Задача 1

Задача 1

Имеются следующие данные по торговым предприятиям:

Номер предприятия	Товарооборот, млн. руб.	Издержки обращения, млн. руб.	Номер предприятия	Товарооборот, млн. руб.	Издержки обращения, млн. руб.
1	7,5	1,0	16	9,2	1,1
2	9,0	1,0	17	4,8	0,5
3	6,8	0,9	18	15,2	1,9
4	15,7	1,4	19	4,8	0,6
5	11,7	1,2	20	18,6	2,6
6	4,0	0,4	21	5,0	0,7
7	5,6	0,5	22	7,4	1,1
8	15,0	1,5	23	3,6	0,5
9	7,1	0,8	24	6,8	0,7
10	14,0	2,3	25	17,2	2,8
11	7,8	1,4	26	11,6	1,6
12	10,7	1,4	27	16,1	1,2
13	14,9	1,9	28	13,1	2,0
14	12,1	1,7	29	11,4	1,1
15	6,5	1,0	30	14,8	1,8

С целью изучения зависимости между объемом товарооборота и величиной издержек обращения:

произведите группировку предприятий по объему товарооборота, выделив пять групп с равными интервалами; по каждой группе и в целом по совокупности подсчитайте:

число предприятий; объем товарооборота - всего и в среднем на одно предприятие; величину издержек обращения- всего и в среднем на одно предприятие;

полученные результаты представьте в виде групповой таблицы;

Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ

Величина равного интервала определяется по формуле:

i = (Xmax - Xmin)/n ,

где Xmax и Xmin наибольшее и наименьшее значения признака совокупности соответственно;

n – число выделяемых групп.

В нашем случае величина интервала будет выглядеть, как:

i = (18,6 – 3,6)/5 = 3.

Зависимость между объемом товарооборота и величиной издержек обращения

Группа предприятий по объему товарооборота, млн. руб.	Число предприятий	Объем товарооборота, млн. руб.	Величина издержек обращения, млн. руб.
Всего	В среднем на одно предприятие	Всего	В среднем на одно предприятие
3,6 - 6,6	7	4,0;5,6;6,5; 4,8; 4,8;5,0; 3,6 34,3	34,3/7 = 4,9	0,4;0,5;1,0; 0,5;0,6;0,7;0,5 4,2	4,2/7 = 0,6
6,6 - 9,6	8	7,5;9,0;6,8;7,1; 7,8; 9,2; 7,4;6,8 61,6	61,6/8 = 7,7	1,0;1,0;0,9; 0,8;1,4; 1,1; 1,1;0,7 8,0	8,0/8 = 1,0
9,6 - 12,6	5	11,7; 10,7; 12,1; 11,6; 11,4 57,5	57,5/5 = 11,5	1,2; 1,4; 1,7; 1,6; 1,1 7,0	7,0/5 = 1,4
12,6 - 15,6	6	15,0;14,0; 14,9; 15,2; 13,1;14,8 87,0	87/6 = 14,5	1,5;2,3;1,9; 1,9;2,0;1,8 11,4	11,4/6 = 1,9
15,6 - 18,6	4	15,7; 18,6; 17,2; 16,1 67,6	67,6/4 = 16,9	1,4; 2,6;2,8 1,2 8,0	8,0/4 = 2,0
Итого	30	308	308/30 = 10,3	38,6	38,6/30 = 1,3

В результате построения аналитической группировки можно сделать вывод о том, что между объемом товарооборота и величиной издержек обращения существует прямая зависимость, т. е. с увеличением объема товарооборота по группам предприятий, увеличивается и размер издержек обращения в среднем на одно предприятие.

Задача 2

Имеются следующие данные о распределении кредитных организаций региона по величине уставного капитала:

Уставной капитал, млн. руб.	Число организаций, % к итогу
До 20	12,3
20 - 40	14,1
40 - 60	20,8
60 - 80	16,7
8	15,2
	13,6
120 и выше	7,3
Итого	100

Для характеристики дифференциации кредитных организаций по величине уставного капитала рассчитайте:

средний размер уставного капитала; моду и медиану; первую и третью квартили; первую и девятую децили и децильный коэффициент дифференциации.

Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ

Данные о распределении кредитных организаций региона по величине уставного капитала

Уставной капитал, млн. руб.	Число организаций m, % к итогу	Середина интервала x, млн. руб.	x*m
До 20	12,3	10	123
20 - 40	14,1	30	423
40 - 60	20,8	50	1040
60 - 80	16,7	70	1169
8	15,2	90	1368
	13,6	110	1496
120 и выше	7,3	130	949
Итого	100		6568

Для начала данный интервальный ряд преобразуем в дискретный. Для этого определим середину каждого интервала как простую среднюю арифметическую, условно предполагая равномерным распределение единиц внутри интервала.

Поскольку в данной совокупности есть открытые интервалы, величина их середины (простой средней арифметической) условно принимается равной величине соседнего закрытого интервала.

Найдем средний размер уставного капитала = ∑ x*m / ∑ m = 6568/ 100 = 65,68 млн. руб. Рассчитаем моду. В интервальном ряду распределения её значение рассчитывается приближенно:

М0 = x0 + i * ((m2- m1) / ((m2- m1) + (m2- m3))) ,

где x0 – начало модального интервала, т. е. интервала, имеющего наибольшую частоту;

i – величина интервала;

m2 – частота модального интервала (наибольшая частота в ряду распределения);

m1 – предшествующая ей частота;

m3 – частота интервала, следующего за модальным.

М0 = 40 + 20 *((20,8-14,1) / ((20,8-14,1) + (20,8-16,7))) = 52,41 млн. руб.

Рассчитаем медиану. В интервальном ряду распределения её значение рассчитывается приближенно:

Ме = x0 + i * ((∑ m /2 – S me - 1)/ m me) ,

где x0 – начало медианного интервала, т. е. интервала, в котором находится единица совокупности с порядковым номером (n+1)/2;

i – величина интервала;

∑ m – сумма частот ряда распределения (объем ряда);

S me – 1 – сумма частот, накопленных до медианного интервала;

m me – частота медианного интервала.

Ме = 60 + 20* ((100/2- (12,3 + 14,1 + 20,8))/ 16,7) = 63,35 млн. руб.

Вывод:

·  наиболее часто встречаются в данной статистической совокупности предприятия с величиной уставного капитала 52,41 млн. руб.

·  половина предприятий имеет уставной капитал меньше 63,35 млн. руб., а другая половина больше данной цифры.

3.  Найдем первую квартиль.

Q1 = x0 + i * (( ∑ m /4 – S Q1-1 )/ m Q1) = 20+20 * ((100/4-12,3) /14,1) = 38,01 млн. руб.

Найдем третью квартиль

Q3 = x0 + i * ((0,75∑ m - S Q3-1 )/ m Q3) = 80+20*((0,75*100-(12,3+14,1+20,8+16,7))/15,2) = 94,61 млн. руб.

Вывод:

·  25% предприятий имеет уставной капитал ниже 38,01 млн. руб. или 75% предприятий имеет уставной капитал выше, чем 38,01 млн. руб.;

·  25% предприятий имеет уставной капитал выше, чем 94,61 млн. руб. или 75% предприятий имеет уставной капитал ниже, чем 94,61 млн. руб.

4. Найдем первую дециль.

Д1 = x0 + i * ((0,1∑ m – S Д1-1 )/ m Д1) = 0+20 * ((0,1*100-0)/12,3) = 16,26 млн. руб.,

т. е. 10% предприятий в данной совокупности имеют уставной капитал ниже 16,26 млн. руб., а 90% - выше 16,26 млн. руб.

Найдем девятую дециль.

