ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ Центральные предельные теоремы (ЦПТ)

Теоремы, определяющие условия, которые приводят к нормальному закону распределения случайных величин, называются центральными предельными теоремами.

ЦПТ ().

(доказана в 1901 г.)

Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Центральная предельная теорема (одна из формулировок)

Если − независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с конечным математическим ожиданием и дисперсией , то при неограниченном увеличении закон распределения случайной величины неограниченно приближается к нормированному нормальному закону , то есть

.

Следствие

Если закон распределения случайных величин неограниченно приближается при к нормальному закону, то случайные величины при достаточно больших приближённо можно считать нормальными

с параметрами .

Теорема Муавра (локальная теорема Муавра – Лапласа)

Вероятность того, что в независимых опытах событие наступит раз, если в каждом из опытов вероятность появления события постоянна и равна , приближённо выражается формулой:

, то есть приближённо является нормальным .

(доказана в 1730 г.)

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Вероятность того, что в независимых опытах событие наступит не менее раз и не более , если в каждом из опытов вероятность появления события постоянна

и равна , приближённо выражается формулой:

,

где – функция Лапласа,

.

§ Неравенство Чебышева. Понятие сходимости по вероятности

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Неравенство Чебышева Пафнутия Львовича

()

Пусть дана случайная величина с конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией . Тогда для любого положительного справедливо неравенство

или

Понятие сходимости по вероятности

Последовательность сходится по вероятности к неслучайному числу , если для любых чисел найдется такое число , зависящее от и , что для всех выполняется неравенство

То есть

§ Закон больших чисел

Теоремы этой группы предельных теорем устанавливают устойчивость средних значений. При большом числе случайных экспериментов их средний результат теряет свойство случайности.

Теорема

(доказана в 1867 г.)

Если − последовательность попарно независимых случайных величин

с конечными математическими ожиданиями

и дисперсиями , причём каждая из дисперсий ограничена одним числом , то последовательность сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий .

То есть

Следствие 1

Пусть дана последовательность случайных величин , распределённых по одному закону, имеющему конечное математическое ожидание и конечную дисперсию . Тогда среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности к .

То есть

Следствие 2 (теорема Бернулли)

(доказана в 1713 г.)

Пусть производится независимых испытаний по схеме Бернулли, в каждом из которых может появиться с постоянной вероятностью некоторое событие .

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота ( - число наступлений события в -м опыте)

сходится по вероятности к .

То есть

Следствие 3 (теорема Пуассона)

(опубликована в 1837 г.)

Если производится независимых испытаний, и вероятность появления события в – м испытании , то при возрастании относительная частота ( - число наступлений события в -м опыте)

появления события сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей :