(ТВиМС, 9.11.03) Семинар 10.
Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина x принимает значения a1, a2,…, nr– число элементов соответствующей выборки 
=(X1,…,Xn), принявших значение ar( r=1, 2,…), nr*=nr /n– относительная частота.
Запись в виде последовательности пар {( ar, nr)}, где nr >0, или в виде таблицы
a1 | a2 | a3 | ….. | ….. |
n1 | n2 | n3 | …… | …… |
называется статистическим рядом.
Наиболее важными характеристиками случайной величины x являются ее моменты ak=Exk, а также центральные моменты mk=E(x–a1)k (когда они существуют). Их статистическими аналогами, вычисляемыми по соответствующей выборке = (X1,…,Xn), являются выборочные моменты
, 
.
Величина 
называется выборочным средним и обозначается 
:==
; величина 
называется выборочной дисперсией Dв==
=
.
Если выборочные данные представлены в виде статистического ряда {( ar, nr)}, то выборочные моменты вычисляются по формулам
, 
.
Для произвольного распределения F и произвольного числа pÎ(0,1) уравнение F(x)=p определяет р-квантиль zp, т. е. F(zp)=p (чтобы решение было однозначным, график F(x) в точках разрыва (когда они есть) дополняют вертикальными отрезками, а в случаях, когда этому уравнению удовлетворяет много значений х, в качестве zp выбирается минимальное) . Выборочная р-квантиль 
определяется как р-квантиль эмпирической функции распределения 
, т. е. 
=p, и является статистическим аналогом zp.
Задачи
1. Дан статистический ряд {(–6, 1), (–5, 4), (–4, 1), (–3, 2), (–2, 3), (–1, 2), (0, 4), (2, 2), (3,1)}. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Ответ: =–1,85; =6,628.
2. Дан статистический ряд
ar | 2 | 5 | 7 | 10 |
nr | 16 | 12 | 8 | 14 |
Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию.
3. Задан статистический ряд {( ar, nr) выборки объема n.
a) Пусть ui=ai–c,i=1,2,….Доказать, что =с+
, Dв(a)=Dв(u).
b) Пусть ui=c×ai, i=1,2,….Доказать, что Dв(a)=Dв(u)/c2.
4. Для статистических рядов
ar | 1250 | 1270 | 1280 |
nr | 2 | 5 | 3 |
ar | 340 | 360 | 375 | 380 |
nr | 20 | 50 | 18 | 12 |
ar | 0,01 | 0,04 | 0,08 |
nr | 5 | 3 | 2 |
Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, используя задачу 3.
5. Доказать, что выборочная p-квантиль выражается через порядковые статистики X(k) выборки = (X1,…,Xn) следующим образом:
где [a]– целая часть числа a.
6. Доказать формулы
E
=ak, D=(a2k–ak2)/n, cov(,
)=(ak+s–akas)/n.
(предполагается, что моменты a2k, ak+s конечны). Указание. Воспользоваться независимостью и одинаковой (с величиной x) распределенностью элементов выборки = (X1,…,Xn)
7. Воспользовавшись неравенством Чебышева, доказать, что при n®¥ и любом e>0
P{| –ak |>e}®0.
8. Доказать, что при k³2 имеет место представление
.
9. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочной дисперсии.
Указание. Перейти к центрированным величинам Yi=Xi–a1 и записать Dв в виде
Dв= 
. Ответ E Dв= 
m2, D( Dв)=
.
10. Воспользовавшись центральной предельной теоремой и задачей 6, доказать, что при n®¥ выборочный момент асимптотически нормален с параметрами
, т. е.
.
11. Пусть vn есть число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p (0<p<1). При больших n вычислить границу dg такую, что 
. Укладываются ли в эти границы при g=0,98 результаты следующего эксперимента: при n=4040 бросаниях монеты наблюдалось 2048 выпадений «герба». Указание: Воспользоваться центральной предельной теоремой, монету считать симметричной. Ответ: dg=
, q=1–p, 
определяется уравнением Ф()=(1+g)/2, d0,98=0,0183 и соответствие данных теории хорошее.
12. Используя такой же подход, как в задаче 11, проверить соответствие теории следующих данных: среди n=10000 «случайных чисел» 0, 1,…,9 числа, не превосходящие 4, встретились 5089 раз. Ответ: d0,98=0,0116 и соответствие данных теории хорошее.