Д9 = x0 + i *((0,9∑ m – S Д9-1 )/ m Д9) = 100+20 *((0,9*100-(12,3+14,1+20,8+16,7+15,2))/13,6) = 116,03 млн. руб.,

т. е. 10% предприятий в данной совокупности имеют уставной капитал выше 116,03 млн. руб., а 90% - ниже 116,03 млн. руб.

Рассчитаем децильный коэффициент дифференциации.

Кд = Д9/Д1 = 116,03/ 16,26 = 7,14

Вывод: в данной совокупности уставной капитал 10% крупнейших предприятий в 7,14 раз превышает уставной капитал 10% предприятий с наименьшим уставным капиталом.

Задача 3

По приведенным данным с помощью коэффициента структурных различий оцените изменения в составе национального богатства Российской Федерации (на начало года; в процентах к итогу).

Элементы национального богатства	1990	2002
Национальное богатство, всего	100	100
В том числе: основные фонды, включая незавершенное строительство	73	82
материальные оборотные средства	11	8
домашнее имущество	16	10

РЕШЕНИЕ

Состав национального богатства РФ

Элементы национального богатства	1990 d1, % к итогу	2002 d2, % к итогу	[d2-d1], п. п.	(d2-d1)2	d12	d22	d1+d2, п. п.	(d1+d2)2
Национальное богатство, всего	100	100
В том числе: основные фонды, включая незавершенное строительство	73	82	9	81	5329	6724	155	24025
материальные оборотные средства	11	8	3	9	121	64	19	361
домашнее имущество	16	10	6	36	256	100	26	676
Итого			18	126	5706	6888	200	25062

1. Рассчитаем средний линейный показатель структурных различий

КL = ∑ [d2 – d1]/n = 18 /3 = 6,00 п. п.,

т. е. структурные показатели национального богатства РФ в 2002 и 1990 г. г. различаются в среднем на 6 процентных пункта..

2. Рассчитаем средний квадратический показатель структурных изменений

КG = √ ( ∑ (d2 – d1)2/n ) = √ (126/3) =6,48 п. п.,

т. е. показатели структуры национального богатства РФ 2002 и 1990 гг. различаются в среднем на 6,48 п. п.

3. Поскольку вышепредставленные средние показатели не дают представления насколько малы или велики структурные различия, рассчитаем теперь интегральные показатели, которые в большей степени отражают количественную меру структурных различий.

3.1. Интегральный коэффициент:

КИНТ = √ ( ∑ (d2 – d1)2/ ∑ d22 + ∑d12) = √ (126/(5706+6888) = 0,100 ,

т. е. произошли некоторые незначительные структурные изменения в национальном богатстве РФ.

3.2. Интегральный коэффициент Салаи:

IСАЛАИ = √ ( ∑ ((d2 – d1) / d2+ d1))2/ n ) = √ (((9/155) 2 +(3/19) 2+(6/26) 2)/3) = 0,165 ,

т. е. произошли незначительные структурные изменения в национальном богатстве РФ.

3.3. Интегральный коэффициент Рябцева («критерий Рябцева»):

КРябцева = √( (∑ (d2 – d1) 2) / (∑( d2+ d1)2)) = √126/25062 = 0,071

Так как полученное значение данного критерия 0,071 ≤ 0,071 ≤ 0,150 , то, в соответствие со шкалой меры структурных различий, делаем вывод, что:

имеет место низкий уровень различий национального богатства РФ в 1990 и 2002 г. г.

Задача 4

Имеются следующие данные о валовом региональном продукте по Самарской области:

Годы	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Валовой региональный продукт, млрд. руб. ( до 1998 г.- трлн. Руб.)	45,0	59,5	73,2	73,5	117,2	155,7

Для характеристики динамики валового регионального продукта исчислите:

1. цепные и базисные абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное содержание 1% прироста; результаты расчетов представьте в таблице;

2. среднегодовой уровень ряда за период гг., среднегодовые темпы роста и прироста.

Сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ

Данные о валовом региональном продукте, об абсолютных приростах, о темпах роста, о темпах прироста и абсолютном содержании 1 % прироста по Самарской области.

Годы	Валовой региональный продукт, млрд. руб.	Абсолютный прирост, млрд. руб.	Темпы роста, %	Темпы прироста, %	Абсолютное содержание 1% прироста, млн. руб.
Цепной	Базисный	По годам	К 1995г.	По годам	К 1995г.
1995	45,0	-	-	-	-	-	-	-
1996	59,5	59,5-45,0=14,5	59,5-45,0=14,5	59,5/45,0*100= 132,2	59,5/45,0*100= 132,2	132,2-100= 32,2	132,2-100= 32,2	0,01*45,0*1000=450,0
1997	73,2	73,2-59,5=13,7	73,2-45,0=28,2	73,2/59,5*100 =123,0	73,2/45,0*100= 162,7	123,0-100= 23	162,7-100= 62,7	0,01*59,5*1000=595,0
1998	73,5	73,5-73,2=0,3	73,5-45,0=28,5	73,5/73,2*100= 100,4	73,5/45,0*100= 163,3	100,4-100= 0,4	163,3-100= 63,3	0,01*73,2*1000=732,0
1999	117,2	117,2-73,5=43,7	117,2-45,0=72,2	117,2/73,5*100= 159,5	117,2/45,0*100= 260,4	159,5-100= 59,5	260,4-100= 160,4	0,01*73,5*1000=735,0
2000	155,7	155,7-117,2=38,5	155,7-45,0=110,7	155,7/117,2*100= 132,8	155,7/45,0*100= 346,0	132,8-100= 32,8	346,0-100= 246,0	0,01*117,2*1000=1172,0

1.1. Абсолютный прирост в рядах динамики рассчитывается как разность сравниваемых уровней и характеризует абсолютную скорость изменения уровней ряда динамики в единицу времени.

Цепные показатели рассчитывают сопоставлением каждого уровня ряда yi с предшествующим уровнем yi-1 , т. е.

Δy = yi - yi-1

Базисные показатели динамики рассчитывают сопоставлением каждого уровня ряда yi с одним и тем же уровнем, принятым за постоянную базу сравнения – обычно с первым (начальным), т. е.

Δy = yi - y1

1.2. Темп роста в рядах динамики характеризует относительную величину уровня ряда по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения, т. е.

Для цепного темпа роста Ty = yi / yi-1

Для базисного темпа роста Ty = yi / y1

1.3. Темп прироста в рядах динамики характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени и рассчитывается отношением абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения, т. е.

Для цепного темпа прироста T Δy = (yi - yi-1)/ yi-1

Для базисного темпа прироста T Δy = (yi - yi-1)/ y1

Однако есть формула, связывающая темпы роста и темпы прироста, верная как для базисных показателей, так и для цепных:

T Δy = Ty - 1

Именно ей мы и воспользуемся для выполнения поставленной задачи.

1.4. Абсолютное содержание 1 % прироста характеризует вещественное содержание данного количества прироста и рассчитывается по формуле:

α = (yi - yi-1)/ T Δy = 0.01 * yi-1

2.1. Средний уровень ряда характеризует величину уровня, типичную для всего ряда динамики.

y = ∑ yi / n = (45+59,5+73,2+73,5+117,2+155,7)/6 = 87,4 млрд. руб.

Это значит, что в среднем за период с 1995 по 2000 г. г. среднегодовой региональный валовой продукт по Самарской области составлял 87,4 млрд. руб.

2.2. Средний абсолютный прирост характеризует среднюю скорость изменения уровня ряда в единицу времени и рассчитывается делением цепных абсолютных приростов на их число, т. е.

 

Δy = ( yn – y1 )/(n - 1) = (155,7- 45,0)/(6-1)=110,7/5 = 22,1 млрд. руб. ,

т. е. в период с 1995 по 2000 г. г. региональный валовой продукт по Самарской области

увеличивался в среднем за год на 22,1 млрд. руб.

