Работа в командном окне системы MatLAB (стр. 3 )

Задание на лабораторную работу

1. Ознакомиться с теоретическим введением к лабораторной работе.

2. При помощи программы Chaos (в среде MatLab) построить паутинные диаграммы нелинейных дискретных отображений в соответствии со своим вариантом при различных значениях параметра λ.

3. Написать функцию, позволяющую построить паутинные диаграммы для заданного нелинейного дискретного отображения. Значение параметра, при котором производится построение паутинной диаграммы, должно передаваться в функцию в качестве параметра.

4. Сравнить полученные результаты с результатами программы Chaos.

Варианты заданий

№ варианта	Функция	«Рабочий» диапазон параметра λ
1		1 – 4
2		4 – 6.75
3		1 – 3
4		0 – 2
5		0 – 0.39
6		0.9 – 2
7		1.8 – 3.9

Для каждого варианта имеются сохраненные настройки программы Chaos (файл var#.chs).

Пояснения к выполнению лабораторной работы

1. При работе с программой Chaos необходимо помнить, что параметр функции λ обозначен как a.

2. В поле «Исследуемая функция» задается функция в соответствии правилами, принятыми в среде MatLab. В связи с этим многие операции принудительно заданы как поэлементные («.+», «.*»). В файле с Вашим вариантом задана правильная запись исследуемой функции, изменять эту запись не рекомендуется.

3. Для сохранения результатов построения паутинной диаграммы необходимо выполнить следующее: установить задержку рисования в 0; выбрать «Команды -> Построить паутинную диаграмму в новом окне». В этом окне можно будет сохранить результаты с помощью стандартных средств MatLab.

4. При написании программы для построения паутинной диаграммы рекомендуется сделать 2 варианта: первый – построение диаграммы при помощи функции plot; второй – анимационное построение при помощи функции mycomet (функция аналогична стандартной функции comet, но в качестве 4-го параметра получает значение задержки в секундах между шагами).

Литература к лабораторной работе №4

Медведева логистической функции. Соросовский образовательный журнал, том 6, №8, 2000. Климонтович в физику открытых систем. Соросовский образовательный журнал, №8, 1996. Кузнецов образы хаоса. Соросовский образовательный журнал, том 6, №11, 2000. Кузнецов хаос. – М: Физматлит, 2001.

Лабораторная работа № 5.
Дискретные отображения и бифуркационные диаграммы

Цель работы

Познакомиться с хаотическими свойствами простых нелинейных систем. Исследовать при помощи бифуркационных диаграмм хаотические свойства нелинейных дискретных отображений. Работа является логическим продолжением исследования нелинейных дискретных отображений при помощи паутинных диаграмм.

Основные сведения о бифуркационных диаграммах

В прошлой лабораторной работе были рассмотрены основные вопросы, связанные с дискретными отображениями и построением паутинных диаграмм. Бифуркационная диаграмма является развитием паутинной диаграммы, т. к. позволяет исследовать режимы, в которых находится система, при задании некоторого диапазона параметра. Основные принципы построения бифуркационной диаграммы также были приведены в описании предыдущей лабораторной работы.

Например, возьмем известную логистическую функцию и пронаблюдаем весь каскад бифуркаций, которые происходят с системой при плавном изменении параметра λ. Для этого, выберем какое-либо начальное значение x и проделаем над ним 100-200 итераций отображения логистической функции. Затем отложим значения следующих 100-200 итераций по вертикальной оси, а значение параметра λ, при котором производились вычисления, – по горизонтальной. По оси λ пройдем отрезок от 2,9 до 4 с небольшим интервалом, например 0,01. Полученное множество называется бифуркационной диаграммой логистической функции. В результате вычислений должна получиться следующая картина.

Рис. 5.1. Бифуркационная диаграмма логистической функции.

Порядок построения бифуркационной диаграммы

1. Выбираем начальное значение x (например, x = 0.5) и начальное значение λ.

2. Производим 200 итераций заданного отображения.

3. Запоминаем или отображаем значения последующих 100 итераций отображения.

4. Увеличиваем значение λ на заданный шаг и повторяем процедуру вычислений.

Задание на лабораторную работу

1. Ознакомиться с теоретическим введением к лабораторной работе.

2. При помощи программы Chaos (в среде MatLAB) построить бифуркационные диаграммы нелинейных дискретных отображений в соответствии со своим вариантом при различных значениях параметра λ. Выполняемый вариант должен соответствовать варианту предыдущей работы.

