Элементы комбинаторики

Элементы комбинаторики

Из опыта работы учителя математики СОШ №15

Оглавление:

Курс: «Элементы комбинаторики»(18часов) 97

Тематическое планирование. 98

Краткое изложение. 98

Разработка по теме: «Основные формулы комбинаторики». 102

Тест по теме: «Основные формулы комбинаторики». 104

Курс: «Элементы комбинаторики»(18часов)

Цель:

1)  Подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня математической культуры, развитие алгоритмического и научно теоретического мышления.

2)  Последовательное изучение основных понятий комбинаторики, раскрытие прикладного значения биномиальных коэффициентов, связанных с исследованием специальных чисел.

3)  Подготовка к изучению физики, знакомство с основными понятиями теории вероятностей.

4)  Курс позволяет ознакомить учащихся с логическим строением теории по комбинаторике, обеспечивает основу логического мышления школьников.

5)  Важность курса заключается в его прикладной направленности, которая обеспечивается целенаправленным обращением к решению различных примеров и задач.

При подготовке сложного теоретического материала курса сочетались такие принципы, как принцип научности и доступности, принцип активности и сознательности, принцип прочности и наглядности. Эти принципы реализовались через такие методы обучения, как объяснительно – иллюстративный, словесный и практический. Для усвоения материала выбраны занятия в форме – лекции, математического практикума; различные формы работы: групповая, самостоятельная, игровая, что заинтересовало ребят. Учебный материал соответствует возрастным особенностям учащихся. При получении результата по овладению учениками материалом использован опросо – ответный метод, предлагались тесты и анкеты.

Важным для достижения успеха при проведения занятий является стиль работы, который установится в классе. Желательно чтобы этот стиль можно было охарактеризовать как «доброжелательное обсуждение. Надо убедительно показать, почему ответ не верен, если допущена ошибка. Необходимо учитывать принцип воспитывающего обучения, когда отношения учитель – ученик складываются на уроке как доверительные.

Данный материал может быть использован для факультативов, так как материал предназначен не только для общего развития, но и для подготовки будущих специалистов, для раскрытия сложных научных понятий, идей. На занятиях необходимо привить интерес к математике, сделать его четким и устойчивым, занятия должны быть занимательными.

Тематическое планирование

П/н	Тема занятия	Кол-во часов	Цель занятия
1.	Введение в комбинаторику. Базовые понятия комбинаторики.	1ч.	Ознакомить с разделом математики – комбинаторикой; базовыми понятиями комбинаторики (перестановками, размещениями, сочетаниями)
2.	Основные формулы комбинаторики.	1ч.	Ввести основные формулы комбинаторики. Решение примеров и задач с использованием этих формул.
3.	Решение задач.	1ч.	Закрепление изученного, повторение основных понятий и формулы. Отработать навыки решения комбинаторных задач.
4.	Тестирование.	1ч.	Выявить эффективность усвоения темы.
5.	Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.	2ч.	Продолжить знакомство с разделом математики – комбинаторикой. (Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты).
6.	Свойство биномиальных коэффициентов.	2ч.	Доказательство свойств биномиальных коэффициентов. Сформировать практические навыки работы с биномиальными коэффициентами.
7.	Следствие формулы бинома Ньютона.	1ч.	Знакомство со следствием формулы бинома Ньютона. Развитие мышления, умение пользоваться ранее полученными знаниями.
8.	Решение задач.	2ч.	Выработать навыки решения комбинаторных задач. Закрепить полученные знания о биномиальных коэффициентах.
9.	Тестирование.	1ч.	Закрепить пройденный материал. Устранить пробелы в знаниях учащихся. Выявить эффективность усвоения данной темы.
10.	Числа Фиббоначи, Моргана.	2ч.	Ознакомить с числовой последовательностью Фиббоначи. Вывести основные формулы для чисел Фиббоначи, Моргана.
11.	Числа Стирлинга.	2ч.	Изучение чисел Стирлинга 1 и 2 рода.
12.	Числа Бернулли и Эйлера.	2ч.	Знакомство с числами Бернулли и Эйлера. Вывод основных соотношений.
13.	Повторение.	2ч.	Обобщение и систематизация знаний по всем вопросам курса.

Краткое изложение

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать эти элементы в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами.

Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторика изучает соединения, треугольник Паскаля, число Фиббоначи, Бернулли и Эйлера, а так же имеет широкое применение во многих других науках. Это очень интересный и познавательный раздел математики.

Итак,

1.  Перестановки - это соединения, отличающиеся порядком элементов Pn-число всевозможных перестановок из n элементов. Pn=n!

2.  Размещения - это такие соединения, которые отличаются или количеством элементов, или самими элементами.

- число размещений, составленных из n элементов по m.

Amn=n (n-1) (n-2) … (n-m+1)

3.  Сочетания – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

– число сочетаний из n элементов по m.

