Типовой пример к задаче 2 (часть 2)

Найти интервалы возрастания и убывания функции . Найти точки минимума и максимума этой функции (провести исследование с использованием свойств производной):

1. Вычисляем производную

2. Приравниваем производную нулю (т. е. находим нули производной)

- это квадратное уравнение

- дискриминант

(Если у вас см замечание ниже)

- формула для поиска корней

3. Наносим полученные корни на числовую ось:

Получается 3 интервала

, ,

Между нулями производная сохраняет постоянный знак (это св-во производной) : определим его для каждого интервала (для этого можно подставить в производную любую промежуточную точку из интервала): для первого интервала промежуточную точку берём x= -3, для второго - x = 0, для третьего – x = 3. Обычно в качестве промежуточных точек берут целые числа, чтобы удобнее было считать.

4. Определим знак производной на каждом из трёх интервалов и найдем промежутки возрастания и убывания:

>0 – на промежутке функция возрастает

<0– на промежутке функция убывает

>0 – на промежутке функция возрастает

5. Найдём точки минимума и максимума

В точке -2,29 производная меняет знак с «+» на «-», т. е. возрастание сменяется на убывание и -2,29 – точка максимума

В точке 0,29 производная меняет знак с «-» на «+», т. е. убывание сменяется на возрастание и 0,29 – точка минимума

Если в точке производная знак не меняет, то эта точка не является точкой минимума и максимума.

Замечание:

Если D<0 и a>0 (а – коэффициент при - в найденной вами производной) , то для любого x и в этом случае исходная функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке и точек минимума и максимума у неё нет.

Если D<0 и a<0 (а – коэффициент при - в найденной вами производной) , то для любого x и в этом случае исходная функция убывает на всей области определения, то есть на промежутке и точек минимума и максимума у неё нет.

Если D=0, то корень один , интервала два и , и надо определять знаки производной на этих интервалах, а также сделать вывод о том, какой точкой является точка x.

Если знак производной меняется с «-» на «+», то на промежутке - убывание, на промежутке - возрастание, x – точка минимума.

Если знак производной меняется с «+» на «-», то на промежутке - возрастание, на промежутке - убывание, x – точка максимума.