Рациональные неравенства

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение неравенств - один из наиболее распространенных типов экзаменационных задач. Напомним основные понятия, касающиеся числовых неравенств.

Множество действительных чисел обладает свойством упорядоченности. Это значит, что для каждого числа а определено одно из соотношений: либо a>0, либо а=0, либо а <0. Условие а>0 равносильно условию (-а)< 0. При этом, если а>0 и b>0, то по определению а+b> 0 и аb>0.

На основании свойства упорядоченности вводится понятие сравнения для двух любых чисел.

Число b называют числом большим числа а и пишут b>a, или, что то же самое, число а называют меньшим числа b и пишут а<b, если b-a>0.

Из этого определения следует, что:

1. На числовой оси большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее - точкой, лежащей левее.

2. Из двух отрицательных чисел то больше, у которого абсолютная величина меньше, и то меньше, у которого абсолютная величина больше.

Основные свойства сравнения чисел:

1. Если a>b и b>c, то a>c.

2. Если a>b и c - любое число, то a+c>b+c.

3. Если a>b и c>0, то ac>bc.

4. Если a>b и c<0, то ac<bc, в частности, -a< - b.

5. Если a>b>0 и c>d, то a+c>b+d.

6. Если a>b>0 и c>d>0 то ac>bd.

7. Если a>b>0 , то

Рассмотрим теперь неравенство, которое содержит одну неизвестную величину х. Символически его можно записать в виде

.

Областью допустимых значений(ОДЗ) неравенства называется множество всех тех значений неизвестной x, при которых имеют смысл левая и правая части неравенства.

Решением неравенства называется всякое значение неизвестной х, при подстановке которого в неравенство последнее превращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - это значит найти множество всех значений неизвестного х, при которых значение левой части, т. е. больше значения правой части, т. е.

Два неравенства называются равносильными, если все решения первого являются решениями второго и, наоборот, все решения второго являются решениями первого.

На практике процесс решения неравенства считается законченным, если удастся установить для неизвестного х числовые промежутки, в которых данное неравенство выполняется (либо доказать, но неравенство не имеет решений).

При решении неравенств, как и при решении уравнений, основную роль играет понятие равносильности, причем для неравенств требование равносильности имеет более важное значение, чем для уравнений. Дело в том, что при решении уравнения мы можем заменить его следствием, а потом избавиться от посторонних корней путем их подстановки в исходное уравнение. Для неравенств же проверка решения путем подстановки невозможна, так как неравенство обычно имеет бесчисленное множество решений.

Из свойств числовых неравенств вытекают следующие правила преобразования неравенств, содержащих неизвестное х, в равносильные.

1. Какой-либо член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не изменится;

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число (или буквенное выражение, принимающее только положительные значения), при этом знак неравенства не изменится;

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или буквенное выражение, принимающее только отрицательные значения), изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Для решения алгебраических неравенств степени выше первой и дробно-рациональных неравенств используют метод интервалов. Пусть для определенности заданное неравенство имеет вид:

(1)

где P(x) и Q(x) - многочлены. Найдем корни этих многочленов x1, x2, ..., и расположим их в порядке возрастания на числовой оси. При этом используется следующее соглашение: если число удовлетворяет заданному неравенству, то его изображают закрашенным кружком, а если не удовлетворяет (например, число является нулем многочлена Q(x)), то светлым. Точки разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых выражение P(x)/Q(x) сохраняет знак. Определим знак дроби P(x)/Q(x) в каждом из полученных промежутков и отметим его на числовой оси. Если многочлены P(x) и Q(x) не имеют корней кратности 2n, т. е. не содержат сомножителей вида (x-a)2n , где n- натуральное число, то достаточно определить знак выражения в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки будут чередоваться.

Если же многочлены P(x) или Q(x) содержат множители вида (x-a)2n, то при мы можем разделить или умножить обе части исходного неравенства на множитель (x-a)2n, чтобы избавиться от него. Знак неравенства после такой операции не изменится. Затем непосредственной проверкой следует выяснить, является значение x=a решением неравенства или нет.

Изменение знаков принято изображать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби P(x)/Q(x) в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, покрывают штриховкой.

Решением неравенства является объединение всех заштрихованных промежутков и отдельных точек, изображенных закрашенными кружками.

Заметим, что дробно-рациональное неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

Пример 1.

Решите неравенство:

В ответе укажите наибольшее целое решение неравенства.

Решение. Раскроем в неравенстве скобки и приведем подобные. Мы получим:

Перенесем слагаемое (-3x) с противоположным знаком в левую часть неравенства, а число 2 (также с противоположным знаком) в правую. Затем опять приведем подобные члены:

8х<-7.

Разделим обе части неравенства на 8. При этом знак неравенства не изменится: x < -7/8.