Всякая совокупность предметов называется в математике множеством.

Множества бывают конечные и бесконечные.

Конечные множества составляют предмет изучения комбинаторики.

4.  Треугольник Паскаля – Это бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

1

1 1

1 2 1

7 1

28 8 1

5.  Формула бинома Ньютона – для всех действительных чисел a, b и для всех натуральных чисел n имеет следующий вид:

, где и где коэффициенты называют биномиальными коэффициентами, а так же числом сочетаний и n элементов по k.

Существует связь между числами сочетаний и треугольником Паскаля:

Например:

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Вывод: строки биноминальных коэффициентов, совпадают с 0 – й, 1 – й, 2 – й, 3 – й, 4 –й и т. д. строками треугольника Паскаля.

6.  Свойства биномиальных коэффициентов.

Биномиальный коэффициент – коэффициент при смежных Z в разложении бинома Ньютона. (a+b)n, где Z=akbn-k.

1 свойство: свойство симметрии:

2 свойство: свойство сложения:

3 свойство:

4 свойство:

5 свойство: – это равенство формулы бинома Ньютона.

6 свойство:

7 свойство:

8 свойство:

9 свойство:

10 свойство: – теорема сложения.

11 свойство:

12 свойство: , где (n/2 – целая часть числа n/2)

13 свойство:

14 свойство: при x>-1/4 справедливо , где (n/2) целая часть числа n/2, при x=-1/4 по правилу Лопиталя

Разработка по теме: «Основные формулы комбинаторики»

Цель: ввести основные формулы комбинаторики. Уметь решать примеры и задачи с использованием этих формул.

Метод проведения занятия: Лекция, с элементами самостоятельной работы учащихся.

План занятия:

1.  Орг. Момент;

2.  Актуализация опорных знаний (повторение);

3.  Объяснение;

4.  Закрепление (решение примеров, использование ранее изученных формул).

5.  Дом. задание.

Ход урока:

  I.  Комбинаторика изучает, количества комбинаций, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При решении комбинаторных задач часто используют формулы комбинаторики. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Вопрос: Вспомните базовые понятия комбинаторики, с которыми вы познакомились на прошлом занятии.

Ответы:

1.  Перестановка.

2.  Размещение.

3.  Сочетание.

  II.  Перейдем к решению задач:

1.  Сколько трехзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение только один раз? (P3=6)

2.  Сколькими способами можно разместить пассажиров в, четырехместной каюте?

3.  Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

  III.  Закрепление формул с помощью следующих примеров:

Вычислить:

1 

a)  ;

b)  ;

c)  ;

2 

a)  ;

b)  ;

3 

a)  ;

b)  ;

4 

a)  ;

b)  ;

c)  проверить равенство ;

  IV.  Решение уравнений с использованием формул комбинаторики.

a) 

b) 

c) 

При решении не забывать, что x – положительное число.

Задачи:

1.  Сколько нужно взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем, число размещений из них по 2?

2.  Определить , если дано, что ?

V.  Итог урока:

Закрепили изученные формулы комбинаторики.

Дома:

1.  Вычислить:

2.  При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? [ответ: ]

3.  Группа учащихся в 30 человек пожелала поменяться своими фотокарточками. Сколько всего карточек потребовалось для этого? [ответ: ]

4.  Сколько различных плоскостей можно провести через 10точек. Если никакие три из них не лежат на одной прямой, и никакие четыре не лежат в одной плоскости? [ответ: ]

Вопросы к ребятам:

1.  С каким разделом математики вы познакомились?

2.  Что изучает комбинаторика?

3.  Какие базовые понятия комбинаторики вы узнали?

4.  Понравилось ли вам изучение этой темы?

Тест по теме: «Основные формулы комбинаторики».

Цель: Выявить эффективность усвоения изученной темы.

1  Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов:

1.  *безразлично какой природы, заданного конечного множества

2.  оговоренной природы бесконечного множества

2  Перестановки – комбинации, составленные из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся,

1.  *только порядком их расположения

2.  хотя бы одним элементом

3  Размещение – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются:

1.  и составом элементов, и их порядком

2.  *либо составом, либо их порядком

4  Сочетание – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются:

1.  *хотя бы одним элементом

2.  порядком их расположения

5  Число всех возможных перестановок имеет обозначение и формулу для вычисления:

1. 

2.  *

3.  *

6  Число всех возможных размещений вычисляется по формуле:

1. 

2.  *

3. 

7  Для того, чтобы найти число сочетаний надо воспользоваться формулой:

1.  *

2. 

3. 

8  Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

1. 

2. 

3.  *

9  Число размещений из 10 элементов по 3 равно:

1.  360

2.  *720

3.  5040

10  Число сочетаний из 12 элементов по 6 имеет следующее значение:

1.  720

2.  1024

3.  *924

«Звездочкой (*) отмечены верные ответы.