Нелинейное уравнение

9. Нелинейное уравнение.

Составим суммарный лагранжиан из лагранжианов, полученных в конце раздела «Процедура расщепления лагранжиана для группы SO(3)».

Теперь добавим туда нелинейное слагаемое (считая амплитуды в нем чисто действительными). Лучше даже для единообразного представления всех членов, зависящих лишь от полей, добавить это слагаемое, домноженное на (-1).

Дополнительное пространство SO(3), которое мы присоединяли к четырехмерному пространству-времени, можно назвать пространством внутренних степеней свободы. Движение в этом пространстве – это по своей сути вращение. Момент этого вращения является единицей (1) для полей (мод) U, W и одной второй (1/2) для E (вспомним их зависимость от углов a, b). Об этом вращении будем говорить как о спине. Амплитуды e будем называть полем половинного спина, а амплитуды u, w – полем единичного спина.

Запишем уравнения для полей половинного спина (соответствующие выписанному выше лагранжиану).

Теперь – для полей единичного спина:

Вернемся к лагранжиану. Запишем нелинейную добавочную часть в таком виде

Обратим более подробное внимание на эту матрицу. Поменяем местами 2-ю и 4-ю строки.

А теперь – 2-й и 4-й столбец.

Вспомним матрицы Дирака:

Отсюда видно, что если

то можно записать

В данных формулах двунаправленная стрелка над значком обозначает вектор в четырехмерном пространстве-времени, а повторяющиеся латинские индексы подразумевают суммирование по ним (латинские индексы изменяются от 0 до 3) .

Результат такого своеобразного скалярного произведения представляет собой матрицу 4x4. Но действует эта матрица не на векторы четырехмерного пространства-времени, а на векторы пространства, ортами которого служат функции Ea, то-есть на функции e(r, t).

Введем теперь такие матрицы:

Можно проверить, что так же как матрицы Дирака, эти матрицы удовлетворяют следующим соотношениям (в которые входит антикоммутатор):

Но, в отличие от матриц Дирака, если

Если использовать эти матрицы, то нашу матрицу взаимодействия при выполнении условий

можно представить в виде (с учетом условий на амплитуды):

Перемещения столбцов и строк матрицы M, которые мы произвели, соответствуют переименованию e2 в e4 и наоборот.

Выпишем переименованные таким образом уравнения для полей с половинным спином

А теперь – для полей единичного спина:

А нелинейная часть лагранжиана с учетом этих переобозначений:

С учетом введения векторов A и B:

или

Линейная же часть лагранжиана (то-есть которая дает линейное уравнение) при подобном переименовании e2 в у4 (и наоборот) не изменится.