2.3. Среднегодовой темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных темпов роста.

Ту = n-1√Т1*Т2*...*Тn = n-1√ (yn/y1) = 6-1√ y6/ y1= 5√155,7/ 45,0 = 5√3,46 = 1,2817

2.4. Среднегодовой темп прироста

Т∆у = Ту -100 = 128,17-100 = 28,2 %

Вывод: За период г. г. региональный валовой продукт Самарской области увеличивался в среднем по годам на 28,2 %.

Задача 5

На 1 ноября в списке работников предприятия числилось 270 человек.

С 6 ноября принято на работу еще 50 человек, с 16 ноября уволено 20 человек, а с 20 ноября принято 15 человек.

Определите среднюю списочную численность работников предприятия за ноябрь.

РЕШЕНИЕ

Численность работников

Дата	Численность, чел.
1 ноября	270
6 ноября	320
16 ноября	300
20 ноября	315

y = ∑ yiti / ∑ ti = (270*5 + 320*10 + 300*4 +315*11)/ 30 = 9215/ 30 = 307 чел.

Здесь yi – уровни ряда, сохранявшиеся неизменными в течение промежутков времени ti .

Ответ: Средняя численность работников предприятия составила 307 человек.

Задача 6

Имеются следующие данные о продаже продуктов на рынке города:

Продукты	Объем продаж, ед.	Цена единицы, руб.
Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
Молоко, л	625	950	8,5	9,2
Масло, кг	150	100	48,0	56,0

Определите:

1.  Индивидуальные и общий индексы цен;

2.  Индивидуальные и общий индексы физического объема продаж;

3.  Общий индекс товарооборота в фактических ценах;

4.  Экономию или перерасходы средств населения в результате изменения цен.

РЕШЕНИЕ

Индивидуальные индексы – относительные величины, характеризующие соотношение отдельных элементов сложного явления между собой.

1. Найдем индивидуальные индексы цен.

ip = p1/p0 ,

где p1 и p0 – цена единицы товара в отчетном и базисном периодах соответственно.

ipмолоко = 9,2/8,5 = 1,082 * 100 % = 108,2 % ,

т. е. цена одного литра молока выросла в отчетный период по сравнению с базисным на 8,2 %.

ipмасло = 56,0/48,0 = 1,167 * 100 % = 116,7 % ,

т. е. цена одного килограмма масла выросла в отчетный период по сравнению с базисным на 16,7 %.

2. Найдем индивидуальные индексы физического объема продаж.

iq = q1/q0 ,

где q1 и q0 – количество проданных товаров в отчетном и базисном периодах соответственно.

iqмолоко = 950/625 = 1,520 * 100 % = 152,0 % ,

т. е. количество проданного молока выросло в отчетный период по сравнению с базисным на 52,0 %.

iqмасло = 100/150 = 0,667 * 100 % = 66,7 % ,

т. е. количество проданного масла снизилось в отчетный период по сравнению с базисным на 33,3 %.

Общие индексы – относительные величины, характеризующие в целом соотношение уровней сложного явления между собой.

3. Найдем общий индекс цен.

Ip = ∑ p1q1 / ∑ p0q1 = (9,2*950+56,0*100)/(8,5*950+48,0*100) = 1,114*100% = 111,4%

т. е. в среднем по двум видам продуктов цены выросли в отчетном периоде по сравнению с базисным на 11,4 %.

4. Найдем общий индекс физического объема продаж.

Iq = ∑ q1p0 / ∑ q0p0 = (950*8,5+100*48,0)/(625*8,5+150*48,0) = 1,029*100% = 102,9%

т. е. в среднем по двум видам продуктов количество продаж выросло в отчетном периоде по сравнению с базисным на 2,9 %.

5. Найдем общий индекс товарооборота в фактических ценах.

