Предуведомление редакции

ПРЕДУВЕДОМЛЕНИЕ РЕДАКЦИИ

Для обеспечения свободного доступа к статье воспроизводится публикация автора в малотиражном журнале, оригинальный печатный текст:

, Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Вестник Пермского университета, сер. Математика. Механика. Информатика, вып, 2008, сс. 37–45. (Прореферировано в РЖ Математика)

, к. ф.-м. н.

УДК 519.50

ОБ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ С САМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬЮ

1 *****@***ru

1Россия, Пермская обл., г. Березники, -22.

Описаны упорядоченные структуры в теории множеств с самопринадлежностью, доказана ограничительная теорема о размерности однозначно упорядоченных самоподобных структур.

Ó , г.

1. Предисловие

Свойства самопринадлежащих множеств, впервые рассмотренных Миримановым[1] [11, с. 117] описаны ранее [9], в этой статье продолжено краткое описание, в теории множеств с самопринадлежностью, понятий о бесконечных числовых (упорядоченных) структурах.

2. Простые, конечные, последователи

Определение натурального числа в теории множеств с самопринадлежностью формализуемо посредством понятия последователя к множеству (объекту), см. [9].

Определение 1. Простой последователь объ­екта А содержит объект А и себя же самого, P(А)={[х]ÎМ |([х]ÎÆ) или ([x]ÎА либо P(А)Î[х])}.

Если последователь простой (единичный), то P(А)={[х]ÎМ|([х]ÎÆ) или ([x]ÎА либо [х]=P(А))}.

Свойства последователей:

1. Формально, единичный объект — это последователь для ничто; [а] = Р(Æ); (двойственность к свойству внутренности единичного объекта);

2. Последователь для М не определён (по единственности М), формально, Р(М) = Æ, что означает: М — не расширяемо последователями, ограничено.

3. Последователь вообще не единственен (для объекта иного, чем М); [а]ÎМ, и МÏа, Р1(а) ¹ Р2(а) (однако, очевидно, внутренности всех последователей одного объекта сов­падают V(Р1(а)) = V(Р2(а))).

4. Все простые последователи, построенные по определённому выше типу Р,—конечны.

[а], Р([а]), Р(Р([а])) и т. д.,— конечны. Добавлением единицы (без абстракции бесконечности) можно выделить в М только конечные числа.

Натуральные числа,— это ряд последовательных последователей к единичному объекту. Вообще же, если C — множество-число, то CÎC и, для любых двух объектов а, b из С, aÎa, bÎb, aÎb или bÎa; т. е. число — это нить вложенных друг в друга отношением принадлежности (без ветвлений) объектов.

Определение 2. Внутренность объекта А содержит объекты, принадлежащие объекту А, за исключением самого объекта А;

V(А)={[х]ÎМ |([х]ÎÆ) или ([x]ÎА и АÏV(А))}

Свойства внутренностей:

1. Внутренность единичного объекта — ни­что; V([а]) = Æ,

2. Внутренность для М не определёна,— формально ничто, V(М) = Æ, т. е. объект М, множество всех множеств не имеет ни последователей ни внутренностей[2].

3. Внутренность объекта — единственна.

3.1 Для несамопринадлежащего объекта внутренность объекта совпадает с самим объектом. ВÏВ, следовательно V(В) = В, см. определение внутренности.

3.2 Для самопринадлежащего объекта внутренность объекта — единственна. АÎА, по определению внутренности V(А) либо
а) са­мопринадлежаща V(А)ÎV(А), тогда она единственна (единственен самопринадлежащий объект V(А), по содержанию понятия о самопринадлежности, см. табл. 1, 2 в [9]), либо
б) несамопринадлежаща V(А)ÏV(А), также очевидна единственность несамопринадлежащего множества V(А),
в) либо ничто, V(А) = Æ.

4. Внутренности всех последователей одного объекта совпадают V(Р1(а)) = V(Р2(а)).

Пример. 1 Î 1, Æ Î 1,

1 Î 2, 2 Î 2, Æ Î 2,

1 Î 3, 2 Î 3, 3 Î 3, Æ Î 3, …

1 = {1}, Æ Î 1,

2 = {1, 2}, Æ Î 2,

3 = {1, 2, 3}, Æ Î 3, и т. д.[3]

Р(1) = 2, Р(2) = 3, V(3) = 2.

