Оформление экзаменационной работы за курс основной школы

Оформление экзаменационной работы за курс основной школы

1. Докажите тождество:

Доказательство:

Данное равенство имеет смысл, если

Преобразуем левую часть:

Используем формулу a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).

-1 = -1

Т. к. левая часть равна правой, то данное равенство является тождественным при всех допустимых значениях а.

2. Решите уравнение:

Решение:

Данное уравнение имеет смысл, если

Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной.

Пусть , то

Подставим полученное в данное уравнение:

Используя теорему обратную теореме Виета получим, что данное уравнение имеет 2 корня.

, то

Теорема Виета: ах2 + bx + с = 0 и

Проверка:

х = 4 – корень х = 84 – корень

Ответ: т. к. полученные корни входят в ОДЗ, то

 

3. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2.

Решение:

Эти числа задаются формулой an = 3n + 2.

Рассмотрим эти числа на примере 101, 104, 107, . . . , 998. Каждое из них начиная со второго, составляет среднее арифметическое между предыдущим и последующим, следовательно, эти числа составляют арифметическую прогрессию.

Т. к. эти числа трехзначные выполняется следующее:

Отсюда nmin = 33, nmax = 998, тогда по формуле an = 3n + 2

a1 = 3 · nmin + 2 = 3·33 + 2 = 101

a1 = 3 · nmax + 2 = 3·332 + 2 = 998

используя формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии, получим

an = a1 + (n – 1)d d = 3 (104 – 101 = 3)

подставим:

998 = 101 + (n – 1)·3

897 = 3n – 3

n = 300

т. е. количество данных чисел – 300.

Сумма членов арифметической прогрессии равна:

Sn = 164850

Ответ: сумма всех трехзначных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2, равна 164850.

4. Известно, что . Найти .

Решение:

По формуле имеем , но тогда

и отсюда и

Вернемся к условию:

т. к.

т. к. (основное тождество), то

Подставим найденные значения:

Ответ: , если

 

5. Постройте график функции и укажите для нее область определения, множество значений, значения принимаемые функцией более чем в одной точке.

Построение:

Данная функция

Раскроем модуль:

Х = 2 выколотая точка.

Построим график функции f(x) кусочно на данных промежутках, составив таблицу.

, где х = 2 – вертикальная асссимптота, у = 0 – горизонтальная асимптота.

Х	-6	-4	-2	-1	0
У	1/2	2/3	1	4/3	2

у = 2 – прямая параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;2)

D(f) = (

E(f) =

у = 2 значение, принимаемое функцией более чем в одной точке, при х

У

х=2

у=0

Х

О

-2

1

6. От двух сплавов массой 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок отрезанный от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава, а кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили с остатком первого сплава. Определить массу каждого из отрезанных кусков, если новые сплавы получились с одинаковым процентным содержанием магния.

Решение:

Пусть процентное содержание магния в I куске – х %, а II куске – у %, масса отрезанного куска – z кг, следовательно масса остатка I куска – (7 – z) кг, а II куска - (3 – z) кг.

Масса магния в остатке I сплава - кг, а масса магния в остатке II сплава - кг.

Масса магния в I отрезанном куске - кг, а во II отрезанном куске - кг.

Используя условия задачи, составим уравнение зная, что процентное содержание находиться делением массы чистого вещества на массу всего вещества; учитывая. Что новые куски с одинаковым процентным содержанием магния и масса исходных сплавов 7 кг и 3 кг соответственно ( это следует из того, что отрезали равные по массе куски), то

разделим оби части уравнения на (х –у), где ху по условию задачи

1 = умножим оби части уравнения на 21

21 = 7z + 3z

10z = 21

z = 2,1

Обратная задача.

№	Масса сплава, кг	% содержание чистого в-ва	Масса куска, кг	Масса остатка, кг	Масса чистого в-ва в новом сплаве, кг
1	a	x	2,1	a - 2,1
2	3	y	2,1	0,9

Найдем процентное содержание чистого вещества в каждом куске, и при условии, что они равны, составим уравнение:

2,1ах + 0,9ау = 3ах – 6,3х + 6,3у

0,9 ау - 0,9 ах = 6,3(у – х)

0,9а(у – х) = 6,3(у – х) разделим на (у – х), где ху

0,9а = 6,3

а = 7

Следовательно, задача решена правильно.

Ответ: Масса каждого из отрезанных кусков равна 2,1 кг.