3. Написать функцию, позволяющую построить бифуркационные диаграммы для заданного нелинейного дискретного отображения.

4. Сравнить полученные результаты с результатами программы Chaos.

Варианты заданий

№ варианта	Функция	«Рабочий» диапазон параметра λ
1		1 – 4
2		4 – 6.75
3		1 – 3
4		0 – 2
5		0 – 0.39
6		0.9 – 2
7		1.8 – 3.9

Для каждого варианта имеются сохраненные настройки программы Chaos (файл var#.chs).

Пояснения к выполнению лабораторной работы

1. При работе с программой Chaos необходимо помнить, что параметр функции λ обозначен как a.

2. В поле «Исследуемая функция» задается функция в соответствии правилами, принятыми в среде MatLAB. В связи с этим многие операции принудительно заданы как поэлементные («.+», «.*»). В файле с Вашим вариантом задана правильная запись исследуемой функции, изменять эту запись не рекомендуется.

3. Для сохранения результатов построения паутинной диаграммы необходимо выполнить следующее: установить задержку рисования в 0; выбрать «Команды -> Построить бифуркационную диаграмму в новом окне». В этом окне можно будет сохранить результаты с помощью стандартных средств MatLAB.

4. Наиболее простым и эффективным способом построение бифуркационной диаграммы является следующий: для хранения результатов заводится специальный массив, размерностью КоличествоТочекПоХ × КоличествоТочекПоА (КоличествоТочекПоА вычисляется очень просто: (МаксимальноеЗначениеА – МинимальноеЗначениеА) / ШагПоА + 1; КоличествоТочекПоХ вычисляется аналогично); затем результаты итераций (после пропущенных 100) «регистрируются» в этом массиве; после окончания всех вычислений массив выводится на экран при помощи функции spy().

«Регистрация точек в массиве»

Рассмотрим пример. Мы выбрали в качестве исследуемого отображения логистическую функцию, , , шаг по λ выбран 0.2. Таким образом КоличествоТочекПоА = 5. КоличествоТочекПоХ примем также равное 5. Исходный массив результата имеет вид:

0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Начнем выполнять итерации при λ = 3. На каком-то регистрируемом шаге мы получили значение x = 0.35. Необходимо занести это значение в массив. Представим, что весь интервал разбит на 5 интервалов – это и есть столбец нашего массива результатов. Значение x = 0.35 попадает во второй интервал (int(0.35/0.2) + 1 = 2), следовательно, во второй строке должна появиться отметка об этом. Проще всего записывать 1. Проведя аналогичные рассуждения относительно λ, получаем, что 1 должна записаться в 1 столбец, т. е.

0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

Аналогично выполняется «регистрация» результатов последующих итераций.

5. Необходимо помнить, что MatLAB оптимизирован для выполнения векторных операций. Т. е. код x = [0:0.1:1]; y = sin(x); будет выполняться значительно быстрее, чем соответствующий перебор массива x и вычисления для него массива y.

6. Инициализацию массива удобно выполнять при помощи команды zeros(m, n).

Литература к лабораторной работе №5

Медведева логистической функции. Соросовский образовательный журнал, том 6, №8, 2000. Климонтович в физику открытых систем. Соросовский образовательный журнал, №8, 1996. Кузнецов образы хаоса. Соросовский образовательный журнал, том 6, №11, 2000. Кузнецов хаос. – М: Физматлит, 2001.

Лабораторная работа № 6.
Карты динамических режимов и решетки связанных отображений

Цель работы

Изучить методы построения и свойства карт динамических режимов, используемых для исследования хаотических свойств нелинейных систем. Выявить взаимосвязи между различными методами исследования динамического хаоса.

Основные сведения о картах динамических режимов

В предыдущих лабораторных работах были рассмотрены основные методы и разработаны базовые алгоритмы построения бифуркационных и паутинных диаграмм для исследования хаотических свойств нелинейных динамических систем. Как уже отмечалось, паутинная диаграмма позволяет проследить развитие системы, представленной в виде дискретного отображения, при фиксированном значении параметров. Бифуркационная диаграмма предназначена для изучения поведения системы на заданном диапазоне одного из параметров. Такой подход позволяет выявить и исследовать бифуркации, происходящие при изменении одного из параметров системы. Дальнейшим развитием и обобщением бифуркационной диаграммы служит карта динамических режимов.

