Вычисление наибольших и наименьших значений функций без применения производной

Вычисление наибольших и наименьших значений функций

без применения производной.

11 класс. Учитель:

Очень часто применение производной приводит к громоздким вычислениям и, как следствие, к большим затратам времени и арифметическим ошибкам.

В этом учащиеся убеждаются при выполнении домашнего задания к этому уроку. Между тем при решении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значений можно использовать различные приемы.

Цель данного урока – повторить и систематизировать все известные способы, показать новые, красивые способы нахождения наибольшего и наименьшего значений без применения производной, которые не входят в программу школьного курса.

Оснащение урока: интерактивная доска, устройства для голосования.

У каждого ученика на парте приготовлена технологическая карта, в которую они в течение урока вписывают различные способы нахождения наибольшего и наименьшего значений функций на произвольном множестве (См. приложение 1), а также оценочный лист, в который учащиеся вписывают заработанные на уроке баллы (приложение 2)

Ход урока.

1.  Устная работа.

Один вариант выполняет небольшую самостоятельную работу, заполняет табличку на монотонность функции (См. приложение 3), второй в это время вместе с учителем выполняет тест с помощью устройств для голосования, в котором проверяются необходимые навыки (приложение 4).

Данная работа позволяет объективно оценить знания учащихся, ребята работают в полной мере самостоятельно и учитель и дети видят сразу результаты своей работы.

2.  Задания №1,2,3 выполняются самостоятельно, с последующей проверкой (приложение 5). На слайдах приготовлено решение. Задания разбираются вместе с классом, рассматриваются различные способы решения.

В этих упражнениях каждый ученик решает по одному заданию на выбор, задания различны по сложности. Т. О. осуществляется дифференцированный подход к учащимся. Здесь используется взаимопроверка и самооценка.

Для тех, кто раньше других выполнит решение, есть дополнительные задания более сложного уровня, требующие глубоких знаний и творческого подхода (приложение 6).

3. Изучение нового.

Трое учащихся знакомят своих товарищей с новыми способами

(приложение 7).

Можно показать, как с помощью векторного способа быстро и красиво решить домашний пример.

4. Применение указанных способов при решении уравнений.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание (приложение 8).

Приложение 1.

Технологическая карта.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
На отрезке .	На интервале.	На произвольном множестве ( в частности, на Д(y))
1. Область определения.	1. Область определения.
2. Найти критические точки функции из отрезка .	2. Производная.
3. Стационарные точки.
3. Найти значение функции в этих критических точках и на концах отрезка.	4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Примечание: если функция на интервале имеет единственный экстремум - максимум (минимум) в т. , то значение функции в этой точке явл. наибольшим (наименьшим) значением функции.
4. Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Приложение 2.

Оценочный лист
Фамилия. Имя.
☺	Максимальное количество баллов	Заработанное количество баллов
Устная работа.	6
Задание №1.	А-2б; Б-3б; C-4б.
Задание №2.	А-2б; Б-3б; C-4б.
Задание №3.	А-3б; Б-4б.
Дополнительное задание	5
Общая сумма баллов

Приложение 3.

Фамилия. Имя.

Монотонность функции.

1. Сумма убывающих функций есть функция…

2. Найдите наименьшее значение функции:

3. Функция является…

4. При каких значениях р функция y=a – px убывает на R?

5. Функция y=cosx на отрезке является…

6. Найдите множество значений функции: y=7cosx-2sinx

Приложение 4.

Тест по алгебре. Исследование функции.

№1.Какое из чисел входит во множество

значений функции ?

А) -12; В) -18; С) -20; D) -11.

№2. Укажите функцию, областью

значений которой является

промежуток

А) f(x)=sinx; B) g(x)=;

C) h(x)=lgx; D) p(x)= .

№3. Найдите множество значений

функции .

A) ; B) ;

C) ; D)

№4. Найдите множество значений

функции .

A) ; B) ;

C) ; D)

№5. Найдите наибольшее значение

функции g(x)=.

A) 4; B) 0; C) 1; D) другой ответ

№6. Найдите наименьшее значение функции

f(x)=sinx на отрезке

A) 0; B) ; C) - ; D) – 1.

Приложение 5.

Приложение 6.

Дополнительное задание.

Из множества значений функции удалили все целые числа.

Сколько получилось числовых промежутков?

Приложение 7.

1. Использование неравенства:

при всех а>0; при а=1.

Задача. Найти наименьшее значение функции:

2.  Векторный способ решения.

Задача. Найти наименьшее значение функции:

3.

Приложение 8. Домашнее задание.

№1. Найдите разность между наибольшим и наименьшим

значениями функции:

на .

№2. Найдите количество всех целых чисел, принадлежащих множеству

значений функции .

№3. Найдите множество значений функции:

№4. Найдите наименьшее значение функции векторным способом.