Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

п.1. Уравнения вида

Уравнение такого вида можно заменить равносильной системой двумя способами.

Первый способ

Второй способ

Из двух систем можно выбрать любую.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

п.2. Уравнения вида

Уравнение такого вида можно заменить равносильной системой двумя способами.

Первый способ

Второй способ

Из двух систем можно выбрать любую.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

п.3. Уравнения вида

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

п.4. Уравнения вида

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

п.5. Уравнения вида

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7. (ЕГЭ-А) Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения .

Решение. Из условия задания следует, что .

Ответ:№1.

Пример 8. (ЕГЭ-С) Решите уравнение

.

Решение.

Ответ:.

п.6. Уравнения вида

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

п.7. Уравнения вида

Уравнение такого вида можно заменить равносильной системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

Из двух систем можно выбрать любую.

Пример 10 . Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

п.8. Уравнения вида

Уравнение такого вида можно заменить равносильной системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

Из двух систем можно выбрать любую.

Пример 11 . Решить уравнение

Решение.

Ответ: .

п.9. Уравнения на применение основного логарифмического тождества

Пример 12. Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 13.(ЕГЭ-В) Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

п.10. Уравнения на применение формул для логарифмов произведения, частного и степени

Пример 14. Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 15. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 16. (ЕГЭ-А) Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения

.

Решение.

Ответ: №3.

Пример 17. (ЕГЭ-А) Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения

.

Решение.

Ответ: №1.

Пример 18. (ЕГЭ-А) Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения .

Решение.

Способ 1

Из условия задания следует, что .

Способ 2

Из условия задания следует, что .

Ответ:№1

п.11. Введение новой переменной

Пример 19. Решить уравнение .

Решение.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Возвращаясь к переменной х:

Ответ: .

Пример 20. Решить уравнение

Решение.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Сделав, обратную замену, получим: Ответ: .

Пример 21.(ЕГЭ-А) Найдите сумму корней уравнения

Решение.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Сделав, обратную замену, получим:

Сумма корней

Ответ: №3.

п.12. Переход к другому основанию

При решении данных уравнений используется формула перехода к другому основанию:

Следствие:

Пример 22. Решить уравнение .

Решение.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

Сделав обратную замену, получим: Ответ:

Пример 23. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

ПримерЕГЭ-С) Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

ПримерЕГЭ-В) Решить уравнение .

Решение.

Способ 1

Ответ: .

Способ 2

Переход к логарифмам по основанию 3:

Ответ: .

п.13. Уравнения вида

Как правило, уравнение такого вида решается логарифмированием обеих частей по основанию а.

Пример 26. (ЕГЭ-В) Укажите целый корень уравнения

.

Решение.

По условию корень должен быть целым.

Ответ: .

п.14. Уравнения вида

Пример 27. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

п.15. Уравнения, содержащие выражение вида

При решении уравнений такого вида используется формула

Пример 28. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

п.16. Уравнения, решаемые оценкой его левой и правой частей или при использовании свойств функций

Известно, что если функции и на области определения уравнения непрерывные и на этой области, то корни уравнения находятся при решении системы

.

Известно, что если функции и на области определения уравнения непрерывные и одна из них убывает, а другая возрастает на этой области, то уравнение может иметь не более одного корня.

Пример 29. Решить уравнение .

Решение.

Пусть .

1) Оценим левую часть исходного уравнения.

Так как и основание логарифма больше 1, то по свойству логарифмов получим, что .

2) Оценим правую часть уравнения.

Найдем координаты вершины параболы. .Так как у параболы ветви направлены вниз, то .

3) Тем самым получим систему уравнений:

Ответ: .

Пример 30. Решить уравнение .

Решение.

Пусть .

1) Оценим левую часть исходного уравнения.

Так как .

2) Оценим правую часть уравнения.

Известно, что . Пусть , тогда и поэтому .

3) Тем самым получим систему уравнений:

Ответ: .

Пример 31. Решить уравнение .

Решение.

1) Оценим левую часть исходного уравнения.

и

.

Тогда

2) Тем самым получим систему уравнений:

Ответ: .

Пример 32. (ЕГЭ-В) Решить уравнение .

Решение.

1) Т. к. функция - возрастающая, а функция - убывающая, то корней может быть не более одного.

2) Очевидно, что

Ответ: .

п.17. Смешанные уравнения

Пример 33. (ЕГЭ-С) Решить уравнение .

Решение.

Пусть и т. к. и уравнение примет вид:

Вернемся к переобозначению:

Ответ: .