Карты динамических режимов используются, если система имеет 2 параметра. По оси x в этом случае откладываем один из параметров системы, по оси y – другой. «Режим» системы изображается цветом. На Рис. 3 изображена бифуркационная диаграмма логистической функции и соответствующая диаграмме карта динамических режимов, рассчитанная для одного параметра. Зеленым цветом обозначена область параметров, отвечающая существованию неподвижной точки, желтым – цикла периода 2, синим – цикла периода 4, красным – периода 8, серая область соответствует хаосу.

Рис. 6.1. Бифуркационная диаграмма и соответствующая ей карта
динамических режимов для отображения с одним параметром

Конечно, при исследовании отображений с одним параметром карты динамических режимов обычно не используются. Область их применения – отображения с двумя параметрами. На Рис. 4 представлена карта режимов кубического отображения .

Рис. 6.2. Карта динамических режимов кубического отображения

Кроме исследований дискретных отображений с двумя параметрами карты динамических режимов используются для изучения решеток связанных отображений.

Решетки связанных отображений

Для описания сложной динамики и хаоса в распределенных системах различной природы (гидродинамическая турбулентность, электронные устройства, системы нелинейной оптики, химические системы реакция – диффузия, модели биологических популяций) могут привлекаться системы уравнений с частными производными, цепочки нелинейных осцилляторов, решетки связанных отображений, клеточные автоматы. Если речь идет о качественном понимании сложной пространственно-временной динамики, то во многих случаях предпочтительно иметь дело не с непрерывной средой, а с решеточными моделями.

Решетки связанных отображений введены в рассмотрение в начале 80-х годов. Представим себе одномерную цепочку или двумерную решетку, в которой каждой ячейке сопоставлена система с дискретным временем, например, квадратичное отображение. Пусть, далее, каждый элемент каким-то образом связан со своими соседями, так что мгновенное состояние соседних ячеек оказывает влияние на состояние данного элемента в следующий момент времени.

Иногда переход к решетке может рассматриваться как приближенный метод описания непрерывной системы. В других случаях решеточная модель может быть подходящей по самому существу задачи. Например, в физике твердого тела естественная дискретизация обеспечивается наличием кристаллической решетки.

Для задания взаимодействия между элементами решетки достаточно задания 2-х типов связи: инерционной и диссипативной; величина связи задается при помощи коэффициентов E1 и E2. Смысл и свойства диссипативной и инерционной связи рассмотрены в табл. 1.

Таблица 1. Диссипативная и инерционная связь

Рассмотрим систему из двух элементов, каждый из которых описывается квадратичным отображением , Пусть, например, речь идет о двух биологических популяциях, численность которых изменяется из года в год согласно этим уравнениям.
Один способ ввести связь состоит в предположении, что организмы сначала размножаются (гибнут), оставаясь в своей популяции, а потом на некоторое время получают возможность мигрировать между популяциями («сначала размножаются, потом расползаются»). На следующий год цикл повторяется. Уравнение имеет вид Этому соответствует вторая картинка. Такая связь стремится выровнять мгновенные состояния подсистем, и ее естественно назвать диссипативной.
Другой способ: организмы имеют возможность миграции, минуя цикл размножения и гибели в «своей» популяции. Уравнение имеет вид Такая связь способствует сохранению памяти о состоянии на предыдущем шаге, и ее естественно именовать инерционной.
Наконец, могут присутствовать оба типа связи, это комбинированная связь: То, что других типов связи вводить не нужно, и данное уравнение служит в определенном смысле универсальной моделью связанных систем, следует из ренормгруппового анализа.

Исследования решеток связанных отображений позволяет обнаружить явления и эффекты, недостижимые при моделировании одиночных отображений. Например, на Рис. 5 приводятся карты динамических режимов при различных значениях параметров связи Е1 и Е2 для следующей решетки связанных отображений:

.

Рис. 6.3. Карты динамических режимов для решетки из двух логистический функций
при различных значениях параметров связи.

Для построения карт динамических режимов и бифуркационных диаграмм для решетки из 2-х связанных отображений предназначена программа DinMap2. Отображения имеют два вида связи: инерционную и диссипативную; величина связи задается при помощи коэффициентов E1 и E2. Общее количество параметров двух отображений – 2 (без учета коэффициентов связи).

Задание на лабораторную работу

Разработать функцию определения режима дискретного отображения при заданных параметрах. На вход функции подается массив, содержащий бифуркационную диаграмму исследуемого отображения (см. предыдущую лабораторную работу) и предельный номер режима (при превышении этого режима состояние системы определяется как хаос). На выходе функция выдает вектор-строку с номерами режимов для каждого столбца входного массива (1 соответствует апериодическому режиму, 2 – циклу периода 2, 4 – циклу периода 4 и т. д.; 99 соответствует хаосу).

