Квадратичная функция и параметры

Занятие 9

«Квадратичная функция и параметры»

Цели:

·  Обобщить и систематизировать материал по данной теме.

·  Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий более высокого уровня.

·  Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать положительный мотив учения.

Задачи :

- Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения

- Научить применять полученные теоремы для решения задач с параметрами.

- Развивать творческую сторону мышления. Учить осуществлять исследовательскую деятельность;

- Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения

Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.

Организационные формы общения. Работа в группах, индивидуальная.

Форма проведения:

Индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

Структура:

I.  Подготовительный этап ( мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

II.  Актуализация ЗУН

III.  Постановка проблемы, ее осмысление

IV.  Изучение нового материала (исследовательская работа),

V.  Осмысление и первичное закрепление.

VI.  Текущий контроль и проверка его результатов.

VII.  Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1.  Подготовительный этап

Сообщается тема урока

Сейчас мы вспомним свойства и график квадратичной функции, используя эти знания, мы посвятим наш урок уравнениям с параметром, и усилим проблему различными условиями для корней.

2.  Актуализация ЗУН.

-  Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратичной функции.

.

-  Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

Ø  если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,

Ø  если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,

Ø  если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),

Ø  если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

Ø  если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,

Ø  если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

Ø  абсцисса вершины параболы равна .

3.Постановка проблемы: перед вами задания на урок, Прочтите условия и ответьте на вопрос: что общего во всех заданиях и что их различает?

Все уравнения квадратные, с параметром, и во всех есть условие расположения корней, а различает их местоположение заданной точки. Каковы же случаи расположения корней?

a)  Заданное число левее корней;

b)  Заданное число между корнями

c)  Заданное число правее корней

Перед вами инструкция проведения исследовательской работы, работая в четверках должны получить результат.

4.Исследовательская работа

-  Сейчас каждая из трех групп получила задание на решение проблемы о взаимном расположении точки, лежащей на оси ОХ, нулей функции и коэффициентов квадратного трёхчлена. Используя инструкция проведения исследовательской работы для своей группы, попробуйте найти связь между этими тремя объектами, сформулируйте получившейся вывод. Является ли это условие необходимым и достаточным?

5.Отчет об исследовательской работе

-  Представители каждой группы выходят к доске, демонстрируют график своей проблемы, записывают свою систему неравенств и формулируют вывод, объясняя, как они пришли к такому решению, учащиеся записывают результат в тетрадь.

Примерно так выглядит чертеж для ответа 1 группы

Результат отчета ребята заносят в тетрадь

Вывод: Оба корня квадратного уравнения больше заданного числа М тогда и только тогда, когда имеет место система

Вывод: Оба корня квадратного уравнения меньше заданного числа М тогда и только тогда, когда имеет место система

Вывод: Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения тогда и только тогда, когда имеет место неравенство Af(M)<0

6.Закрепление материала

Используя, полученные знания, решить уравнения с условиями:

1.  При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½. (решение, показанное через проектор комментирует учитель )

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x2-3ax+2a.

aÎ(;2) Ответ.. (;2).

2.  Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения

x2- 6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3. (Ученик у доски)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2-6ax+(2-2a+9a2)

aÎ

Ответ. aÎ .

3.  При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2? (Ученики решают самостоятельно, один из них работает у доски по карточке, а затем решения сравниваются.)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= х2 + (а + 1)х + 3.

f(2)<0;

f(2)=4+2a+2+3=2a+9<0

2a<-9

a<–4.5

Ответ. aÎ(–¥;–4.5)

4.Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения

x2+4ax+(1-2a+4a2)=0 меньше –1. (Самостоятельно, с последующей проверкой, учитель оказывает помощь на месте по требованию)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2+4ax+(1-2a+4a2).

aÎ

Ответ. aÎ .

Домашнее задание:

1.  Найти все значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения

x2-6kx+(2-2k+9k2)=0 меньше 3.

2.  Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения

(1+a)x2–3ax+4a=0 больше1.

3.  Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения x2+ax–1=0.