Переход к уравнению Дирака

10. Переход к уравнению Дирака.

Запишем снова лагранжиан для полей с половинным спином (напомню, что обозначения полей претерпели некоторое изменение – e2 стало e4 и наоборот):

Запишем его в такой форме

По всем повторяющимся индексам (и греческим и латинским) – суммирование, причем латинские индексы изменяются от 0 до 3 и соответствуют перебору времени как нулевой координаты и далее пространственных координат. Греческие же индексы изменяются от 1 до 4 и соответствуют перебору координат в пространстве, где базисными ортами служат функции Ea .

Обоснуем эту формулу в тензорном стиле для ее линейной части, то-есть для первых двух слагаемых (последнее слагаемое более просто, и вопросов на мой взгляд не вызывает).

При переходе к последнему выражению для llin мы использовали перестановочные соотношения для матриц l:

Преобразуем дальше:

А это уже совпадает с линейной частью исходного лагранжиана. Обоснование закончено.

Вернемся к полному лагранжиану (с нелинейной добавкой). Преобразуем его (домножая на константу и переобозначая громоздкие коэффициенты):

Теперь произведем его «расщепление» (наша задача здесь – попробовать перейти к геометрической оптике):

Пусть

Тогда производные от этих функций можно представить так:

Подставим их в лагранжиан:

Далее оставим члены, пропорциональные w2 :

Будем считать, что независимыми переменными этого лагранжиана являются 4 величины Ia и одна величина y (вспомним значительно более простой случай в разделе «Одномерная геометрическая оптика – подход через функцию Лагранжа»). Если мы запишем уравнение Лагранжа для любой из величин Ia, оно будет иметь такую структуру: произведение двух множителей равно нулю. Один из множителей – это комбинация величин Ia, другой – квадратная скобка в вышеприведенном выражении. Для равенства нулю произведения квадратную скобку нужно приравнять нулю.

Это выражение представляет собой равенство матриц 4x4 (индексы b, c нумеруют элементы этих матриц). То-есть 16 величин приравниваются друг другу. Это есть аналог уравнения эйконала для данной задачи.

Поставим цель – перейти от нашего начального уравнения для полей с половинным спином (которое соответствует лагранжиану, приведенному в начале этого раздела) к «нормализованной системе» способом, похожим на тот, что был использован в уже упомянутом разделе «Одномерная геометрическая оптика – подход через функцию Лагранжа». Величину считаем много меньшей единицы (то-есть любую из шестнадцати ее составляющих). Нам нужно взять квадратный корень из левой и правой частей нашего уравнения эйконала (напомню, что они представляют собой матрицы). Запишем его так:

Не будем писать греческие индексы. Уравнение эйконала тогда приобретет следующий, матричный вид (далее будем использовать знак точного равенства, помня, что на самом деле это лишь приближение):

Это уравнение эйконала в матричном виде. E – единичная матрица. Двунаправленные стрелки означают в данном случае вектор в четырехмерном пространстве-времени.

Домножим обе части на a0 .

Вектор A таким образом удобно представить в виде вектора-оператора, домножая его пространственные компоненты на матрицу a0 . Перенесем слагаемое с полем в левую часть:

Далее произведем квантование первого рода в таком виде:

Кроме такой замены обе части справа домножаем на матрицу-столбец из четырех функций ya (это уже не фаза в показателе экспоненты, а аналоги волновых функций). Сперва проведем эту процедуру для нулевого поля A.

При соответствующем подборе значений коэффициента w это уравнение совпадает с уравнением Дирака. Напоминаю, что E – это единичная матрица 4x4.

Можно провести такую же процедуру квантования и для отрицательного значения квадратного корня правой части уравнения эйконала. Получатся уравнения для сопряженных функций.

Теперь перейдем к случаю наличия поля A. Вспомним, что величина мала. Результат квантования первого рода таков:

Результат близок к уравнению Дирака в случае наличия электромагнитного поля (по своей структуре, с точностью до обозначений коэффициентов). Мешают матрицы a0, умноженные на пространственные компоненты вектора A.

Еще раз опишу последовательность действий, которую мы только что произвели. На «входе» у нас была система дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (точнее лагранжиан, из которого она получается). Нашей целью было перейти к системе уравнений первого порядка ( а также к системе сопряженных уравнений). В пределе коротких волн и малости переменных коэффициентов решение системы первого порядка в сумме с решением сопряженной системы должно примерно равняться решению начальной системы. Такую систему с уравнениями первого порядка (и сопряженными к ним ) мы назвали ранее «нормализованной системой» для начального уравнения (в данном случае для начальной системы уравнений второго порядка).

Сперва мы ищем приближение геометрической оптики для нашей начальной системы и находим уравнение эйконала. Потом берем квадратный корень из обеих частей уравнения эйконала. И потом делаем процедуру квантования первого рода. Получается система уравнений первого порядка для одного знака квадратного корня и аналогичная система для сопряженных функций (система сопряженных уравнений) при другом знаке корня.

Сперва я хотел перейти непосредственно к лагранжиану уравнения Дирака (который похож на функцию Лагранжа укороченного уравнения из раздела «Лагранжиан и метод усреднения»). Примерный путь описан в разделе «Лагранжиан для нормальных колебаний осциллятора». Но потом я решил ограничиться вышеописанным методом.