Литература к лабораторной работе №6

1.  Безручко, маятники и их модели / // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 9. – С. 95-102.

2.  Валентинов, А. Хаос в порядке вещей [Электронный ресурс] / Альберт Валентинов, Юлия Малахова. – (http://www. *****/a31/a31.htm).

3.  Кроновер, и хаос в динамических системах. Основы теории / ; [пер. с англ.] – М.: Постмаркет, 2000. – Гл. 6 – С. 147-184.

4.  Кузнецов, образы хаоса / // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 11. – С. 104-110.

5.  Кузнецов, хаос / . – М.: Физматлит, 2001. – 296 с.

6.  Медведева, логистической функции / // Соросовский образовательный журнал. – 2000. – Т. 6, № 8. – С. 121-127.

Лабораторная работа № 7.
Фазовые портреты динамических систем.

Цель работы

Изучить и освоить методику работы с программой Fractan. Познакомиться с понятием фазового пространства. Проанализировать представление различных данных в фазовом пространстве. Изучить применение показателя Хёрста.

Основные сведения о фазовом пространстве

Один из лучших способов понять динамическую систему – сделать её динамику видимой, например, построив график. Есть два основных вида графиков, отражающих динамику системы. Первый – простой график временного ряда. Другой вид графика не отображает время напрямую. Поэтому ось, по которой мы откладывали время на первом виде графика, может быть использована для какой-либо другой переменной. Таким образом, новый вид графика позволяет изображать в том же пространстве на одну переменную больше (вместо времени). Точка на таком графике отражает состояние или фазу системы конкретный момент времени (также как, например, фаза Луны). Время выявляется в относительном восприятии из последовательности точек, в том, как система переходит из одного состояние в другое.

Пространство в таком виде графика имеет специальное название: фазовое пространство или пространство состояний (Рис. 1). Формально, фазовое пространство или пространство состояний – это абстрактное математическое пространство, в координатах которого отображаются переменные, необходимые для задания фазы (или состояния) динамической системы. Фазовое пространство содержит все мгновенные состояния системы, которые только могут быть.

Рис. 7.1. Двумерное (слева) и трёхмерное фазовые пространства

Как дополнение к простому графику временного ряда, фазовое пространство предоставляет другой взгляд на развитие. К тому же, поскольку некоторые временные ряды могут быть очень длинными, их сложно показать на одном графике. Фазовое пространство уплотняет все данные в одно легко управляемое пространство или график, часто называемый фазовым портретом. Также следует отметить, что структуры или зависимости, которые мы могли не заметить на графике временного ряда, часто обнаруживаются в наглядных формах в фазовом пространстве.

В том случае, если в фазовом пространстве необходимо отобразить систему, описываемую лишь одной переменной, то по одной оси откладывают эту переменную, а по другой – следующее или предыдущее значение этой переменной. Также можно откладывать значения переменной с задержкой или опережением, отличными от единицы. Например, откладывая по одной оси текущее значение переменной, а по другой – значение переменной 5 итераций назад.

Построение аттракторов

Аттрактор – неподвижная точка системы называется устойчивой (или аттрактором), если для любой окрестности N точки существует некоторая меньшая окрестность этой точки такая, что любая траектория, проходящая через N ', остается в N при возрастании t. Кроме того, под аттрактором понимают совокупность всех устойчивых точек фазового портрета системы.

Для большинства систем можно наблюдать, что облако исходных точек «конденсируется» на некоторые предельные объекты. Это и есть аттракторы. Динамические системы, которые обладают аттракторами, называют диссипативными. Существование аттрактором приводит к весьма важным выводам о поведении системы. В этом случае исследование установившихся режимов эквивалентно изучению геометрической структуры аттрактора.

Фрактальная размерность и показатель Хёрста

Для того чтобы иметь возможность сравнивать фрактальные свойства различных природных процессов, таких, как сток рек, отложение ила или рост колец деревьев, Хёрст использовал при анализе временных рядов наблюдений безразмерный показатель в виде отношения размаха (R) накопленного отклонения от среднего к среднеквадратическому отклонению (S) – R/S-метод.

Зависимость параметра (R/S) от времени наблюдения, построенная в двойном логарифмическом масштабе, представляет исследуемый процесс в виде фрактальной функции. При аппроксимации фрактальной функции прямой линией определяется угловой коэффициент Н, называемый показателем Хёрста. Показатель Хёрста используют для вычисления основного фрактального параметра процесса – размерности Хаусдорфа-Безиковича:

D = 2 – H.

