МОУ Суминская общеобразовательная школа
Исследовательская работа по теме:
«Корень n-ой степени и его свойства»
Работу выполнили: Ученицы 11 класса:
Иванилова Марина
Пахомова Анна
Работу проверила:
Учитель математики
2011год
Содержание.
Вступление 2
Историческая справка 3
Определение корня n-ой степени 4
Свойства корня n-ой степени 5
Заключение 6
Литература 7
Вступление.
Датский физик Нильс Бор говорил, что математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки. Математика превратилась в необходимое орудие познания, без которого многие естествоиспытатели не мыслят себе саму возможность развития их областей знания.
Впервые взглянув на такие выражения:
, 
, (
, думаешь:
« Как же их решать?! С чего начать? И какой же будет здесь ответ – положительный или отрицательный, простое число или десятичная дробь?» но стоит только вникнуть в тему, все становится понятным, нет ничего сложного…
Историческая справка
Название «радикал» происходит от латинских слов radix- «корень», radicalis- «коренной». Начиная с 
ΙΙΙ века европейские математики обозначали корень этим словом, или, сокращенно, r. В 1525 г. В книге К. Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс» появилось обозначение V для знака квадратного корня, корень кубический обозначался там как VVV. В 1626 году голландский математик А. Жирар ввел обозначение 
, и т. д., которое стало быстро вытеснять знак r; при этом над покоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Тогда писали V x + у вместо современного 
.
Современное обозначение корня впервые появилось в книге Р. Декарта «Геометрия», изданной в 1637 г. Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить ещё в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад. При этом вавилонские учёные пользовались следующим методом: число а представляли в виде суммы в²+с, где с мало по сравнению с в², и полагали 
= в + с /2в.
Например: 
= 
=
=40+
=41
(пример взят из вавилонской клинописной таблички). Для сравнения укажем более точное значение корня =41,23105. Заметим, что такой способ приближенного извлечения квадратного корня часто называют вавилонским методом извлечения квадратного корня.
Определение корня n-ой степени.
Радикалом (или знаком корня) называют знак 
, применяемый для обозначения операции извлечения корня n-ой степени из некоторого числа, корень n-ой степени из числа a обозначается 
. При n
2 показатель корня опускают и пишут 
вместо 
. Корень второй степени обычно называют квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем. При извлечении корня четной степени из неотрицательного числа а запись 
обозначает арифметический корень из числа а (т. е. такое неотрицательное число в, что 
=а).
При четном n существует два корня n-ой степени из любого положительного числа а; корень n-ой степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.
При нечетных значениях n функция 
возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел.
Применяя теорему о корне, находим, что уравнение, 
=а имеет один корень при любом а и, в частности, при а
0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают .
Итак, при нечетном n существует корень n-ой степени
из любого числа а, и при том только один.
Для корней нечетной степени справедливо равенство: 
=-.
Степенью числа а
0 с рациональным показателем r= 
, где 𝑚- целое число, а n - натуральное (n
), называется число 
.
Свойства корня -ой степени.
Для любого натурального n, целого 
и любых неотрицательных чисел а и в выполнено равенство:
1) 
= 
2) 
= 
(причем в
3) 
= 
(k
4) 
= 
(k
5) 
= (
(если k 
0, то а
0)
Примеры
1) Найдите значения выражений:
; 
; 
.
По определению степени с рациональным показателем и свойствами корней, имеем:
= 
= 2, 
= 
= (
= 
= 27,
= 
=( 
= 
= 
= 
.
2) Сравним числа : 
и 
.
= 
= 
= 
;
= 
= 
= 
,
Т. к. 625
729, то 
, значит 
.
Заключение.
Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, астрономии или инженерного дела, но и тому, кто станет экономистом, агрономом и просто квалифицированным рабочим. Математический стиль мышления нужен также будущим юристам, историкам, биологам, врачам и лингвистам.
