Планирование эксперимента в задаче устойчивости ослабленной вырезом цилиндрической оболочки эллиптического сечения

Планирование эксперимента в задаче устойчивости ослабленной вырезом цилиндрической оболочки эллиптического сечения

Казанский государственный университет, Казань, Россия

Представлено теоретико-экспериментальное решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки эллиптического поперечного сечения при действии центрально приложенной осевой сжимающей силы. При этом оболочка ослаблена круговым вырезом, расположенным в средней части образующей в зоне малой кривизны боковой поверхности. Поведение оболочки в этом случае весьма сложно. Докритическое напряженно-деформированное состояние существенно моментное и геометрически нелинейное. Оболочка терпит локальную потерю устойчивости с образованием волн в зоне выреза. При дальнейшем нагружении происходит расширение области волнообразования с переходом на область большей кривизны. В этот момент оболочка теряет несущую способность. Обработку результатов эксперимента наиболее целесообразно вести с позиций смешанного теоретико-экспериментального метода [2], в условиях которого на основе анализа исходных уравнений устанавливается структура расчетной зависимости с точностью до неизвестной функции, определяемой экспериментально. Однако в данном случае объект исследования таков, что функция получается зависящей от двух переменных (факторов): параметра эллиптичности и параметра выреза. Это весьма усложняет процедуру ее экспериментального определения. Для упрощения процесса обработки экспериментальных данных и минимизации числа испытаний в работе реализована методика планирования эксперимента [1]. Так как при этом изменяются одновременно все факторы, они должны быть совместимыми и независимыми. Совместимость означает, что все комбинации факторов должны быть осуществимы. Независимость предполагает возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровня другого фактора. В качестве факторов были выбраны две независимые переменные: – отношение полуосей эллипса поперечного сечения, – радиус отверстия.

Ставится задача построения математической модели, то есть построение поверхности функции отклика в факторном пространстве. Данные для обработки результатов эксперимента приведены в таблице 1.

Таблица 1

Основной уровень	1,5	7,5
Интервал варьирования	0,5	7,5
Верхний уровень	2	15
Нижний уровень	1	0

Указанные в таблице переменные позволяют сформировать матрицу планирования, на основе которой осуществляется расчет коэффициентов регрессии. Для случая локальной потери устойчивости матрица планирования представлена в таблице 2.

Таблица 2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	-1	-1	1	155,7	147,4	151,55	151,63	-0,08
2	1	1	-1	-1	33	31,04	32,02	32,03	-0,01
3	1	-1	1	-1	83,7	78,9	81,3	81,3	0,07
4	1	1	1	1	13,8	12,7	13,25	13,23	0,02

Здесь – кодированное значение фактора, вычисленное по формуле

,

где – натуральное значение фактора, – натуральное значение основного уровня, – интервал варьирования, j – номер фактора, – значения критических нагрузок в параллельных опытах, – среднее значение зависимой переменной в -м опыте, – расчетное значение переменной, вычисленное по уравнению регрессии. Коэффициенты регрессии определяются в соответствии с методикой, изложенной в [1]. Уравнение регрессии для случая локальной потери устойчивости имеет вид

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводилась по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. Оценка адекватности уравнения регрессии в целом осуществляется в соответствии с F-критерием Фишера.

Для случая общей потери устойчивости матрица планирования и значения зависимой переменной приведены в таблице 3.

Таблица 3

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	-1	-1	1	155,7	147,4	151,55	151,58	-0,03
2	1	1	-1	-1	54,28	51,12	52,7	52,66	0,04
3	1	-1	1	-1	100,4	94,6	97,5	97,54	-0,04
4	1	1	1	1	26,88	25,32	26,1	26,06	0,04

После вычисления коэффициентов регрессии уравнение регрессии принимает вид

В таблице 4 представлены значения коэффициентов регрессии для обеих форм потери устойчивости:

Таблица 4

Локальная потеря устойчивости	69,53	-46,9	-22,3	12,9
Общая потеря устойчивости	81,96	-42,6	-20,16	6,86

Сравнение приведенных коэффициентов регрессии позволило установить следующее. Как в случае локальной потери устойчивости, так и в случае полной потери устойчивости наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает параметр эллиптичности (коэффициент ). Коэффициент при параметре выреза в целом меньше соответствующего коэффициента при параметре эллиптичности почти вдвое. Его влияние на потерю устойчивости оболочки как локальной, так и общей, примерно одинаково. Величина критической нагрузки локальной потери устойчивости в большей мере, чем величина критической нагрузки полной потери устойчивости зависит от взаимного влияния параметров геометрии оболочки.

Литература

1. , , Грановский эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. –280 с.

2. , Саченков -экспериментальный метод в задаче устойчивости цилиндрической оболочки эллиптического сечения // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 17. Ч. 1. – Казань: Изд-во КГУ, 1984. – С. 135–142.