Размерность Хаусдорфа-Безиковича или фрактальная размерность является интегральной характеристикой объекта или процесса. Она обобщает понятие евклидовой геометрической размерности и, в отличие от последней, может принимать нецелочисленные значения. Вообще, размерность – число, характеризующее скорость роста числа ячеек покрытия данного множества при уменьшении размера ячеек.

Познавательная сила понятия фрактальной размерности состоит в том, что с его помощью можно упорядочивать исследуемые процессы по свойствам хаотичности или сложности и, таким образом, классифицировать их.

Общие закономерности связи степени зашумленности сигналов и их фрактальных свойств, выраженных показателем Хёрста, проиллюстрированы на рис. 2, где изображены реализации временных рядов наблюдений (объем выборки N = 1000), имеющие различные фрактальные свойства и, соответственно, разные оценки показателя Хёрста.

Рис. 7.2. Типовые реализации фрактальных временных рядов наблюдений c H = 0,1; H = 0,5; H = 0,9 и белого шума с нормальным распределением

Визуально можно определить, что стационарные случайные сигналы (например, шум с нормальным распределением) имеют максимальную зашумленность, а зашумленность фрактальных сигналов падает с увеличением показателя Хёрста.

Задание на лабораторную работу

1. Ознакомиться с теоретическим введением к лабораторной работе.

2. В среде MatLab написать функции генерации синусоидального сигнала, пилы, меандра. С помощью программы Fractan построить фазовый портрет сигнала, а также рассчитать для этого сигнала показатель Хёрста. Проанализировать и объяснить полученные результаты.

3. Построить фазовый портрет логистической функции для цикла периода 2, 3, 8, для хаотического режима (подобрать параметры логистической функции для необходимых режимов можно с помощью программы Chaos).

Пояснения к выполнению лабораторной работы

1. Для получения достоверных результатов расчётов рекомендуется использовать временные ряды с количеством отсчётов не менее 10000.

2. Для облегчения загрузки сгенерированных данных в программу Fractan можно воспользоваться следующим кодом, предварительно поместив папку с программой Fractan в текущую рабочую директорию MatLab’а:

ff=fopen('Sample. dat', 'w');

fprintf(ff, '%g\r\n', aSample);

fclose(ff);

dos('Fractan/Fractan. exe Sample. dat');

где aSample – одномерный массив, содержащий временной ряд исследуемого сигнала.

В результате выполнения этого кода появится окно Fractan’а с изображением графика переданного пользователем временного ряда. При этом окно Matlab’а будет недоступно пользователю, пока не будет закрыт Fractan.

3. Для того чтобы Fractan позволил работать с открытыми данными, их необходимо загрузить, выбрав в меню «Обработка» (“Process”) пункт «Загрузить отсчёты» (“Load Samples”) или один раз нажав кнопку «Обработка» (“Process”). При этом Fractan может отмасштабировать данные, чтобы диапазон их значений удовлетворял требованиям алгоритмов. Пользователь же перед загрузкой отсчётов может ограничить выборку, задав значения начального и конечного отсчётов в полях «Первый отсчёт» (“First Sample”) и «Последний отсчёт» (“Last Sample”).

4. Чтобы простроить фазовый портрет загруженного сигнала, достаточно в меню «Просмотр» (“View”) выбрать пункт «Фазовое пространство (2D)» (“Phase Space (2D)”). Вернуть график временного ряда можно, выбрав в меню «Просмотр» (“View”) пункт «Отсчёты» (“Samples”).

5. Для расчёта показателя Хёрста необходимо в меню «Обработка» (“Process”) выбрать пункт «Показатель Херста» (“Hurst Exponent”). При этом Fractan попросит выбрать файл для сохранения результатов расчёта. Также рассчитанный показатель Хёрста отображается в строке состояния.

Литература к лабораторной работе №7

Williams, G. P. Chaos Theory Tamed. — Washington, D. C.: Joseph Henry Press, 1997. Кузнецов образы хаоса. Соросовский образовательный журнал, том 6, №11, 2000 Кликушин фрактальной классификации сложных сигналов. Журнал радиоэлектроники, №4, 2000. Сычев стохастических характеристик физиологических данных. — http://avatar. impb. *****/~sychyov/fractan. shtml

[1] Кроме термина «детерминированный хаос» часто встречается термин «динамический хаос».