Легко определяются n-е последователи: Р(Р(а)) = Р2(а) и т. д. и n-е внутренности V(V(а)) = V2(а), где n — натуральное число, изобразимое последователем Рn(Æ); в общем случае, для простых последователей Vn(Рn(а)) = а, но возможно Рn(Vn(а)) ¹ а, например Р5(V5(Р3(Æ))) = 5 [4].

Вообще можно рассматривать и разные ветвящиеся структуры и цик­лы простых последователей, аналогичные ориентированным графам, однако, для рассмотрения более сложных структур, имеющих практическое приложение, остаётся ограничиться рассмотрением числовых (вполне упорядоченных) структур.

3. Бесконечные последователи.

Натуральный ряд в М выделяется как множество простых последовательных последователей к ничто (или к начальному, единичному элементу ряда):

N = {[х]ÎМ |([х]ÎÆ) или ([x]=Pn(Æ), где nÎN и Р(V(Р(х))) = х) [5]},

Свойства натурально ряда:

1. Натуральный ряд — не единственен,

2. N — несамопринадлежаще, NÏN,

3. внутренность натурального ряда совпадает с самим натуральным рядом, V(N) = N, что означает невозможность обратного счёта от абстракции бесконечности объектов счётного числового ряда к конечным числам[6].

Имеются две возможности рассмотрения последователей к натуральному ряду N (N — как единичное либо как многое):

1. простой последователь к N как к единичному объекту [N], Р([N]); [N] — единичный объект изоморфен единице [N] @ [1], Р([N]) — двойке, такое рассмотрение выявляет структуру изоморфную натуральному ряду, но новых структур не выявляет;

2. бесконечный последователь — последователь к множеству всех объектов из N последователь к натуральному ряду, взятому как многое, {N}: РN = {[х]ÎМ | ([х]ÎÆ) или ([x]ÎN либо х = РN(Æ)) },

Свойства бесконечного последователя РN:

1. вообще РN не единственен,

2. РN — самопринадлежащ,

3. V(РN(Æ)) = N.

Также как и для счётных последователей определимы n-е бесконечные последователи типа PN: PN(PN(Æ)) = PN2(Æ) и т. д., и бесконечные последователи:

 = { [х] Î М| [х] Î Æ или (х = (PNa (Æ)), a Î РN(Æ) ) } и т. д..

4. Недостижимые последователи.

Выделим бесконечный ряд последовательных простых и бесконечных последователей РN:

Æ, P(Æ),…, PN(Æ), P(PN(Æ)),…, PN2(Æ),…, (1)[7]

выделим в записи последовательности толь­ко некоторые объекты (последовательность бесконечных последователей PN):

Æ, ,…, ,…, ,…   (2),

Объект PO(Æ), содержащий все объекты такого ряда,— самопринадлежащ (если нет, то к нему можно построить последователь по типу Р(РN(Æ))), и, значит, он объект из этого же ряда), причём ряд его внутренностей не обрывается[8],— объект РО(Æ) — недостижимый объект. По аналогии, рассматривая ряды из последователей вида РО(Æ) и их РО(Æ) степеней можно выделить объект Р1O(Æ), содержащий все такие последователи, и т. д., построив бесконечный ряд РО, Р1О, Р2О и т. д.,— недостанет счётного ряда для нумерования уровней недостижимости объектов, придётся исполь­зовать для нумерации недостижимые же последователи и т. д.,— получаются струк­туры аналогичные недостижимым последователям (кардиналам), рассматриваемым в классической теории множеств см. [2] [5].

Увеличение уровня недостижимости перестаёт добавлять качественно новое в структуру объектов; следующий уровень сложности (бесконечности) объектов объекты самоподобные, струткурно-изомор­ф­ные своей собственной части.

5. Структурный изоморфизм.

Определение 3.  Два объекта структурно изоморфны если они изоморфны и совпадают по структуре, т. е. А @Î В если А @ В и если для любых а1, a2 Î A, b1, b2 Î B,
(а1 Î a2) Û (b1 Î b2).

