Рабочая программа

УТВЕРЖДЕНО Ученым советом факультета математики и информационных технологий Протокол №________ от «____»_________2008 г. Председатель __________________ (подпись, расшифровка подписи)

Рабочая программа

Дисциплина:	ОПД. Ф.09 Топология
Кафедра:	Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____ (аббревиатура)

Специальность (направление): 010101 Математика

(код специальности (направления), полное наименование)

Дата введения в учебный процесс УлГУ: «_____» ___________ 2008 г.

Сведения о разработчиках:

ФИО	Аббревиатура кафедры	Ученая степень, звание
	АГВ	к. ф.−м. н., доцент

	Заведующий кафедрой
	/_____________/ (ФИО) (Подпись) «______»__________ 2008 г.

Оглавление

Оглавление. 2

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. 2

1.1. Цели. 2

1.2. Задачи. 2

2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.. 3

3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: 3

3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: 4

4. СОДЕРЖАНИЕ. 4

5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.. 5

6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ.. 5

7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ. 6

7.1. Рекомендуемая литература: 6

1.  ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.

Учебная дисциплина «Топология» является одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами начальных курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является важной математической дисциплиной. Её цель − научить студента решать задачи по теории множеств, геометрии и анализу.

Дисциплина «Топология» базируется на знаниях и умениях в области математического анализа и геометрии, полученных студентами на предыдущих курсах.

1.1.  Цели

Целями учебной дисциплины являются:

1.  овладение знаниями по теории множеств, анализу и геометрии, необходимыми для изучения других дисциплин специальности

2.  развитие навыков решения задач по алгебре и геометрии

1.2.  Задачи

Основными задачами учебной дисциплины являются:

·  формирование у будущих математиков всесторонних знаний об основных топологических структурах и основах дифференциальной геометрии.

·  приобретение студентами навыков и умений по решению аналитических и геометрических задач.

2.  ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате изучения дисциплины «Топология» в 4−м семестре студенты должны

знать:

·  Однородные координаты в проективном пространстве

·  Описание проективных преобразований

·  Способы задания аффинных карт проективных пространств

·  Квадрики проективного пространства

уметь:

·  Выполнять проектирование с плоскости на плоскость

·  Строить проективное пополнение алгебраических множеств

·  Вычислять и пользоваться двойным отношением

·  Классифицировать квадрики проективного пространства

3.1.  Объем дисциплины и виды учебной работы:

Вид учебной работы	Количество часов (форма обучения очная__)
Всего по плану	В т. ч. по семестрам
4
1	2	3
Аудиторные занятия:	34	34
Лекции	17	17
практические и семинарские занятия	17	17
Самостоятельная работа	20	20
Всего часов по дисциплине	54	54
Текущий контроль (количество и вид, контрольные работы)	1	1
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации (экзамен, зачет)	зачет	зачет

3.2.  Распределение часов по темам и видам учебной работы:

Форма обучения ___очная____

Название и разделов и тем	Всего	Виды учебных занятий
Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
лекции	практические занятия, семинар
1	2	3	4	5
1. Элементы общей топологии	13	5	5	3
2. Гладкие многообразия	11	4	4	3
3. Тензорное исчисление	11	4	4	3
4. Дифференциальные формы и интегрирование	13	5	5	3
Итого	48	18	18	12

4.  СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1: Элементы общей топологии

Топологическое пространство. Аксиомы отделимости. Свойства метрических пространств. Непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность.

Тема 2: Гладкие многообразия

Гладкое многообразие, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство. Многообразия с краем.

Расслоения. Касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Риманова метрика. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия. Степень отображения и гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу.

Тема 3: Тензорное исчисление

Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии. Операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа. Кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра. Поведение тензоров при отображениях многообразий, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой. Тензор кривизны и его симметрии, тензор кривизны, порожденный метрикой. Тензоры кривизны двух и трехмерных многообразий.

Тема 4: Дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях

Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса и примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского−Гаусса. Степень отображения и интеграл. Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса−Бонне. Индекс особой точки векторного поля. Теорема Пуанкаре−Бендиксона.

5.  ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Построение гомеоморфизмов, диффеоморфизмов, ретракций, гомотопий. Задание координатных карт на многообразиях. Операции с тензорами и дифференциальными формами. Интегрирование на многообразиях. Нахождение особых точек векторных полей. Нахождение степеней отображений.

6.  ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

Требование к зачету

Необходимо знать следующее:

Строить примеры топологических пространств и их отображений. Задавать координаты на многообразиях. Операции с тензорами. Находить кривизну римановых многообразий. Интегрировать на многообразиях.

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

1.  Топологическое пространство. Аксиомы отделимости.

2.  Свойства метрических пространств.

3.  Непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность.

4.  Гладкое многообразие, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство. Многообразия с краем.

5.  Расслоения.

6.  Касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.

7.  Риманова метрика. Элементы топологии многообразий.

8.  Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия.

9.  Степень отображения и гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу.

10.  Тензорный анализ на многообразиях

11.  Тензоры на римановом многообразии. Операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа.

12.  Кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра.

13.  Поведение тензоров при отображениях многообразий, дифференциал отображения, отображение касательных пространств.

14.  Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой.

15.  Тензор кривизны и его симметрии, тензор кривизны, порожденный метрикой.

16.  Тензоры кривизны двух и трехмерных многообразий.

17.  Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.

18.  Общая формула Стокса и примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского−Гаусса.

19.  Степень отображения и интеграл.

20.  Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса−Бонне.

21.  Индекс особой точки векторного поля. Теорема Пуанкаре−Бендиксона.

7.  УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

7.1.  Рекомендуемая литература:

·  «Математические методы классической механики»,− М.: Наука, 1989.

·  , , «Современная геометрия. Ч. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей»,− М.: Наука, 1986.

·  Келли Дж. «Общая топология»,− М.: Наука, 1981.

·  , «Начальный курс топологии. Геометрические главы»,− М.: Наука, 1977.

·  «Наглядная геометрия и топология»,− М.: Издательство Московского университета, 1992.

·  «Общая топология»,− М.: Мир, 1986.

.