <МАС=45º.(см. рис.2)

Рис.2

Решение:

Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти третью сторону треугольника - АВ. Но чтобы найти АВ, нужно найти медиану АМ. Найдем её по теореме косинусов.

25=ma+18- 2×ma×3√2×√2/2, где ma - медиана, проведенная из вершины А, выполнив все необходимые преобразования, получаю квадратное уравнение ma2- 6ma -7= 0, из двух корней этого уравнения: -1 и 7, условию задачи удовлетворяет только 7, следовательно, ma=7,т. е. АМ=7. Чтобы найти АВ использую формулу: ma=√2(b2+c2)-a2, где а, b,с- соответственные стороны треугольника, получаю: 7=1/2√2(18+с2)-100,

14=√36+2с2-100.

Далее, чтобы решить это иррациональное уравнение, возведу обе его части в квадрат и найду третью сторону треугольника:

196=2с2-32, с=√130.

И последний шаг: SАВС=1/4√4(3√2)2×102-((√130)2-102-(3√2)2)2 = 1/4√=1/4√7056=21.

И последняя задача, которую я хочу предложить вашему вниманию. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 служит прямоугольный треугольник АВС (<А=90º); АС=4; ВС=3; ВВ1=4. Найдите площадь сечения АВ1С.

(см. рис.3)

Рис.3

Решение:

Чтобы найти площадь сечения АВ1С, нужно найти площадь треугольника АВ1С. В этом треугольнике мне известна сторона АС=4, а стороны АВ1 и В1С необходимо найти. Для того чтобы найти АВ1, найду АВ; рассмотрю треугольник АВС, он - египетский. Значит АВ=5. Из треугольника АВВ1 (он тоже прямоугольный т. к. по условию призма-прямая) получаю, что АВ1=√52+42 = √41. Осталось найти В1С. Для этого рассмотрю прямоугольный треугольник СВВ1 (<СВВ1 = 90º,т. к. призма прямая) и тоже – египетский, В1С=5. А теперь вычислю искомую площадь: S=1/4√4×52×42-((√41)2-52-42)2= 1/4√1600-0 =10.

Эту же задачу можно решить несколько иначе, если увидеть, что треугольник АВ1С – прямоугольный, <В1СА=90º по теореме о трех перпендикулярах. И тогда решение будет выглядеть так: S = 1/2АС×В1С=1/2×4×5=10. Здесь конечно второй способ выглядит эффектнее, но первый тоже возможен.

После того как я узнал модифицированную формулу Герона и показал её старшеклассникам, мы решили провести такой эксперимент: проверить, сколько времени они потратят на решение задачи, используя формулу, и сколько решая задачу другим способом. Результаты получились следующие:

Имя участника эксперимента	Время на решение задачи без формулы	Время на решение задачи с формулой
Алексей	25мин.	10мин.
Юлия	40мин.	10мин.
Ольга	23мин.	10мин.
Настя	40мин.	15мин.

Вывод: из таблицы видно, что, зная и используя модифицированную формулу Герона, участники эксперимента справились с решением задач значительно быстрее, чем, решая задачи иным способом.

Заключение.

В результате своей работы я получил новую формулу Герона. Возможно, Герон и знал её, пользовался ею, а возможно он её утаил? Но раньше я нигде не встречал этой формулы. Получив модифицированную формулу Герона, я не мог не оценить её преимущества. Во-первых, она дает значительный выигрыш во времени - об этом говорят результаты моего исследования; во-вторых, существенно облегчает вычисления при решении задач – это тоже видно из приведенных мною решений; в-третьих, я и сам могу её использовать при решении задач, а старшеклассники - просто в восторге. Кроме того, я сделал для себя удивительное открытие. Оказывается, что все формулы для вычисления площади треугольника, которые я знал и которые видел каждый день в своем кабинете математики, связаны с формулой Герона! Оказывается, что все они могут быть получены из формулы Герона для различных видов треугольников. Потрясающе! Уверен, что сделанная мною работа не только полезна, но и интересна.

Литература.

1., , и др. Изучение геометрии в 7-9 классах: методические рекомендации к учебнику: Кн. для учителя. М.: Просвещение,1997.

3. «Геронов определитель», ж. Математика в школе,1995, №5.

4.Перельман алгебра. М.: АО «Столетие», 1994.

5. Как решать задачу // «Квантор». Львов, 1991.

6.Погорелов : Учебник для 7-11классов средней школы. М.: Просвещение, 1992.

7. «Модификации формулы Герона», ж. Математика в школе, 1996, №3.

Тезисы доклада Мухлаева Антона по теме: «Возможно, Герон что-то утаил».