Рисунок 1

Множество решений неравенства состоит из всех чисел меньших, чем

Ответ: -1

Пример 2.

Решите двойное неравенство: 4<13-3x<40.

В ответе укажите сумму целых решений неравенства

Решение. Прибавим ко всем частям неравенства число (-13).

Мы получим: -9<-3x<27.

Разделим все части неравенства на число (-3). При этом все знаки двойного неравенства изменятся на противоположные: 3>x>-9.

Таким образом, решение неравенства есть . Целыми решениями неравенства будут целые числа -8, -7, ...,2, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью d=1. Число членов в прогрессии n=11.

Тогда сумма целых решений S равна

Ответ: -33

Пример 3.

Решите систему неравенств:

В ответе укажите наименьшее решение системы неравенств.

Решение.

Напомним, что решением системы неравенств с одной переменной x называется такое значение переменной, при котором верно каждое неравенство системы.

Выполняя преобразования, последовательно будем иметь:

Изобразив на числовой прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству , и множество чисел, удовлетворяющих неравенству x<6, найдем, что оба неравенства истины, когда

Рисунок 2

Ответ: 3

Пример 4.

Решите неравенство: .

В ответе укажите наибольшее отрицательное целое решение неравенства.

Решение. Будем решать неравенство методом интервалов. Вычислив корни квадратного трехчлена, мы получим, что:

.

Мы видим, что данное выражение действительных корней не имеет, поскольку дискриминант отрицателен. Следовательно, при всех значениях х квадратный трехчлен (9х2+6х+8) принимает значения одного знака, а именно - положительные значения. Решение неравенства есть .

Ответ: -1

Пример 5. Решите неравенство: .

В ответе укажите наименьшее положительное решение неравенства.

Решение. Числитель дроби обращается в ноль при х1=2 и х2=3, причем числа 2 и 3 решениями неравенства не являются. Знаменатель дроби (х+1)2 при принимает только положительные значения. Само значение х= -1 не входит в ОДЗ неравенства. Поэтому при данное неравенство будет равносильно неравенству

(х-2)(х-3)>0

(2)

Рисунок 3

Нанесем на числовую ось точки 2 и 3 и определим знак выражения (х-2)(х-3) в одном из полученных интервалов (например, при х>3 оно положительно). Затем, чередуя знаки, отметим знак этого выражения в каждом интервале и покроем штриховкой те интервалы, в которых оно имеет знак "плюс". Кроме того, нанесем на числовую ось точку х= -1, которая не входит в ОДЗ неравенства. Таким образом решение неравенства имеет вид: .

Ответ: 1

Пример 6. Найти область определения функции .

В ответе указать наибольшее целое отрицательное значение х из области определения функции.

Решение. Данная функция определена при условии, что х2-х-2>0.

Найдем значения х, при которых х2-х-2 обращается в 0: х1= -1, х2=2. Отметим найденные значения на числовой оси (рисунок 3).

Точки х1=-1 и х2=2 разбивают числовую ось на три промежутка, в каждом из которых квадратный трехчлен х2-х-2=(х+1)(х-2) сохраняет знак. Областью определения функции будет объединение тех открытых промежутков, в которых поставлен знак "плюс": Наибольшее целое отрицательное х, принадлежащее области определения, есть число -2, так как точка х= -1 не принадлежит интервалу

Рисунок 4

Ответ: -2

Задания для самостоятельной работы

Решите неравенство. В ответе укажите наибольшее целое решение неравенства:

1.		Ответ: -4
2.		Ответ: -1
3.		Ответ: -6

Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение неравенства.

4.

Ответ: 1

Решите двойное неравенство. В ответе укажите сумму целых значений х, удовлетворяющих неравенству.

5.		Ответ: 1
6.		Ответ: 3
7.		Ответ: 5

Решите систему неравенств. В ответе укажите длину интервала, на котором выполняются неравенства.

8.		Ответ: 1,8
9.		Ответ: 3,7

Решите систему неравенств. В ответе укажите наименьшее целое решение неравенства

10.

Ответ: 1

11. Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение неравенства

Ответ: 2

12. Решите неравенство. В ответе укажите наибольшее отрицательное целое решение неравенства

Ответ: -8

13. Решите неравенство. В ответе укажите наибольшее целое решение неравенства.

Ответ: -2

Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству

14.		Ответ: 0
15.		Ответ: - 4

16. Решите неравенство. В ответе укажите наибольшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству

Ответ: 0

17. Найти область определения функции. В ответе укажите наименьшее значение x из области определения функции

Ответ: -5

18. Найти область определения функции

и указать наибольшее целое число из этой области.

Ответ: 3

19. Найти область определения функции

и указать наименьшее целое положительное число из этой области.

Ответ: 3