Пример. Объекты А = {[а], А} и 2 = {1, 2} — структурно изоморфны, объекты А и С = {[c1], [c2]} — изоморфны, но не структурно (А @Ï С), A [a].

6. Самоподобие, пространства.

Счёт в конечных последователях:

1 ¾® 2 ¾® 3 ¾®  … (3),

однонаправленный полностью обратимый.

Счёт же в бесконечных последователях РN(Æ), РO(Æ) и т. д. — отчасти однонаправленный отчасти обратимый (многоточие обозначает промежутки необратимости счёта):

1 ¾® 2 ¾® … PN(Æ) ¾® Р(PN(Æ)) ¾® …   (4),

1 ¾® 2 ¾® … PN(Æ) ¾® … ¾® V(РО(Æ)) ¾® РО(Æ) … (5),

при этом как последовательность последователей типов Р-, РN-, PO- не обрывается, так и последовательность внутренностей объекта РО(1) не обрывается, ввиду того, что при возможных вариантах рас­cмот­ре­ния ряда внутренностей объекта РО(1):

1.  VРО(1)РО(Æ) = Æ (т. е. ряд внутренностей только счётен, ряд ((5)) симметричен относительно предельного перехода). Это невозможно. т. к. V(PN(Æ))=PN(Æ).

2.  VРО(1)РО(Æ) — внутри необрывающегося ряда внутренностей:

Æ®1®… PN(Æ) ® … ®VРО(1)РО(Æ) ® … ® V(РО(Æ)) ® РО(Æ)… (6).

Определение 4. Объект А собственно вну­тренний по отношению к объекту В, есл­и он принадлежит В, но не принадлежит ряду внутренностей объекта В.[9]

Пример. Число 2 собственно внутреннее по отношению к недостижимому числу PO(Æ), т. к. 2ÎPO(Æ), Va(PO(Æ))Ï2.

Определение 5. Объект самоподобен если структурно изоморфен подобъекту, собственно внутреннему по отношению к этому же объекту.

Пример. Объект А1 — самопринадлежащ и самоподобен, в собственной внутрен­ности объ­екта А1 — объект А0, структурно изоморфный объекту А1, А0 @ΠА1, не­который объект В1 — в собственной внутрен­ности объекта А1, B1 Î VT(А1), В0 @ΠВ1. Объекты А0, А1, А-1, выделимы с точностью до обозначения, ряд объектов продолжим в обе стороны последовательно неограниченно (по свойству недостижимых объектов), однако в целом ряд 1 — несамопринадлежащий объект.

Если в объекте 1 (взятом как многое) "обнулить" содержимое объектов "нити В", то получим простейшее одномерное пространство — прямую 2, обозначая для дальнейшего рассуждения отношения принадлежности между от­дельными выделенными самоподобными объ­ектами этой последо­вательности стрелками, а объекты (выделенные с точностью до обозначения[10]) — точками.

Разумея выделимость самоподобных объектов, как и недостижимых объектов, в последовательности с точностью до обозначения (ввиду структурного изоморфизма) разумеема и возможная и бываемая бесконечная делимость "отрезка" — между любыми объектами из последовательности 2,— выделение между двумя последовательными (принадлежащими один другому самоподобными объектами), третьего, "про­ме­жуточного" (содержащего первый и принадежащего второму).[11]

Следующий сложный самоподобный объект — плоскость, двухмерное пространство, каждый объект из плоскости 3 структурно изоморфен любому содержащемуся в нём объекту; минимальное структурное образование (ясно просматривается на рисунке 3) может быть двояким: либо "левориентированное" либо "правоориентированное"; к тому же может быть любая нить последователей в плоскости замкнута в кольцо (поскольку есть внешние по отношению к нити, "боковые", объекты, постольку "сжатия" в единичный объект — нет); если же нити последователей в кольца не замкнуты, то объект, содержащий все объекты одной плоскости 3 — несамопринадлежащ.

Рассмотрим трёхмерные пространства. В трёхмерном объекте возможны ориентации: "левая" и "правая",— по нижней ориентирующей плоскости (с циклами, сжатия в точку нет, т. к. циклу принадлежат внешние по отношению к циклу объекты); и "вверх" и "вниз" (без циклов).

