Вариант №2

Вариант №2.

2.1. Ток 139 мА измеряется цифровым вольтметром с трехразрядным цифровым индикатором и амперметром с классом точности 0,5 и пределом шкалы 150 мА. Каким прибором ток будет измерен точнее?

Цифровой вольтметр с трехразрядным индикатором, по меньшей мере, дает ошибку в последнем его разряде плюс минус цифра, что для 139 составит 138...140, т. е. 139 ± 0,7%.

Относительная погрешность измерения стрелочным амперметром:

; класс точности: , отсюда . Тогда ; измеренное значение 139 ± 0,54%.

Вывод: точнее ток будет измерен стрелочным прибором.

2.2. Какие из простых дробей со знаменателем от 1 до 40, записанные в десятичной форме, могут использоваться в качестве значений класса точности?

,

п = 1, 0, -1, -2... Переберем варианты правильных и не сокращаемых дробей (очевидно, что формально и неправильные дроби типа 40/20 могут выражать значение класса точности)

1/1 = 1,0; 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2; 2/5 = 0,4; 3/5 = 0,6; 1/10 = 0,1;

1/20 = 0,05; 1/25 = 0,04; 1/40 = 0,025.

2.3. Сопротивление участка цепи 2 кОм. Каким должно быть мини­мальное сопротивление вольтметра, чтобы относительная погрешность изме­рения за счет влияния прибора на ток в цепи не превысила 0,1%?

Систематическая относительная погрешность из-за влияния внутреннего сопротивления вольтметра запишется через абсолютную как

(ставим знак минус, поскольку напряжение уменьшается)

Отсюда легко получить соотношение, связывающее измеренную величину и истинное значение напряжения:

.

Измеренная величина уменьшается вследствие параллельного подсоединения к сопротивлению участка цепи внутреннего сопротивления вольтметра:

.

Сопоставляя два уравнения, запишем:

;

Ответ: минимальное внутреннее сопротивление вольтметра 2 МОм.

2.4. Сопротивление измерительной головки вольтметра R=160 Ом, ток 2,5 мА вызывает отклонение стрелки до предельного значения. Рассчитайте сопротивления добавочных резисторов для создания на основе данной голов­ки многопредельного вольтметра с пределами: 200 мВ, 500 мВ, 1 В, 2 В, 5 В, 10 В и сопротивления шунтов для создания миллиамперметра с пределами шкалы 50 мА, 100 мА, 250 мА и 500 мА. Как при этом будет изменяться по­грешность измерений за счет влияния прибора на ток и напряжение на на­грузке с сопротивлением Rн = 500 Ом?

Сопротивление добавочного резистора

. Соответственно запишем

200 мВ: . Получили отрицательное значение, поскольку измерительная головка отклоняется на предельное значение в 400 мВ без добавочных резисторов, вывод: предел 200 мВ невозможен (если только не зашунтировать ее резистором того же сопротивления, что и ее внутреннее).

500 мВ: Ом.

1 В: Ом.

2 В: Ом.

5 В: Ом.

10 В: Ом.

Сопротивление шунта

. Для пределов:

50 мА: Ом.

100 мА: Ом.

250 мА: Ом.

500 мА: Ом.

Пользуясь формулами предыдущей задачи, запишем:

; .

Запишем для всех пределов по напряжению (формально и для первого):

200 мВ: .

500 мВ: .

1 В: .

2 В: .

5 В: .

10 В: .

Для измерения тока

; .

50 мА: .

100 мА: .

250 мА: .

500 мА: .

2.5. При измерении сопротивления методом амперметра-вольтметра для того, чтобы ток через сопротивление составлял I0=0,1 А, необходимо приложить напряжение U0=34,5 В. В качестве измерительных приборов ис­пользуются амперметр с классом точности КА=0,5 и пределами шкалы Imax(A)=0,l; 0,3; 1, и вольтметр с классом точности Ку=1,5 и пределами шкалы Umax(B)=50; 200; 500. Определите относительные и абсолютные погрешности измерения сопротивления на всех пределах измерения тока и напряжения. Выберите оптимальные с точки зрения точности измерений режим (U0, I0) и пределы измерений Umax, Imax.

При измерении сопротивления данным методом мы имеем дело с отношением совместно измеряемых величин:

. Поэтому погрешности

;

.

Нам придется вычислить их для 9 случаев, перебрав все сочетания пределов тока и напряжения.

Ток 0,1 А; напряжение 50 В:

; ;

; .