Iqp =∑ q1p1 / ∑ q0p0 = (950*9,2+100*56,0)/(625*8,5+150*48,0) = 1,146*100% = 114,6%

т. е. товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным на 14,6 %.

Проверим полученные результаты по формуле:

Iqp = Iq * Ip = 1,029*1,114 = 1,146

Найденные значения совпадают, что говорит о правильности расчетов.

5. Найдем абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен.

ΔQp = ∑ p1q1 - ∑ p0q1 = (9,2*950+56,0*100)-(8,5*950+48,0*100)= 1465 руб.

т. е. перерасход средств населения в результате изменения цен составил 1465 руб.

Задача 7

Имеются следующие данные о товарообороте магазина:

Товарная группа	Продано товаров в фактических ценах, тыс. руб.	Индекс цен, ip
Базисный период, q0p1	Отчетный период, q1p1
Хлебобулочные изделия	184,0	190,0	1,2
Кондитерские изделия	98,0	100,0	0,97
Молокопродукты	68,0	72,0	1,0

Определите:

1.  Общий индекс товарооборота в фактических ценах;

2.  Общий индекс цен;

3.  Общий индекс физического объема товарооборота.

РЕШЕНИЕ

1. Найдем общий индекс товарооборота в фактических ценах.

Iqp = ∑ q1p1 / ∑ q0p0 = ∑ q1p1 / ( ∑ q0p1 / ip ) ,

т. к. ip = p1/p0 , следовательно, p0 = p1 / ip

Iqp = (190,0+100,0+72,0)/(184,0/1,2+98,0/,97+68,0/1,0) = 1,123 * 100% = 112,3 %,

т. е. товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12,3 %.

2. Найдем общий индекс цен.

Ip = ∑ p1q1 / ∑ p0q1 = ∑ q1p1 / ( ∑ q1p1 / ip ) ,

т. к. ip = p1/p0 , следовательно, p0 = p1 / ip

Ip = (190,0+100,0+72,0)/(190,0/1,2+100,0/,97+72,0/1,0) = 1,086 * 100% = 108,6 %,

т. е. в среднем по трем товарным группам цены выросли в отчетном периоде по сравнению с базисным на 8,6 %.

3. Найдем общий индекс физического объема товарооборота.

Iq = ∑ q1p0 / ∑ q0p0 = ( ∑ q1p1 / ip ) / ( ∑ q0p1 / ip ) ,

т. к. ip = p1/p0 , следовательно, p0 = p1 / ip

Iq = (190,0/1,2+100,0/0,97+72,0/1,0)/( 184,0/1,2+98,0/,97+68,0/1,0) = 1,034 * 100% = 103,4 %,

т. е. в среднем по трем товарным группам количество продаж выросло в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3,4 %.

Проверим полученные результаты по формуле:

Iqp = Iq * Ip = 1,034*1,086 = 1,123

Найденные значения совпадают, что говорит о правильности расчетов.

Задача 8

Имеются следующие данные о динамике продукции сельского хозяйства Российской Федерации:

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Продукция сельского хозяйства, % к предыдущему году	101,5	86,8	104,1	107,7	107,5	101,7

Определите, как изменилась продукция сельского хозяйства в 2002 г. по сравнению с 1996 г.

РЕШЕНИЕ

В условии задачи даны цепные показатели. Значит, используя взаимосвязь между цепными и базисными индексами с постоянными весами (произведение цепных индексов равно соответствующему базисному), мы можем вычислить, как изменилась продукция сельского хозяйства в 2002 г. по сравнению с 1996 г.

Iq 2002/1996 = Iq1997 * Iq1998 * Iq1999 * Iq2000 * Iq2001 * Iq2002 =

= 1,015*0,868*1,041*1,077*1,075*1,017 = 1,080 или 108,0 %

Это означает, что в 2002 году по сравнению с 1996 годом производство продукции сельского хозяйства в РФ возросло на 8,0 %.