Системы счисления (стр. 2 )

189		8
184		23		8
5		16		2
		7

189		16
176		11
13
		B
D

II.  Перевод дробных десятичных чисел в другие системы счисления.

Алгоритм перевода

1)  Умножают десятичную дробь на основание системы счисления, в которую следует перевести эту дробь.

2)  В полученном произведении выделяют целую часть. Это будет старший разряд дробной части нового числа.

3)  Дробную часть произведения опять умножают на основание новой системы счисления. Целая часть произведения будет следующим разрядом дробной части искомого числа.

4)  Пункт 3 повторяют до получения необходимого количества разрядов искомого числа. Если это количество не задано, его следует определить, исходя из условия сохранения точности исходного числа.

Следует отметить, что конечная десятичная дробь после перевода в другие системы счисления не всегда останется конечной. Если в задании не оговорено количество знаков после запятой в новой дроби, его следует определить (см. ниже).

В качестве примера переведем числа 0,75 и 0,37 из десятичной в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

a) 

Данная десятичная дробь представляется в двоичной системе счисления конечной дробью.

b) 

Поскольку данная десятичная дробь не может быть представлена в двоичной системе счисления конечной дробью, определим необходимую точность. В десятичном числе второй знак после запятой даёт точность .

В двоичном числе: первый знак после запятой даёт точность ,

второй – ,

третий – ,

четвёртый – ,

пятый – ,

шестой – ,

седьмой –

(см. развёрнутую форму записи числа).

Таким образом, чтобы получить точность, не меньшую, чем , в двоичной дроби следует записать семь знаков после запятой.

Поскольку следующая рассчитанная цифра (результат восьмого умножения) , округление производим в меньшую сторону:

Если бы при последнем умножении получился не ноль, а единица, мы произвели бы округление в большую сторону (единица переходит в старший разряд):

c) 

Данная десятичная дробь представляется в восьмеричной системе счисления конечной дробью.

d) 

Поскольку данная десятичная дробь не может быть представлена в восьмеричной системе счисления конечной дробью, определим необходимую точность. В десятичном числе второй знак после запятой даёт точность .

В восьмеричном числе: первый знак после запятой даёт точность ,

второй – ,

третий –

(см. развёрнутую форму записи числа).

Таким образом, чтобы получить точность, не меньшую, чем , в восьмеричной дроби следует записать три знака после запятой.

Поскольку следующая рассчитанная цифра (результат четвёртого умножения) , округление производим в меньшую сторону:

Если бы при последнем умножении получилась не тройка, а четвёрка, мы произвели бы округление в большую сторону (единица переходит в старший разряд):

Цифра в восьмеричной системе счисления является аналогом цифры в десятичной системе счисления: до неё округление идёт в меньшую сторону, а начиная с неё – в большую.

e) 

Данная десятичная дробь представляется в шестнадцатеричной системе счисления конечной дробью.

f) 

Поскольку данная десятичная дробь не может быть представлена в шестнадцатеричной системе счисления конечной дробью, определим необходимую точность. В десятичном числе второй знак после запятой даёт
точность .

В шестнадцатеричном числе:

первый знак после запятой даёт точность ,

второй –

(см. развёрнутую форму записи числа).

Таким образом, чтобы получить точность, не меньшую, чем , в шестнадцатеричной дроби следует записать два знака после запятой.

Поскольку следующая рассчитанная цифра (результат третьего умножения) , округление производим в большую сторону (единица переходит в старший разряд):

Цифра в шестнадцатеричной системе счисления является аналогом цифры в десятичной системе счисления: до неё округление идёт в меньшую сторону, а начиная с неё – в большую.

III. Перевод смешанных десятичных чисел в другие системы счисления.

Выполняется отдельно для целой и дробной частей данного числа. Полученные при этом целая и дробная части числа в новой системе счисления складываются.

Перевод отрицательных чисел выполняется без учета знака “минус”; знак “минус” просто дописывается к полученному числу.

Примеры (см. выше):

Перевод чисел из двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной систем счисления
в десятичную систему

Перевод чисел из различных систем счисления в десятичную выполняется на основе представления этих чисел в развернутой форме с основанием, записанным в десятичной системе, и последующим выполнением действий по правилам десятичной арифметики. Для отрицательных чисел знак “минус” удобнее учитывать только после проведения расчёта.

Примеры:

1) 

2) 

3) 

Поскольку дробная часть данного шестнадцатеричного числа не может быть представлена в десятичной системе счисления конечной дробью, определим необходимую точность. В шестнадцатеричном числе второй знак после запятой даёт точность . Чтобы получить точность, не меньшую, чем , в десятичной дроби следует записать три знака после запятой (точность ). Округление проводим по правилам десятичной системы счисления.

Разница между полученным результатом и исходным значением (см. Перевод смешанных десятичных чисел в другие системы счисления) объясняется наличием погрешности при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления
в двоичную и обратно

Таблица соответствия (двоично-восьмеричный код):

Х8	У2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Для того чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную, каждую восьмеричную цифру нужно заменить триадой двоичных цифр.

Пример:

(Полученный результат подтверждает пример из раздела “Перевод смешанных десятичных чисел в другие системы счисления”.)

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, его нужно разбить на триады вправо и влево от запятой, дополняя при этом в случае необходимости крайние левую и правую триады нулями до полных.