При этом плоскости, секущие куб по диагоналям противоположных сторон, не являются ориентированными[12], т. е. координатные оси в таком ориентированном пространстве заданы однозначно (ориентирующие векторы не являются координатными). Объект содержащий всё трёхмерное пространство — несамопринадлежащ. Так же как и в двухмерном случае нити последователей могут быть замкнуты в кольца.

Вышеизложенным показано свойство неоднозначной ориентируемости 2-х мерных объектов внутри 3-х мерных пространств.

Теорема 1. В М совершенно однозначно ориентировано лишь 2-х мерное пространство (плоскость). (См. на рис. 4 ориентацию плоскости, пересекающей основание куба по диагонали). □

Рассмотрим четырёхмерное пространство.

7. Ограничение размерности.

Основная теорема об ограниченности размерности полностью упорядоченных ориентированных самоподобных объектов (пространств) 3-х-мерием в теории с самопринадлежностью:

Теорема 2. Полностью ориентируемы толь­ко 3-х и менее мерные самоподобные упорядоченные объекты, пространства (т.  е. 4-х мерие — неориентируемо).

Доказательство (краткоизложенное). Как и в 3-х мерных пространствах в 4-х и более мерных пространствах не имеется однозначной ориентации 2-х мерных подпространств, что проверяемо непосредственным построением (см. рис. 5[13]) На рисунке — попытка изображения элемента 4-х мерного пространства (4-х мерного куб) с нанесением линий ориентации граней всех кубов, легко видеть[14], что грани куба (с вершинами 1000, 1001, 1011, 0101, 0100, 0110, 0111, 0101) ориентированы неоднозначно, например, линия 1000–0110[15], и линия 0100–0101[16] — пересекаются, как и в случае 3-х мерных пространств.

Однако, при попытке полного построения ориентирующих составляющих 4‑х мерного пространства и его 3-х и 2-х мерных подпространств, обнаруживается, что в плоскости (1001, 1010, 0110, 0101) ориентирующие линии (объекты) получаются направленными навстречу одно другому от вершины 1010 к вершине 0101 и от вершины 0101 — к вершине 1010 [17], на рисунке эти линии выделены двойной линией (║), поскольку отношение принадлежности — однонаправлено, то есть если АÎВ (и А ¹ В), то ВÏА [18], то такой двунаправленной линии (двунаправленной нити с принадлежностью объектов в ту и в другую сторону) не может быть по определению отношения принадлежности (противоречие), следовательно, показанный на рисунке объект не существует (как и Æ). □

Из изложенного следует, что 4-х мер­ное пространство — не ориентируемо полностью.[19]

8. О связи с теоремой о 4-раскра­ши­ва­емости плоских графов

Минимальный "элемент", образующий пространство размерности n гомологичен (изоморфен) графу Kn+1.

По теореме о размерности имеются не более чем 3-х мерные вполне упорядоченные структуры, образующий их минимальный элемент изоморфен графу K4, граф K4 — плоский, это значит, что фрагмент 3-х мерного пространства (лежащий в пределах базисных векторов) допускает плоскую проекцию на раскрашиваемую плоскую область:

координаты точки задаются относительной цветностью (1, 2, 3 цвета), величиной обратной интенсивности (яркости) задаётся удаление от начала координат,— начало координат изображается точкой белого цвета максимальной яркости (при удалении от начала координат добавляется 4-й цвет — "чёрный").

Для 4-х мерных пространств (с образующим графом K5) такая плоская проекция — невозможна (т. о. вышеозначенный результат связан с теоремой о 4-раскрашиваемости плоских графов [10]).

Однако проекция 3-х мерной области на плоскую область не сохраняет непрерывности отображения, т. о., доступными для наглядного созерцания на плоскости остаются только 2-х мерные зависимости, см. теорему 1.

9. Исторические аналогии.

Структуры, описанные выше, описывают уже имевшиеся ранее представления о бесконечном (о числах), упорядоченные по историческим периодам усложнения научного знания:

1. Первичные единичные объекты чем-то схожи с "атомами", неделимыми объектами чувственного восприятия описанными Демокритом (460–370 до н. э.) (см. [7, с. 468]).

