Анализ функций нескольких переменных

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Уральский государственный горный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Председатель Методического совета

Уральского государственного горного университета

_______________

«_____»______________200___ г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН. Ф.01.01. “МАТЕМАТИКА”. ЧАСТЬ 4.

“Анализ функций нескольких переменных”.

Закреплена за кафедрой математики.

Учебный план специальности подготовки дипломированных специалистов 220200

Часов по РУП: общая – 500, обяз. ауд. занятия – 290, самост. работа студентов – 210.

В том числе по ЧАСТИ 3: лекции – 36, практические занятия – 36.

Виды контроля в семестрах: экзамен в 1, 2, 3 и 4 семестрах.

Программу составил: доктор физико-математических наук, с. н. с. .

Рабочая программа дисциплины ЕН. Ф.01. “Математика” составлена на основании:

а) государственного образовательного стандарта ВПО направления подготовки 650500 «Землеустройство и земельный кадастр» (241 тех/дс от 01.01.2001);

б) рабочего учебного плана специальности 311100 “Городской кадастр” (утв. 23.06.2000) и рабочего учебного плана специальности 311000 “Земельный кадастр” (утв. 25.02.2005).

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры математики

Протокол № 21 от «26» сентября 2007 г.

Зав. кафедрой ________________

СОГЛАСОВАНО: зав. кафедрой “Геодезии и кадастров” _________________

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Дисциплина “Математика” является базовой дисциплиной для обучения инженера. Кроме фундаментальных знаний, эта дисциплина создаёт основу для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин учебного плана.

Целью изучения дисциплины “Математика” является овладение студентами основными понятиями аналитической геометрии, общей и линейной алгебры, математического анализа, дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, топологии, математического моделирования и стохастических методов в объёме, позволяющем успешно освоить естественнонаучные, общепрофессиональные и специальные дисциплины учебного плана, а также успешно осуществлять послевузовскую профессиональную деятельность.

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

(ЧАСТЬ 4)

Студент должен иметь представление:

- о поверхностных интегралах первого и второго рода в трёхмерном пространстве;

- об основных операциях векторного анализа;

- об интегральных теоремах векторного анализа;

- о функциях комплексного переменного;

- об условиях Коши-Римана;

- об интегралах в комплексной области;

- о рядах Тейлора и Лорана для функции комплексного переменного;

- об особенностях функции комплексного переменного;

- о вычетах и их применениях для вычисления расходящихся интегралов;

- об операторах в нормированных и гильбертовых пространствах;

- об обобщённых функциях и их свойствах;

- о математических моделях, их классификации и этапах построения;

- об обыкновенных дифференциальных уравнениях первого порядка;

- об обыкновенных дифференциальных уравнениях высших порядков;

- о комбинаторной теории вероятностей;

- о случайных величинах;

- о числовых характеристиках и законах распределения случайных величин.

Студент должен знать и уметь:

- знать основные свойства и методы вычисления поверхностных интегралов;

- знать основные теоремы теории функций комплексного переменного;

- знать основные определения и теоремы из теории интегралов в нормированных пространствах;

- знать основные теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их интегрирования;

- знать основные определения и теоремы комбинаторной теории вероятностей;

- знать основные определения и теоремы из теории случайных величин;

- знать основные определения и теоремы о числовых характеристиках случайных величин;

- знать основные законы распределения случайных величин.

Студент должен иметь навыки:

- вычисления поверхностных интегралов;

- вывода формул векторного анализа с помощью векторного дифференциального оператора Гамильтона;

- вычисления потока и циркуляции векторного поля;

- применения основных интегральных теорем векторного анализа;

- дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного;

- применения формулы Коши;

- вычисления интегралов с помощью теории вычетов;

- решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

- решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка;

- решения задач комбинаторной теории вероятностей;

- вычисления числовых характеристик случайных величин.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (тематический план лекций)

НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА И ТЕМЫ	Обязат. ауд. занятий, ч.	Литература (страницы)
РАЗДЕЛ 10. Основы многомерного интегрального исчисления	4 ч.	[1] с. 163-стр.)
10.8. Поверхностные интегралы: поверхностные интегралы первого рода; ориентируемые поверхности и поверхностные интегралы второго рода; связь поверхностных интегралов первого и второго рода.	2 ч.	[1] с. 197-стр.). Доп. лит. [3, 4].
10.9. Элементы теории поля: понятие поля; скалярное поле; дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса; ротор векторного поля и теорема Стокса; сводка формул векторного анализа.	2 ч.	[1] с. 202-стр.). Доп. лит. [3, 4].
10.10. Интеграл Лебега: множества меры нуль; измеримые функции; интеграл Лебега; суммируемые функции; интеграл Лебега по множеству; связь с интегралом Римана; свойства интеграла Лебега.	2 ч.	[1] с. 212-стр.).
РАЗДЕЛ 11. Элементы теории функций и функционального анализа	16 ч.	[1] с. 229-стр.). Доп. лит. [8].
11.1. Функции комплексного переменного: последовательности и ряды с комплексными членами; функции комплексного переменного; некоторые элементарные функции комплексного переменного; дифференцируемость и производная функции комплексного переменного.	2 ч.	[1] с. 229-стр.). Доп. лит. [8].
11.2. Криволинейные интегралы в комплексной плоскости: определение и свойства криволинейных интегралов в комплексной плоскости; теорема Коши.	2 ч.	[1] с. 232-стр.). Доп. лит. [8].
11.3. Функциональные ряды: ряды Тейлора и Лорана; вычеты и изолированные особые точки; приложения теории вычетов к вычислению интегралов.	2 ч.	[1] с. 234-стр.). Доп. лит. [8].
11.4. Линейные нормированные пространства: линейные пространства; нормированные пространства; сходимость в линейном нормированном пространстве; элементы топологии линейных нормированных пространств; примеры линейных нормированных пространств функций; плотные подмножества.	2 ч.	[1] с. 240-стр.). Доп. лит. [12].
11.5. Гильбертово пространство: определение гильбертова пространства; некоторые задачи геометрии в n-мерном собственно-евклидовом пространстве; геометрия гильбертова пространства; комплексное гильбертово пространство.	2 ч.	[1] с. 251-стр.). Доп. лит. [13].
11.6. Тригонометрические ряды и преобразование Фурье: ряды Фурье и их свойства; преобразование Фурье; преобразование Лапласа.	2 ч.	[1] с. 268-стр.). Доп. лит. [2-4].
11.7. Операторы в линейных нормированных пространствах: определение линейного оператора; алгебра операторов; непрерывные операторы; ограниченные операторы; примеры линейных операторов.	2 ч.	[1] с. 272-стр.). Доп. лит. [13].
11.7. Операторы в линейных нормированных пространствах: обратный оператор; принцип сжимающих отображений; операторы в гильбертовом пространстве.	2 ч.	[1] с. 278-стр.). Доп. лит. [13].
11.8. Элементы теории обобщённых функций: дельта-функция Дирака; определение дельта-функции как слабого предела последовательности функционалов; общее определение обобщённой функции; дифференцирование обобщённых функций; некоторые формулы с дельта-функцией.	2 ч.	[1] с. 283-стр.). Доп. лит. [13].
РАЗДЕЛ 12. Элементы теории математических моделей	4 ч.	[2] с. 13стр.). Доп. лит. [12].
12.1. Определение и классификация математической модели: понятие модели, материальное и идеальное моделирование; фундаментальные законы и кооперативные закономерности; понятие математической модели; классификация математических моделей.	2 ч.	[2] с. 13стр.). Доп. лит. [12].
12.2. Конструирование математической модели: этапы разработки математической модели (разработка качественной модели объекта, формализация модели, проверка адекватности модели, анализ и корректировка модели, совершенствование модели, исследование модели).	2 ч.	[2] с. 20стр.). Доп. лит. [12].
