Числовые ряды

Семинар 2. Числовые ряды.

Признак	Условие	Сходимость	Расходимость	Прим.
Необходимый признак сходимости		Из ра­вен­ства 0 пре­де­ла не сле­­дует сходимость!
Признак сравнения 1.	,	Если сходится, то сходится.	Если расходится, то расходится
Признак сравнения 2 (предельный).	,	и сходятся или расходятся одновременно.
Признак Даламбера	()	Если q<1, ряд сходится	При q>1 ряд расходится.	q=1 доп. иссл.
Признак Коши	()	Если q<1, ряд сходится	При q>1 ряд расходится.	q=1 доп. иссл.
Интегральный признак Коши.	, а положит., монотонно убывает и непрерывна при ,	Если сходится, то ряд сходится	Если расходится, то ряд расходится

№ 000
Ответ: Ряд расходится по интегральному признаку.

№ 000

Ответ: Ряд сходится по признаку Даламбера.

Знакопеременные ряды

Рассмотрим знакопеременный ряд . Если сходится ряд из абсолютных величин , то ряд также сходится и называется абсолютно сходящимся.

Если ряд из абсолютных величин расходится, то сходимость исходного ряда нужно исследовать дополнительно.

Замечание 1. Для исследования на абсолютную сходимость нужно использовать для ряда из абсолютных величин известные признаки сходимости знако­поло­жи­тельных рядов.

Замечание 2. Если или , расходится не только ряд , но и ряд .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к полученному знакопостоянному ряду признак Коши (радикальный).

Имеем . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда).

Если для знакочередующегося ряда , выполнены условия
1) ;
2) ;
то ряд сходится.

Для остатка ряда имеет место оценка

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ряд имеет вид .

а) Рассмотрим ряд из абсолютных величин. Попробуем применить к нему признак Даламбера. Получим . Исследование не дало результата.

Применим предельный признак сравнения с натуральным рядом.

. Натуральный ряд расходится. Следовательно, ряд из абсолютных величин расходится по предельному признаку сравнения.

Таким образом, исходный ряд абсолютно расходится.

Ряд — знакочередующийся, поэтому попробуем применить признак Лейбница. Имеем и .
Следовательно, ряд сходится условно по признаку Лейбница.

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Ответ: ряд сходится абсолютно по интегральному признаку Коши (как ряд Дирихле с p=2>1).

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Ответ: ряд абсолютно расходится по предельному признаку сравнения (с натуральным рядом). Ряд сходится условно по признаку Лейбница.

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Ответ: ряд сходится абсолютно по признаку Коши (радикальному).

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Ответ. Ряд из абсолютных величин расходится по признаку Даламбера. Поскольку , то исходный ряд расходится.

№ 000 Исследовать сходимость ряда .

Ответ. Ряд сходится абсолютно. Для доказательства можно применить предельный признак сравнения с рядом . Последний ряд сходится по признаку Даламбера.

Домашнее задание.

Исследовать сходимость рядов

№ 000 .

№ 000 .

№ 000 .

№ 000 .

№ 1.14 б) (учебник «Ряды»)

Установите сходимость ряда .

Вычислите его сумму с точностью до 0.01.