2. Простые несамопринадлежащие множества мыслятся несколько позже, Евклидом (III в. до н. э.) число мыслится, как составленное из единиц[20] (без указания на их упорядоченность, как в нитях самопринадлежащих объектов), то есть как простое, конечное, несамопринадлежащее множество. Тоже представление повторяется и позже (Прокл, Inst. th.): "§6. Всякое множество воз­никает или из объединённостей (ex hnwmenwn), или из единичностей (ex enadwn). Ясно ведь, что, во-первых, никакой [элемент] многого не есть [тем самым] просто само множество, и, наоборот во-вторых, множество не есть каждый из его элементов" [8, с. 460] — такие множества не едино-многие.

3. Представления о едино-многом (но не в форме множеств) имелось уже у того же Прокла (410–485) ("Единое и многое в их органическом сращении", заголовок ) [8, с. 484]:

"§67. Каждая цельность или предшествует частям <единое>, или состоит из частей <многое>, или содержится в части <едино-многое>. … §68. Всякое целое, содержащееся в части есть часть целого, состоящего из частей <едино-многое>."

Бесконечность, однако, в математическом (да и философском) мышлении Средневековья представлялась, в упорядоченном виде, потенциальной (с актуально бесконечными последовательностями и бесконечными рядами не оперировали).

4. На четвёртой стадии исторического развития возникает абстракция актуальной бесконечности, так, например, Фонтенель (1657–1757) "Элементы бесконечного" употреблял операции с бесконечными величинами (был критикован Маклореном (1698–1746), "Трактат о флюксиях")[21]: ¥/n : ¥= 1/n, и т. п., прогрессии 1, 2¥, 3¥, …¥2, и т. п..

У Эйлера же (1707–1783) операции с числами "за бесконечностью" совершенно осмысленны и в отличие от предыдущего этапа (3) уровни бесконечного чётко отличимы ("Дифференциальное исчисление", §89–97) [12, с.93–95]: "их <бесконечно малые> нужно непременно отличать друг от друга, если наше внимание обращено на то их соотношение, которое выражается геометрическим соотношением", "так как а/dx есть бесконечное количество А, то, очевидно, количество А/dx будет количеством. в бесконечное число раз большим, чем a/dx… Итак, <есть> бесконечно много ступеней бесконечных количеств, из которых каждая бесконечно больше предыдущей." И при описании "дифференцирования непредставимых функций" Эйлер употреблял последователи для бесконечных величин (последователей) (§370, 376 и сл.) [12, с. 512, 518 и сл.]: "количества S|¥|, S|¥+1,| S|¥+2| и т. д. будут составлять арифметическую прогрессию…"[22].

На 4-м уровне операции с бесконечными величинами используют представления о простых бесконечных последователях (PN-, РNPN-последователях).

Таблица 1. Соответствие структур мн-ва М и исторически усложнявшихся представлений.
№ уров­ня	объект теории с самопринад­лежностью	объект исторических представлений	историчес­- кий период
1.	единичный объект	конкретное число	1. древн.
2.	несамопринад­лежа­щее мн-во	число как "куча" единиц[23]	2. античн., с III в. н. э.
3.	самопринадле­жащий последователь	едино-многие объекы[24]	3. ср. века, со II в. н. э.
4.	бесконечные последова­те­­ли, N, Р(N), РN(Æ) и т. д.	абстракция актуальной бесконечности	4. нов. вр., с XV в. н. э.
5.	недостижимые последователи РО(Æ) и т. п.	абстракция ряда "алефов", недостижимые кардиналы	5. с XIX в.
6.	самоподоб­ные объекты	…[25]	6. XX в.
7.	собственно мн-во всех мн-в, М		современ­ность.

5. Кантор (1845–1918) мыслил бесконечные структуры аналогично недостижимым объектам, не предполагая ограниченности ряда "алефов" (письмо Дедекинду из Галле от 01.01.01 г.) [4, с. 367]:

"Система ח всех алефов

א0, א1,…, ωא0, ωא0+1,…, ωא1,…

при их расположении по величине … об­ра­зует бесконечную последовательность".

Недостижимые кардиналы, появившиеся в описании множеств немного позже (см. [2, с. 234–235], [5]) аналогичны недостижимым последователям[26] вида PO(Æ).

6. Самоподобные структуры, описывающие, в теории с самопринадлежностью, пространственные структуры не имеют аналогов в историко-математических представлениях.

7. Бесконечные структуры в теории множеств с самопринадлежностью, заключённые внутри неизмеримого и неупорядочиваемого бесконечного множества всех множеств M вбирают в себя описанные ранее (пп. 1–6) представления о бесконечных структурах (см. текст статьи).

Процесс исторического усложнения представлений о бесконечных (упорядоченных) объектах совпадает с усложняющейся последовательностью структур теории множеств с самопринадлежностью, таким образом, в теории множеств с самопринадлежностью, описывающей и более ранние, более простые, представления о бесконечных упорядоченных структурах имеется элемент самоописательности своего исторического становления,— одна из составляющих теоретического критерия истинности.

Библиографический список

1. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты, ред. , М.:"Янус-К", 1997.— 400 с.

2. Теория множеств, ред. пер. с фр. , М.: "Мир", 1965.— 458 с.

3. Евклид, Начала, в 3-х тт., пер. и коммент. Мордухай-, при участ. , М.-Л., 1948–1950.

4. Труды по теории множеств, сер. "Памятники науки", пер. с нем., ред. , , М.:: изд-во АН СССР, 1985.

5. Теория множеств, ред. пер. с англ. ред. пер. , М.:"Мир", 1970.— 416 с.

6. Кузанский, Николай, Сочинения в 2-х т., пер. с лат. , сер. "Философское наследие", АН СССР Ин-т философии, М.: "Мысль", 1980.— 488+472 с.

7. , История античной эстетики (ранняя классика), М.: Гиз. "Высшая школа", 1963.— 584 с.

8. Прокл, трактат: Первоосновы теологии, в кн. , История античной эстетики. Высокая классика. М.: "Искусство", 1974.— 600 с.

9. , О множествах с самопринадлежностью // Вестник Пермского уни­верситета, сер. Математика. Механика. Информатика, вып, 2005 г., сс. 133–138.

10. , Об одном варианте доказательства теоремы о 4-раскрашиваемости плоских графов // Вестник Пермского уни­верситета, сер. Математика. Механика. Информатика, вып, 2006 г., сс. 86–87.

11.  Бар- Основания теории множеств, М.:"Мир", 1966, пер с англ. , под. ред. -Вольпина,—366 с.

12. Эйлер, Леонард, Дифференциальное исчисление, пер с лат. , М.‑Л.: "Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1949.— 580 с..

ABOUT THE ORDINAL SETS WITH SELFCONSIDERING

Chechulin V. L., *****@***ru

Russia, Perm region, Berezniki, Pyatyleka st., 50-22.

The ordinal selfconsidering sets and the main properties of this ordinal sets was described, proved the theorem about the ordinal's 3-dimension.

Ó Chechulin V. L., .

[1] Мириманов (Mirimanoff D.) 1917 — Les antinomies de Russel et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la théorie des ensembles, L'Enseygnement Mathematiques, 19, 37-52. (франц.)

— Remarqes sur la théorie des ensembles et les antinomies cantoriennes, ibid. 209-217, 21, 29-52. (указано по [11]).

[2] хотя возможно ввести иерархию единичных объектов взяв мысленно объект М как единое следующего уровня единства, как единичный объект, ]М[, однако тогда придётся постулировать бытие многих единичных объектов ]Мi[ аналогичных объекту ]М[, что противоречит свойству единственности множества всех множеств М см. [9]; но даже допустив, внелогично, мыслимость неединственности множества, таких единичных объектов ]Мi[, должны были бы заключить, что они принадлежат множеству всех множеств следующего уровня иерархии М1, совпадающего однако, по структуре, при всей изолированности структур множеств ]Мi[ со структурой множества всех множеств М, и при изолированности, не связанности отношением принадлежности объектов из разных множеств ]Мi[ и ]Мj[ (по определению единичных объектов) (i ¹ j) и из М1, не получили бы качественно новых, структурно различимых объектов (см. ниже определение самоподобия),— не добавили бы ничего качественно нового к описанию самопринадлежащих объектов, поэтому остаётся ограничиться рассмотрением обычного множества всех множеств.

