Изоморфизмы, сопряжённое пространство

3. Изоморфизмы, сопряжённое пространство

Def. Пусть даны два линейных пространства и над одним полем , тогда биективное отображение (если оно существует) называется изоморфизмом, если выполнены следующие условия:

1. ,

2. , т. е. если оно линейно.

Def. Два линейных пространства и называются изоморфными (), если между ними существует изоморфизм.

Лемма. Если изоморфизм, то обратная функция также будет изоморфизмом.

Доказательство. 1. ,

следовательно , т. к. - биекция.

2: второй пункт доказывается аналогично. #

Лемма. Если , то изоморфно пространству столбцов (строк) из элементов.

Доказательство. Пусть - базис в , тогда построим функцию следующим образом: если , то . Эта функция будет изоморфизмом, а следовательно пространству столбцовпространству строк. #

Следствие. Если , то .

Доказательство. Пусть , тогда . #

Лемма. Если , то .

Доказательство от противного.

Допустим, что , пусть - базис в , тогда должны быть линейно независимыми, что невозможно, т. к. . #

СОПРЯЖЁННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Определение. Пусть дано линейное пространство над полем , тогда линейное пространство , где - множество всех линейных форм , над полем с операциями :

1. ,

2. ,

называется сопряжённым (двойственным) пространством к .

Лемма об изоморфизме сопряжённых пространств: .

Доказательство. Пусть - это базис в , тогда докажем, что будет базисом в , если - символ Кронекера, т. е. , если и в противном случае.

Т. к. , то значение функции от произвольного вектора полностью определяется по значениям функции на базисных векторах и по координатам этого вектора, т. е. функции полностью заданы нашими условиями. Нам нужно доказать два пункта:

1)  линейная независимость векторов .

Если , то , т. е. все .

Следовательно, эти вектора линейно независимы.

2)  полнота, т. е. что .

Возьмем произвольную функцию , тогда, если , то . Возьмем , тогда получим, что:

,

что и требовалось доказать. #

Замечание. Таким образом , однако, выбор изоморфизма зависит от выбора базиса в пространстве . Действительно, пусть , тогда базисом является любое ненулевое число , выберем также еще один базис . Пусть базис - двойственный к , т. е. , а - двойственный базис к , т. к. , то .

Пусть изоморфизм задан следующим образом: , перейдем к базису , тогда и изоморфизм будет задаваться следующим образом: . Т. е. разные выборы базиса в пространстве дают разные изоморфизмы!