Пример:

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления
в двоичную и обратно

Таблица соответствия (двоично-шестнадцатеричный код):

Х16	У2
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Для того чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, каждую шестнадцатеричную цифру нужно заменить тетрадой двоичных цифр.

Пример:

Сравните дробную часть полученного двоичного числа с результатом перевода дробного десятичного числа в двоичную систему счисления. Разница в последнем знаке определяется округлением при переводе этого числа как в двоичную , так и в шестнадцатеричную системы счисления.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады вправо и влево от запятой, дополняя при этом в случае необходимости крайние левую и правую тетрады нулями до полных.

Примеры:

1) 

(см. перевод целого десятичного числа 189 в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления и дробного десятичного числа 0,75 в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления)

2) 

Но с другой стороны (см. перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную), таким образом и переход от шестнадцатеричной системы счисления к восьмеричной и обратно можно осуществлять в два этапа, через двоичную систему счисления, используя двоично-восьмеричный и двоично-шестнадцатеричный код.

Следует отметить, что при рассмотрении умножения двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел (см. выше) в примерах использовались одни и те же числа:

;

.

В этом можно легко убедиться, используя двоично-восьмеричный и двоично-шестнадцатеричный код. Таким же образом можно убедиться и в том, что результаты умножения одинаковы:

.

Нормализованная форма числа

В памяти компьютера действительные числа хранятся в нормализованной форме (в нормализованном виде). Для представления десятичного числа в нормализованной форме, его записывают следующим образом:

,

где – мантисса числа , удовлетворяющая условию ;

– целое число, называемое порядком числа ;

– характеристика числа .

Примеры:

Задание к самостоятельной работе
на тему: “Системы счисления”

1.  Перевести заданные числа и из десятичной системы счисления в восьмеричную с точностью до трёх цифр после запятой:

2.  Сложить полученные восьмеричные числа:

3.  Посредством двоично-восьмеричного кода перевести полученные восьмеричные числа в двоичную систему счисления:

4.  Перевести заданное число из десятичной системы счисления в двоичную с точностью до девяти цифр после запятой:

и сравнить полученный результат с двоичным числом .

5.  Сложить полученные двоичные числа:

6.  Посредством двоично-шестнадцатеричного кода перевести полученное двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:

7.  Перевести двоичное число в десятичную систему счисления с точностью до трёх цифр после запятой:

8.  Перевести восьмеричное число в десятичную систему счисления с точностью до трёх цифр после запятой:

9.  Перевести шестнадцатеричное число в десятичную систему счисления с точностью до трёх цифр после запятой:

10.  Сравнить полученные числа , , с суммой и сосчитать для числа относительную погрешность по формуле:

11.  Умножить восьмеричное число на :

12.  Умножить двоичное число на :

13.  Умножить шестнадцатеричное число на :

14.  Используя двоично-восьмеричный и двоично-шестнадцатеричный код, доказать, что числа , и равны между собой.

15.  Записать десятичные числа и в нормализованном виде.

16.  Записать модули целых частей десятичных чисел и в римской системе счисления.

Варианты задания к самостоятельной работе
на тему: “Системы счисления”

№ варианта	a	b
1	– 133,235	261,220
2	297,791	– 123,547
3	121,248	107,117
4	– 175,937	– 100,895
5	– 191,117	285,372
6	122,510	– 299,137
7	98,111	203,256
8	– 195,073	– 84,265
9	– 137,831	284,337
10	273,492	– 119,736
11	227,381	73,008
12	– 92,123	– 109,239
13	– 173,295	58,228
14	298,119	– 179,992
15	232,982	100,026
16	– 102,387	– 171,495
17	– 250,501	131,392
18	184,227	– 88,293
19	68,940	293,178
20	– 163,094	– 78,791
21	– 142,049	241,694
22	88,107	– 279,428
23	102,987	141,884
24	– 123,957	– 100,788
25	– 233,007	107,047
26	71,888	– 172,759
27	282,094	125,906
28	– 301,598	– 51,402
29	– 222,391	369,806
30	291,555	– 82,920

Литература

1.  Острейковский : учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 2004. – 511 с.: ил.

2.  Практикум по информатике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / А. В. Могилёв, , ; под ред. . – 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. –
608 с.

3.  Леонтьев компьютер. Карманный справочник 2006. – М.: ОЛМА Медиа Групп, 2006. – 894 с.: ил.

Содержание

Введение. 2

Системы счисления. 3

Формы записи числа в позиционной системе счисления. 5

Арифметические действия с числами в различных системах счисления. 6

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы.. 17

Перевод чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
систем счисления в десятичную систему. 26

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления
в двоичную и обратно. 28

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления
в двоичную и обратно. 29

Нормализованная форма числа. 32

Задание к самостоятельной работе на тему: “Системы счисления”. 33

Варианты задания к самостоятельной работе
на тему: “Системы счисления”. 35

Литература. 36

Содержание. 37

Системы счисления

Методические указания и задание к самостоятельной работе

по дисциплине “Информатика”

Составил: АВДЕЕВ Сергей Анатольевич

Рецензент

Редактор

Лицензия ИД № 000 от 14.11.01

Подписано в печать		Формат 60х84 1/16
Бум. тип.	Усл. печ. л. 2,55 (2,75)	Уч.-изд. л. 2,5
Тираж 100 экз.	Заказ	Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

7

Копипринтер СГТУ, 7