[3] В этой записи два обозначения "3" справа и слева от знака равенства обозначают один и тот же объект (определение самопринадлежащего множества самоссылочно, непредикативно).

[4] в арифметике натурального ряда (без дополнительных конструкций) нет отрицательных чисел, арифметическая запись этого выражения 3–5 = 0, 0+5 = 5.

[5] это условие означает что у всякого объекта из N точно один простой последователь.

[6] более абстрактно — бесконечная последовательность внутренностей натурального ряда не­у­бывающа и совпадает с самим натуральным рядом.

[7] P(PN(Æ)) в иной записи это счётная бесконечность плюс единица, w+1.

[8] см. в [9] подобные рассуждения при выделении множества содержащего все несамопринадлежащих множеств.

[9] Как таковую, в виде отдельного объекта, собственную внутренность недостижимого объекта выделить невозможно; несамопринадлежащие мно­жества объекта А (см. [9, с. 136 п. 7]) собственно вну­тренние, однако объект содержащий только несамопринадлежащие множества — невыделим.

[10] Если объекты одинаковы по структуре, то отличить их один от другого по внутренним их свойствам — невозможно, но можно различить — по различию обозначений (для того чтобы получить действительную прямую требуется, кроме обозначений вести ещё понятие о мере (в простейшем виде о мере длины)).

[11] Аналог аксиомы об отделимости. Для оперирования с числами на прямой остаётся определить каким-либо образом внешнюю, по отношению к прямой, меру, меру регулярную.

[12] Если бы это было, то ориентация секущей (по диагонали, ориентирующей основание куба) плоскости (построенная по ориентациям сторон куба) — была бы неоднозначна (что и показано на рисунке пунктирными линиями).

[13] 4-й координатный "вектор" ориентирован "векторами" направленными от имевшихся 3-х координатных "векторов" к новому — 4-му.

[14] в 3-х мерной модели, построенной, например, в "Автокаде" при объёмном вращении, см. рис. в тексте.

[15] (проекция ориентаций, в плоскости, 1010­–1100 и 0010–0100).

[16] (проекция ориентаций, в плоскости, 0010­–1000 и 0110–1100).

[17] линии пересечения плоскостей, построенных на уже ранее построенных ориентирующих прямых, с означенной плоскостью.

[18] не может быть, в этом случае, чтобы и ВÎА (тогда В = А, противоречие с начальным условием В ¹ А).

[19] Практическое приложение эта теорема имеет при истолковании (интерпретации) экономико-математических моделей в плане привязки меры стоимости к 3-х размерной материальной характеристике системы (вещной, временной, энергетический),— любой 4-й фактор (например, деньги, оторванные по содержанию от упорядочивающих материальных факторов) — дезориентирующ, т. е. денежная мера, практически, привязываема к 3-м упомянутым факторам.

[20] "1. Единица есть <то>, через что каждое из существующих считается единым.

2. Число же — множество сотавленное из единиц." [3, т. 2, с.9-10] ("Начала", кн.7, Определения.)

[21] , Концепция бесконечного в "Трактате о флюксиях" Маклорена (Маклорен и Фонтенель) [1, с. 71–73]

[22] индексы — PN(Æ), P(PN(Æ)),…

[23] из историко-философских сравнений — логика (отношений несамопринадлежащих классов) Аристотеля.

[24] из философских категорий — представление о ряде последовательных причин в средневековой философии.

[25] фрактальные объекты отдалённый и лишь внешне похожий аналог, нестандартный анализ (), в котором предполагается, что (на прямой) окрестность каждой точки подобна по устройству всей числовой прямой, отчасти схож с описанным самоподобием объектов.

[26] при этом, очевидно, что поскольку "обобщённая континуум гипотеза [2, с. 235] влечёт, что всякое недостижимое кардинальное число является сильно недостижимым" — не верна, т. к. в теории с самопринадлежностью имеется бесконечный ряд (доминантных) недостижимых последователей, структурно не изоморфных один другому.