1. С некоторых пор в нашей жизни появилось такое новшество как – ЕГЭ, в связи с этим появилась необходимость использовать «время сберегающие технологии» решения задач, предлагаемых на ЕГЭ. Хотя справедливости ради следует заметить, что похожие задачи и раньше предлагались на вступительных экзаменах в ВУЗы. Некоторые из этих задач решаются формулой Герона для нахождения площади треугольника.

2. Уже 20 веков пользуется человечество математическим наследием Герона (Александрийского), в частности, формулой площади треугольника по трём сторонам:

S = √р(р-а)(р-b)(р-с), где р=1/2(а+b+с), но понятно, что она не удобна в этом случае. Возможно, существует другая запись этой формулы? А не утаил ли её Герон?

2. Попробуем преобразовать формулу (1), сделав её более удобной для работы с иррациональными числами.

Итак, S=1\4√4a2b2-(c2-a2 - b2)2. (2)

Это и есть новая, точнее, модифицированная запись формулы Герона

3. Оказывается, что существует аналог формулы Герона в стереометрии, он выглядит так:

4. Представляю вашему вниманию задачи, которые я решил с помощью модифицированной формулы.

1)В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 с основанием АВСД известны ребра АВ=2, ВС=3, ДД1=√28. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью АСД1.

2)В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3√2, ВС=10, <МАС=45º

3)Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 служит прямоугольный треугольник АВС (<А=90º); АС=4; ВС=3; ВВ1=4. Найдите площадь сечения АВ1С.

5. Вывод: познакомившись с модифицированной формулой Герона, я не мог не оценить её преимущества. Во-первых, она дает значительный выигрыш во времени - об этом говорят результаты моего исследования; во-вторых, существенно облегчает вычисления при решении задач – это тоже видно из приведенных мною решений; в-третьих, я и сам могу её использовать при решении задач, а старшеклассники - просто в восторге. Кроме того, я сделал для себя удивительное открытие. Оказывается, что все формулы для вычисления площади треугольника, которые я знал и которые видел каждый день в своем кабинете математики, связаны с формулой Герона! Потрясающе!

Слайд1

Мухлаев Антон ученик 8-го класса куломзинской школы. Представляю вашему вниманию работу на тему: возможно, Герон что-то утаил.

С некоторых пор в нашей жизни появилось такое новшество как – ЕГЭ, в связи с этим появилась необходимость использовать «время сберегающие технологии» решения задач, предлагаемых на ЕГЭ. Хотя справедливости ради следует заметить, что похожие задачи и раньше предлагались на вступительных экзаменах в ВУЗы. Некоторые из этих задач решаются формулой Герона для нахождения площади треугольника.

Слайд 2.

Уже 20 веков пользуется человечество математическим наследием Герона (Александрийского), в частности, формулой площади треугольника по трём сторонам:

Поиск ответа на этот вопрос и стал целью моей работы.

Цель: получить такую модификацию формулы Герона, которая позволит без лишних затрат времени находить площадь треугольника, со сторонами, выраженными иррациональными числами.

Задачи: - изучить литературу по интересующему меня вопросу;

- попытаться получить, интересующую меня модифицированную формулу;

- решать задачи с использованием модифицированной формулы Герона.

- познакомить выпускников с полученной формулой;

Слайд 3.

-b))×(c+(a-b))=1\4√((a + b)2 - с2)×(с2-(a + b)2)=1\4√(2ab-(c2-a2-b2))×(2ab+(c2-a2-b2)).

Итак, S=1\4√4a2b2-(c2-a2 - b2)2. (2)

Это и есть новая, точнее, модифицированная запись формулы Герона.

Слайд4

Оказывается, что существует аналог формулы Герона в стереометрии, он выглядит так:

Слайд 5

Рис.1

Слайд 6

Рис.2

Решение:

14=√36+2с2-100.

196=2с2-32, с=√130.

И последний шаг: SАВС=1/4√4(3√2)2×102-((√130)2-102-(3√2)2)2 = 1/4√=1/4√7056=21.

Слайд 7.

(см. рис.3)

Рис.3

Решение:

Слайд 8

Имя участника эксперимента	Время на решение задачи без формулы	Время на решение задачи с формулой
Алексей	25мин.	10мин.
Юлия	40мин.	10мин.
Ольга	23мин.	10мин.
Настя	40мин.	15мин.

Вывод: познакомившись с модифицированной формулой Герона, я не мог не оценить её преимущества. Во-первых, она дает значительный выигрыш во времени - об этом говорят результаты моего исследования; во-вторых, существенно облегчает вычисления при решении задач – это тоже видно из приведенных мною решений; в-третьих, я и сам могу её использовать при решении задач, а старшеклассники - просто в восторге. Кроме того, я сделал для себя удивительное открытие. Оказывается, что все формулы для вычисления площади треугольника, которые я знал и которые видел каждый день в своем кабинете математики, связаны с формулой Герона! Потрясающе!

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы