Факультативное занятие
«Нестандартные методы решения наиболее сложных
задач для поступающих в вузы».
Цели занятия:
- обучение нестандартным приёмам и методам решения задач;
- развитие умения отыскивать рациональные способы решения;
- подготовка к конкурсным экзаменам и олимпиадам.
Ход занятия
Разбор задачРассмотрим несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в МГУ. Данные задачи мы решим методами, отличными от тех, которые предлагали авторы данных задач в своих сборниках.
Задача 1. Найти все решения системы уравнений.
удовлетворяющее условию z
3.
Первый вопрос, который приходит на ум, это: «Какое отношение условие z3 имеет к системе уравнений?» И тут по ассоциации вспомнилось, что иногда вместо одного уравнения решают систему уравнений. Например, чтобы решить уравнение.
,
нужно перейти к системе: 
Вот и подумалось, а почему бы от системы уравнений не перейти к системе неравенств, благо, одно из них (z3) уже есть. Перепишем первое уравнение в виде:
3x
-(2z+6)x+(3z+3)=0, а третье – в форме y=6z-z.
Если система имеет решение, то дискриминант первого уравнения (где z-параметр!) неотрицателен, да и величина 6z-z
0. В итоге вместо системы трех уравнений получаем систему трех неравенств:
Вывод: z=0 или z=3.
Остальное – дело техники.
Ответ: 
.
Аналогично решается и другая, более сложная задача.
Задача 2. Найти все решения системы уравнений 
, для которых x принадлежит отрезку 
.
Если вместо данных двух уравнений придти к двум другим, а именно, к их сумме и разности, и сделать обозначения 
, то получим 
.
Отсюда 
.
Итак, 
.
Получаем подобно задаче 1 систему неравенств
Þ 
.
Отсюда x=7.
Ответ: (7; 6; 6).
Задача 3. Решить уравнение.
Увидев 
, сразу вспомнилось, как на первом курсе вуза интегралы вида 
С помощью замены: x = cos t.
Сделаем её, получим:
Учитывая, что 2cos t sin t = sin 2t, получаем элементарные квадратные уравнения. Остальное просто.
Задача 4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется ровно для двух различных значений x.
Учитывая, что 
умножим неравенство на |a-2|. Знак неравенства не измениться, а вместо 
можно написать 
Тогда неравенство легко преобразовать к виду:
Рассмотрим три функции: 
Они имеют вид “галочек”:
Учитывая, что 
>0, получим, что функция
будет иметь форму «корыта»:
Нужно, чтобы «галочка» y
лежала целиком под «корытом» и имела с ним две точки пересечения. Это возможно при единственном случае:
Отсюда y=y
при x=4-a и x=a..
Подставляя x=4-a и x=a в уравнение
через пару минут получим ответ: a=2
.
Задача 5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых число решений уравнения
не меньше числа решений уравнения
Учитывая, что 
>0 для всех x, 
- возрастающая кубическая парабола. Несложно определить и вид кривой 
Если 
, то y2=const (прямая).
В любом случае, уравнение 
имеет не более 1 корня.
Точнее: если 
, то 1 корень; если 
, то Æ (0 корней).
Второе уравнение можно переписать в виде: 
.
Отсюда: если Д>0 ® 2 корня, Д=0 ® 1 корень, Д<0 ® 0 корней.
По условию, число корней первого уравнения должно быть не меньше числа второго. Возможны два варианта:
или 
.
Но 
, значит, второй вариант отпадает и получается, что 
.
Д=0 при 
. Но 
.
Ответ: при 
.
Задача 6. В подъезде на лестничной клетке 5 ступенек, на каждой ступеньке по 5 котов. Если один кот перескакивает на 1 ступеньку вниз, то одновременно другой кот перескакивает на 1 ступеньку вверх (например, перескоки 4 ® 3 и 1 ® 2 вполне допустимы одновременно). Как нужно перескакивать котам, чтобы на 1, 3 и 5 ступеньках было по 5 котов, на 2 - 4 кота, на 4 - 6 котов?
Решение навеяно физикой. Пусть 1 кот = 1 единице веса. Нарисуем “весы”:
Если мы один грузик перевесим на 1 позицию вправо, а любой другой – на 1 позицию влево, то суммарный момент сил не изменится и весы останутся в равновесии. Поэтому “ равновесие весов” – инвариант указанного в условии задачи преобразования системы (коты на лестнице). В нашем случае (5+4+5+6+5) равновесие нарушается, поэтому задача не имеет решения.
Подведение итогов и определение домашнего задания(из книги Ткачука «Математика - абитуриенту)
