Яремко дробных степеней операторов теплопроводности, колебаний струны и Лапласа в пакете Maple. // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике: Сб. статей XII Междунар. научно-техн. конф. – Пенза: ПДЗ, 2012. – С. 52‑55.
выЧИСЛЕниE дробных степеней операторов
теплопроводности, колебаний струны и Лапласа
в пакете Maple
Пензенский государственный педагогический университет
им. ,
г. Пенза, Россия, *****@***ru
Предлагаются аналитические выражения для дробных степеней операторов теплопроводности, колебаний струны и Лапласа. Для вычисления ядер этих операторов применяется система компьютерной математики Maple.
Yaremko O. puting of fractional degrees of heat conductivity, the string vibration and Laplace operators in MAPLE. The analytical expressions for the fractional powers of the heat conductivity, the string vibration and Laplace operators are offered. To calculate the kernels of these operators a computer mathematics system Maple is used.
Дробные производные и интегралы применяются для описания объектов, процессов и систем, характеризующихся свойствами степенной нелокальности, степенной памяти (эредитарности), и фрактальностью. Дробные степени операторов имеют естественный вид в изображениях Лапласа (операторы теплопроводности и колебаний струны) или Фурье (оператор Лапласа). Для вычисления дробных степеней операторов в оригиналах Лапласа или Фурье применяется программный пакет Maple.
1. Пусть Fn+ – матричное гибридное интегральное представление Фурье на действительной полуоси, рассматриваемое в [1], и пусть функция
определена на 
. Определим параболический интеграл:
. (1)
Основные свойства оператора Pb таковы:
, (2)
где 
Для вектор-функции f(t, x) определим преобразование Гаусса:
(3)
Оператор Pb можно представить в виде:
(4)
Из формулы (4) заключаем, что параболический интеграл 
получается интегрированием Римана-Лиувилля порядка a преобразования Гаусса.
2. Гиперболический случай. Определим гиперболический интеграл:
(5)
при Reb>0. Докажем основные свойства оператора Ib:
(6)
Для доказательства найдем образ Лапласа интеграла (6):
. (7)
Далее для образа Лапласа от вектор-функции 
будем иметь:
=
.
Возвращаясь к оригиналам в последней формуле, получим 
В образах Лапласа проверяемое тождество (6) должно иметь вид:
Применяя основное тождество интегрального преобразования дифференциального оператора В, найдем:
.
3. Пусть функция
определена на 
. Определим эллиптический интеграл:
(8)
где Ku – функция Макдональда [2], Reb>0. Основные свойства оператора Ia:
(9)
Доказательство свойств (9) удобно проводить в образах Фурье по y. Замечая, что образ Фурье вектор - функции 
имеет вид:
(10)
Для образа Фурье F композиции вектор - функций 
получаем:
.
Возвращаясь в последней формуле к оригиналам, имеем
Далее:
и, значит,
.
Библиографический список
1. Яремко интегральные преобразования Фурье для задач с разрывными коэффициентами и операторы преобразования. // Доклады Академии наук. – 2007. – Т. 417, № 3. – С. 323–325.
2. Метьюз Бесселя и их приложения в физике
и механике. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. – 386 с.