РАЗДЕЛ 13. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления	6 ч.	[3] с. 193-стр.). Доп. лит. [9, 10, 13].
13.1. Дифференциальные уравнения в естественных науках и экономике: некоторые объекты, процессы и явления естествознания и экономики, описываемые дифференциальными уравнениями.	2 ч.	[3] с. 375, стр.). Доп. лит. [9, 10, 13].
13.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, общее решение и задача Коши; уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные дифференциальные уравнения первого порядка.	2 ч.	[3] с. 377-стр.). Доп. лит. [9, 10, 13].
13.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: приложения дифференциальных уравнений первого порядка в естествознании и экономике.	2 ч.	[3] с. 383-стр.). Доп. лит. [9, 10, 13].
13.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков: основные понятия; понижение порядка; линейные уравнения второго порядка; линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.	2 ч.	[3] с. 389-стр.). Доп. лит. [9, 10, 13].
13.4. Элементы вариационного исчисления: постановка задачи вариационного исчисления; метод Эйлера; метод Лагранжа; первая вариация и её классическая трактовка; примеры функционалов.	2 ч.	[2] с. 23стр.). Доп. лит. [13].
РАЗДЕЛ 14. Элементы численных методов	2 ч.	[7]
14.1. Системы линейных алгебраических уравнений: задачи линейной алгебры; метод исключения Гаусса; определитель и обратная матрица; метод прогонки; метод квадратного корня; плохо обусловленные системы.	2 ч.	[7] с. 126-стр.).
14.2. Численное дифференцирование и численное интегрирование: простейшие формулы численного дифференцирования; квазиоднородные сетки и регуляризация.	2 ч.	[7] с. 72-74, 78-84, (9 стр.).
14.3. Численное интегрирование: разностный метод; формула трапеций; формула Симпсона; формула средних; формула Эйлера.	2 ч.	[7] с. 85стр.).
РАЗДЕЛ 15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	8 ч.	[3] с. 429-стр.). Доп. лит. [4].
15.1. Определение вероятности: случайные события; алгебра событий; классическое определение вероятности; статистическое определение вероятности; комбинаторные формулы.	2 ч.	[3] с. 429-стр.). Доп. лит. [4].
15.2. Свойства вероятности: теорема сложения вероятностей несовместимых событий; теорема умножения вероятностей; теорема сложения вероятностей совместимых событий; формула полной вероятности; формула Байеса.	2 ч.	[3] с. 436-стр.). Доп. лит. [4].
15.3. Дискретные случайные величины: случайная величина; законы распределения дискретных случайных величин; математическое ожидание дискретной случайной величины; дисперсия дискретной случайной величины.	2 ч.	[3] с. 443-стр.). Доп. лит. [4].
15.4. Непрерывные случайные величины: интегральная и дифференциальная функции распределения непрерывной случайной величины; математическое ожидание непрерывной случайной величины; дисперсия непрерывной случайной величины.	2 ч.	[3] с. 451-стр.). Доп. лит. [4].
15.5. Основные законы распределения случайных величин: биномиальное распределение; распределение Пуассона; предельные теоремы Лапласа; равномерное распределение; нормальное распределение и центральная предельная теорема; закон больших чисел Чебышева.	2 ч.	[3] с. 456-стр.). Доп. лит. [4].
15.6. Генеральная совокупность и выборка: генеральная совокупность; выборка, полигон, гистограмма; генеральная и выборочная средние; генеральная и выборочная дисперсии; оценки параметров распределения; доверительные интервалы для параметров нормального распределения; проверка статистических гипотез; линейная корреляция.	2 ч.	[3] с. 479-стр.). Доп. лит. [4].