Ток 0,1 А; напряжение 200 В:

; ;

; .

Ток 0,1 А; напряжение 500 В:

; ;

; .

Ток 0,3 А; напряжение 50 В:

; ;

; .

Ток 0,3 А; напряжение 200 В:

; ;

; .

Ток 0,3 А; напряжение 500 В:

; ;

; .

Ток 1 А; напряжение 50 В:

; ;

; .

Ток 1 А; напряжение 200 В:

; ;

; .

Ток 1 А; напряжение 500 В:

; ;

; .

Разумеется, самым оптимальным по точности является самое первое сочетание пределов измерений: ток 0,1 А, напряжение 50 В. Тогда измеряемая величина запишется как

R = (345 ± 7,68) Ом = 345 Ом ± 2,22%.

2.6. Напряжение на входе электронного устройства U0 измеряется как разность напряжения на выходе источника, определяемого по показаниям встроенного вольтметра с классом точности K1 = 1,5 и Uпр1 = 15 В, и напря­жения на потенциометре, подключенном к источнику последовательно с электронным устройством. Напряжение на потенциометре U2 измеряется вольтметром с пределом шкалы Uпр2 = 30 В и классом точности K2 = 1. Обес­печивает ли данный вольтметр требование, чтобы относительная погреш­ность косвенных измерений δ не превышала 5%, если напряжение источника U1 задается равным 12 В, а регулировкой потенциометра меняют соотноше­ние U2/U1 в пределах от от ¼ до ½?

Поскольку мы измеряем разность напряжений совместно, общая относительная погрешность будет равна

.

.

.

Рассмотрим крайние точки пределов регулировки. В первом случае , во втором - . Погрешности, соответственно:

; .

Мы видим, что требование условия не выполняется (точнее, выполняется не во всем диапазоне регулировки).

2.7. Постоянный ток измерялся при помощи вольтметра с классом точности К=0,5 и пределом шкалы Uпр = 5 В и магазина сопротивлений, который обладает относительной погрешностью 0,1%. При установленном сопротивлении магазина R = 500 Ом падение напряжении, измеренного в разные мо­менты времени, составило: Uм(B)= 2,25; 2,29; 2,21; 2,22; 2,19; 2,17. Рассчи­тайте среднее значение тока, относительную погрешность измерения тока и напряжения.

Наиболее достоверное значение падения напряжения составило

.

Среднеквадратическое отклонение

.

Для вольтметра . Тогда относительная погрешность измерения падения напряжения в среднем может быть записана как

.

Среднее значение тока

.

Относительная погрешность измерения тока рассчитывается с учетом вкладов погрешностей вольтметра и магазина:

.

2.8. По данным задачи 2.7 рассчитайте среднее значение электрической мощности, выделяющейся на магазине сопротивлений. Определите относительную и абсолютную погрешности измерения мощности.

Средняя мощность

.

Поскольку измеряемой величиной здесь является только напряжение, следует применять расчет именно по этой формуле. Относительная погрешность для такого расчета может быть записана как погрешность совместного измерения двух (одинаковых) величин, от которых берется произведение, при этом следует учитывать также погрешность магазина сопротивлений. Поэтому

.

Абсолютная величина погрешности

2.9. Показания ваттметра при измерении мощности в нагрузке, под­ключенной к выходу источника ЭДС, составили: P1=0,32±0,02 Вт при Rн1=50+0,5 Ом; P2=0,36±0,02 Вт при Rн2=100±0,5 Ом. Чему равны внутрен­нее сопротивление источника ЭДС К и напряжение холостого хода Uхх?

Для источника ЭДС с внутренним сопротивлением и подключенным внешним сопротивлением справедливы соотношения

; ; .

Поскольку мы измеряем мощность, воспользуемся последним уравнением. Мы имеем две неизвестных и два значения измеренной мощности. Остается решить систему:

;

.

;

;

оставляем положительный корень:

.

.

Поскольку по условию величины измерены с приведением погрешностей, рассчитаем погрешности и для искомых величин. Переводя абсолютные погрешности в относительные, получаем:

Поскольку мы решали систему квадратных уравнений, да еще и с использованием результатов несовместных наблюдений, получив при этом две зависимые величины, точная формула для вычисления погрешности расчетов будет весьма проблематичной для вывода. Мы можем оценить максимальную относительную погрешность результата, приняв для обоих значений

.

Таким образом,

;

.