Примечание: материал пунктов, отмеченных звёздочкой, изучается самостоятельно.

4. ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ И ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ

4.1. Практические занятия

№ п/п	№ раздела дисциплины	Объём практических занятий
1	10. Основы многомерного интегрального исчисления	(2 час.). Литература: 5 с. 52-56 (упражнения 277-231, с. 56 задания для самостоятельного решения 231-234).
2	10. Основы многомерного интегрального исчисления	(2 час.). Литература: 5, с. 56-60 (упражнения 235-241), с. 64-65 (задания для самостоятельного решения 251-268).
3	10. Основы многомерного интегрального исчисления	(2 час.). Литература: 5, с. 60-64 (упражнения 242-250), с. 64-65 (задания для самостоятельного решения 251-268).
4	11. Элементы теории функций и функционального анализа	(2 час.). Литература: 5, с. 282-283 (упражнения ), с. 284-285 (задания для самостоятельного решения ).
5	11. Элементы теории функций и функционального анализа	(2 час.). Литература: 5, с. 285-287 (упражнения ), с. 286-287 (задания для самостоятельного решения ).
6	11. Элементы теории функций и функционального анализа	(2 час.). Литература: 5, с. 291-294 (упражнения ), с. 294-295 (задания для самостоятельного решения ).
7	11. Элементы теории функций и функционального анализа	(2 час.). Литература: 5, с. 295-299 (упражнения ), с. 300 (задания для самостоятельного решения ).
8	11. Элементы теории функций и функционального анализа	(2 час.). Литература: 5, с. 300-304 (упражнения ), с. 304 (задания для самостоятельного решения ).
9	13. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления	(2 час.). Литература: 10, с. 26-33 (упражнения 1-9), с. 33-36 (задания для самостоятельного решения 1-68).
10	13. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления	(2 час.). Литература: 10, с. 55-58 (упражнения 1-8), с. 58-60 (задания для самостоятельного решения 138-181).
11	13. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления	(2 час.). Литература: 10, с. 194-203 (упражнения 1-15), с. (задания для самостоятельного решения 721-844).
12	13. Дифференциальные уравнения и элементы вариационного исчисления	(2 час.). Литература: 5, с. 386-392 (упражнения , ), с. 392 (задания для самостоятельного решения ).
13	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 176-178 (упражнения 806-810), с. 178 (задания для самостоятельного решения 811-821).
14	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 179-182 (упражнения 822-829), с. 182 (задания для самостоятельного решения 830-838).
15	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 183-184 (упражнения 839-842), с. 184-186 (задания для самостоятельного решения 843-854).
16	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 189-191 (упражнения 860-865), с. 191-192 (задания для самостоятельного решения 866-871).
17	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 193-194, 195-196,196-197 (упражнения 872, 873, 876, 881), с. 194-195, (задания для самостоятельного решения 874, 875, 878, 879, 882, 883).
18	15. Элементы теории вероятностей и математической статистики	(2 час.). Литература: 5, с. 197-199, 200-202, 203-205 (упражнения 894-897,904-914), с. 184-186, 202, 205 (задания для самостоятельного решения 893, 898-903, 915, 916).

4.2. Контрольные работы и расчётно-графическое задание

В течение семестра студент выполняет две контрольные работы и расчётно-графическое задание, включающее в себя набор задач, реализующих последовательно изучаемые в третьем семестре понятия математического анализа. Тема расчётно-графического задания выдаётся кафедрой математики. По результатам выполнения контрольных работ студент аттестуется или не аттестуется в семестре. Студент, не выполнивший контрольные работы или расчётно-графическое задание, не допускается к экзамену кафедрой математики.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

5.1. Рекомендуемая литература

5.1.1. Основная литература

1. . Основы высшей математики. Часть 3. Анализ функций нескольких действительных переменных. Издательство УГГУ. Екатеринбург. 2008. – 250 с.

2. . Математическое моделирование. Компьютерное издание. Екатеринбург. 2008. – 250 с.

3. . Основы курса высшей математики. М.: ВЛАДОС. 20с.

5.1.2. Дополнительная

4. , , . Математика. Общий курс. С. Петербург. 20с.

5. , , . Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высшая школа. 1997. – 304 с..

6. , , . Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа. 1997. – 416 с.

7. . Численные методы. М.: НАУКА. 1978. – 512 с.

8. , . Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1987. – 688 с.

9. . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Санкт-Петербург. Специальная литература. 1996. – 371 с.

10. . Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Санкт-Петербург. ЛАНЬ. 2002. – 432 с.

11. Ш. Пизо, М. Заманский. Курс математики. Алгебра и анализ. М.: Наука, 19с.

12. . Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. М.: УРСС. 2004. – 152 с.

13. . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар. 2003. – 448 с.

5.2. Средства обеспечения освоения специальности

Учебно-методический комплекс, содержащий учебное пособие, в состав которого включены:

1. теоретический материал;

2. примеры решения типовых задач;

3. задачи для самостоятельного решения.

6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Компьютерный класс, программное обеспечение.