2.10. Измерения напряжения десяти элементов питания из одной партии дали следующие результаты: U(B)=9,2; 9,3; 9,1; 9,0; 9,4; 9,0; 8,9; 9,5; 9,1; 8,9. Рассчитайте среднее значение напряжения, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, среднеквадратическую погрешность среднего арифмети­ческого. Считая, что напряжения элементов питания в одной партии распре­делены по нормальному закону, определите доверительный интервал, в кото­рый попадают напряжения элементов питания с вероятностью 0,8.

Среднее значение напряжения (наиболее достоверное значение)

.

Отклонение каждого результата:

; соответственно (В): 0,06; 0,16; -0,04; -0,14; 0,26; -0,14; -0,24; 0,36; -0,04; -0,14.

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

.

Среднеквадратическая погрешность среднего арифметического

.

По таблицам распределения Стьюдента находим

;

доверительный интервал

.

Таким образом, напряжения элементов питания с вероятностью 0,8 находятся в пределах

.

2.11. При измерении мощности постоянного тока в двух сериях измерений получены результаты

Р1 (В)=1,40; 1,44; 1,48; 1,52; 1,56; 1,60.

Р2 (В)=1,40; 1,45; 1,45,1,50; 1,50; 1,55; 1,55; 1,60.

Результат какой серии измерений более достоверен?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти для каждой серии наиболее достоверное (среднее) значение измерений и среднеквадратическое отклонение. В какой из серий последнее окажется меньше, там и выше будет достоверность.

Таким образом,

; .

; .

Очевидно, что более достоверен (при его одинаковом значении) результат второй серии измерений.

2.12. Измеряемые значения напряжения элементов питания равномерно распределены на интервале 1,45... 1,65 В. С какой вероятностью измеренное значение составит: Uизм = 1,55+0,05 В? Как изменилась бы вероятность в случае треугольного распределения?

Вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал (δ1; δ2) при равномерном распределении равна

Если интервал изменения δ полностью укладывается внутри интервала изменения а (как в нашем случае), то искомая вероятность просто равна отношению длин этих интервалов. Поэтому

.

При треугольном распределении вероятность увеличилась бы. Ведь на самом деле вероятность равна отношению интегралов (площадей) распределений. Для треугольника 1,45...1,65 площадь равна 0,2/2 = 0,1; для трапеции 1,55...1,6 площадь равна (в данном случае высоту (на самом деле расположенную по горизонтальной оси) считаем равной 0,05; длинная сторона – Р = 1; короткая – 0,5 (простейшие геометрические рассуждения). Тогда площадь трапеции

.

Тогда вероятность

.

Наша посылка доказана.

2.13. Амплитуда кратковременного выброса напряжения в сети пита­ния одновременно измерялась пятью пиковыми детекторами с одинаковыми пределами шкалы. Два из них со значениями класса точности K1=1,0 показа­ли значения U1=260 В; U2=264 В. Два других прибора, класс точности кото­рых К2=1,5, показали величины U3=255 В, U4=265 В. Пятый прибор с классом точности К3=2,0 дал показания U5=259 В. Рассчитайте, на сколько вольт было.

Формула средневзвешенного значения:

Нормальным считается напряжение 220 В.

Значит 260,= 40,3 В

Ответ: нормальное напряжение было превышено на 40,3 В.

Задача 2.14

При прохождении сигнала через радиотехническое устройство он сначала усиливается по напряжению на 11 дБ, затем в результате полосовой частотной фильтрации и детектирования его мощность последовательно уменьшается в 1,5 раза и на 6,5 дБ. Затем выделенный низкочастотный сиг­нал усиливается по напряжению на 15 дБ. Запишите значения коэффициен­тов передачи по напряжению и мощности радиотехнического устройства, ес­ли коэффициент передачи по напряжению каждого из четырех каскадов вос­производится с погрешностью 5%.

Решение

Коэффициент передачи - отношение напряжения на выходе той или иной системы, предназначенной для передачи электрических сигналов, к напряжению на входе

KП = UВЫХ / UВХ

Коэффициент передачи часто выражают в логарифмическом виде:

Расчитаем коэфициенты передачи для каждого из 4-х каскадов:

1) (дБ) – усиление сигнла;

2) 4,0 (дБ) – ослабление сигнала;

4,0(дБ) – ослабление сигнала;

3) (дБ) – ослабление сигнала;

4)(дБ) – усиление сигнла;

Ответ:

Кu = 11 – 4 – 6,5 + 15 = (15,5 ±0,05) дБ

Кр = 15,5 дБ

Задача 2.15

Запишите результаты многократных прямых измерений, округлив средние значения:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; ;

г) ; ;

Решение

Оценка интервала (абсолютной погрешности) округляется до одной значащей цифры, а оценка измеряемой величины (среднее значнеие многократных измерений) округляется или уточняется до разряда, оставшегося в оценке интервала после ее округления.

а) = 104 мВ

= 720 мкВ = 0,72мВ

б) = 42000 мВ = 42В

= 0,2 В

в) = 10 мВ

= 0,1мВ

г) = 0,2 В = 200 мВ

= 6000мкВ = 6 мВ

Ответ:

а) U = (104 ±0,72) мВ

б) U = (42 ±0,2) В

в) U = (10 ±0,1) мВ

г) U = (200 ±6) мВ

Задача 2.16

Емкость плоского конденсатора определяется расчетным путем. Измеренный диаметр круглых обкладок D = 21,15±0,05 мм, толщина каждой обкладки h = 0,25±0,01 мм, общая толщина конденсатора Н = 0,60±0,01 мм. Относительная диэлектрическая проницаемость материала диэлектрической пластины ε = 11,85+0,02. С какой точностью должны быть записаны число π и диэлектрическая постоянная СИ ε0 в расчетной формуле?

Решение

Для того, чтобы отпеределить с какой точностю должны быть записаны число π и диэлектрическая постоянная СИ ε0 в расчетной формуле, необходимо вычислить относительную погрешность измерения.

Относительная погрешность измерений:

Относительная погрешность записи табличной величины должна быть примерно в 10 раз меньше, чем относительная погрешность измерения.

Ответ:

π = 3,1415

ε0 = 8,85

Задача 2.17

Определите коэффициент амплитуды и коэффициент формы периодического сигнала (рис. 2):

Решение

Коеффициент амплитуды:

Uп=U0

U(t) =

Коэффициент формы:

Ответ:

Задача 2.18

Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов со скважностью Q = 2 (меандр) был измерен селективным вольтмет­ром. Результаты измерений представлены в таблице:

Частота, кГц	76,5	149	222	299	373	453	526,5	602,5	672,5
Амплитуда, мкВ	1180	16	398	12	244	11	170	12	135

Определите амплитуду и частоту сигнала.

Решение

Приведем значения таблицы в системе Си:

Расчитываем среднее значение частоты сигнала:

Рассчитаем среднее значение абсолютной погрешности измерения частоты сигнала:

Округлим до одной значащей цифры:

Округлим до разряда, соответствующего :

Частота сигнала

Рассчитаем среднее значение амплитуды сигнлала по формуле:

Рассчитаем среднее значение абсолютной погрешности измерения амплитуды сигнала:

Округляем до первой значащей цифры:

=200мкВ = 0,2мВ

Округляем до разряда, соответствующего :

=11000мкВ = 11мВ

Амплитуда сигнала:

Ответ:

2.14. При прохождении сигнала через радиотехническое устройство он сначала усиливается по напряжению на 11 дБ, затем в результате полосовой частотной фильтрации и детектирования его мощность последовательно уменьшается в 1,5 раза и на 6,5 дБ. Затем выделенный низкочастотный сиг­нал усиливается по напряжению на 15 дБ. Запишите значения коэффициен­тов передачи по напряжению и мощности радиотехнического устройства, ес­ли коэффициент передачи по напряжению каждого из четырех каскадов вос­производится с погрешностью 5%.

2.15. Запишите результаты многократных прямых измерений, округлив средние значения:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; ;

г) ; ;

2.16. Емкость плоского конденсатора определяется расчетным путем. Измеренный диаметр круглых обкладок D = 21,15±0,05 мм, толщина каждой обкладки h = 0,25±0,01 мм, общая толщина конденсатора Н = 0,60±0,01 мм. Относительная диэлектрическая проницаемость материала диэлектрической пластины ε = 11,85+0,02. С какой точностью должны быть записаны число π и диэлектрическая постоянная СИ ε0 в расчетной формуле?

2.17. Определите коэффициент амплитуды и коэффициент формы периодического сигнала (рис. 2):

2.18. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов со скважностью Q = 2 (меандр) был измерен селективным вольтмет­ром. Результаты измерений представлены в таблице:

Частота, кГц	76,5	149	222	299	373	453	526,5	602,5	672,5
Амплитуда, мкВ	1180	16	398	12	244	11	170	12	135

Определите амплитуду и частоту сигнала.