§ 2. Комплексные числа

§ 2. Комплексные числа.

Введем новое недействительное число, квадрат которого

равен –1. Это число обозначим символом ί и назовем мнимой единицей.

Итак,

(2.1)

Тогда

(2.2)

Например,

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа.

Если , то число называется комплексным числом, заданным в алгебраической форме

(2.3)

Это число имеет действительную часть

и мнимую часть

Так что

- число, сопряженное .

Действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются как над многочленами.

Произведение двух сопряженных чисел есть действительное число

(2.4)

Следовательно, сумму квадратов двух действительных чисел можно разложить на комплексные множители

(2.5)

Деление чисел выполняется по формуле

(2.6)

Условия равенства двух комплексных чисел (2.7)

Пример 2.1. Выполнить действия:

a)  b)

Решение. Выполняем действия как над многочленами

а)

Пример 2.2. Решить квадратные уравнения:

a)  b)

c)

Решение. a)

b)

c)

Отсюда

Пример 2.3. Данную дробь представить в виде суммы более простых дробей.

Решение. Так как , то данную дробь можно представить в виде

(2.8)

Неизвестные пока нам коэффициенты мы определим из условия равенства числителей

Применяем метод частных значений. При получим:

или .

Из условия равенства комплексных чисел (2.7) получим:

При получим:

Отсюда:

Подставляя полученные значения в (2.8), получим:

2.2. Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы.

Прямоугольную систему координат можно использовать для геометрического представления комплексного числа.

Каждому комплексному числу можно поставить

Рис.1

в соответствие точку или вектор (Рис.1).

В этом случае плоскость х0у называется комплексной плоскостью ( z ), ось 0х называется действительной осью, ось 0у называется мнимой осью.

Расстояние ОА или длина вектора называется модулем комплексного числа Угол называется аргументом комплексного числа

Очевидно, каждому комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.

Главное значение аргумента

Общее значение аргумента

Так как и то

(2.9)

Это тригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9), следует найти:

1)  модуль по формуле (2.10)

2)  аргумент по формулам :

если 1-ой четверти, то ;

если 2-ой четверти, то ;

если 3-ой четверти, то ; (2.11)

если 4-ой четверти, то ,

где вспомогательный острый угол

определяют по формуле

Если то .

Если то ( 2.12)

Если то .

Если то .

С помощью формулы , (2.13)

которая впервые была получена Эйлером, можно комплексное число представить в показательной форме

(2.14)

Если в формуле (2.13) заменить на -, то получим

(2.13')

Из (2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера

(2.15)

Пример 2.4. Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической и показательной формах следующие комплексные числа:

1) 2) 3) 4)

5) .

Решение. Сначала построим все эти точки на комплексной плоскости (рис.2.2). у

--Z3

z1

z4 0 х

z2

z5

Рис.2

Теперь представим их в тригонометрической и показательной формах:

1) 

Имеем:

Так как 2- ой четверти, то

Тригонометрическая форма

Показательная форма

2) 

3) 

4) 

5) 

Пример2.5. Представить в показательной форме числа:

1)  2)

3)

Решение.

1) 

2) 

3) 

2.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Умножение. Модуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:

(2.15)

Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:

(2.16)

Возведение в целую степень п. Модуль возводится в эту степень, аргумент умножается на п.

(2.17)

Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если

(2.18)

Формулы (2.17) и (2.18) называются формулами Муавра.

Пример 2.5. Выполнить действия:

Решение.

1)  Представим число в тригонометрической форме

По формуле Муавра (2.17), получим:

2)  Имеем:

Применяем формулы (2.16) и (2.17).

3) 

Пример 2.6. Найти все значения корней:

Решение.

1)  Определим модуль и аргумент числа

Тогда по формуле Муавра (2.18) получим :

Придавая k значения 0,1,2, получим все три значения корня

При

При

При

Очевидно, при k = 3 мы снова получим

2)  Имеем :. Тогда

где k = 0,1,2,3.

При

При

При

При

Пример 2.7. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

Тогда . Отсюда

Пример 2.8. Доказать

Решение. По формуле Муавра (2.17) имеем:

С другой стороны по формуле бинома Ньютона :

Получили:

Приравнивая мнимые части этих комплексных чисел, получим:

Пример 2.9. Доказать

Доказательство.

Упражнения к § 2.

2.1.Выполнить действия

1) 

2) 

3) 

4)  ; 5) ; 6) ; 7) ;

8)  9) .

2.2. Представить в виде суммы более простых дробей:

1) ; 2) ;

3)  .

2.3. Решить уравнения:

1)  2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9)  10)

11)

2.4. Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической форме числа:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) 5, 10) i

2.5. Представить в показательной форме числа (указать главное значение аргумента ):

1)  2) ;

3) 4) ;

5) 6)

7) 8)

9)  10)

11) 12)

13) 14)

2.6.Выполнить действия:

1) 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8)

9) , 10)

11) , 12) , 13) ,

14) , 15) 16) 17)

2.7. Найти все значения корней:

2.8. Решить уравнения :

2.9. Выразить через степенииследующие функции :

2.10. Доказать:

1) 

2) 

3)

если ( нечетное ).

Указание. Воспользуйтесь формулами Эйлера

а также формулой суммы членов геометрической прогрессии.

§ 3. Методы построения графика функции.

Будем считать, что графики основных элементарных функций известны студентам. Рассмотрим вопрос об использовании графиков элементарных функций при построении графиков более сложных функций.

3.1. Механический метод.

Так обычно называют способ построения графика функции, связанный с перемещением, деформацией и отображением графика элементарной функции. Пусть известен график некоторой функции .

Сначала рассмотрим метод перемещения.

1) Сдвиг по оси OX. График функции получается из графика известной функции сдвигом

( параллельным переносом ) вдоль оси OX на единиц. Пример. График функции ( рис. 3б) получается из графика функции ( рис.3а ) сдвигом вдоль оси OX на –4 единиц.

Рис.3а Рис.3б

3) 
Сдвиг по оси OY. График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси OY на единиц. Пример. График функции (Рис.4б) получаем из графика функции (Рис4а) сдвигом вдоль оси OY на –3 единиц.

3) Сдвиг вдоль обеих осей ( параллельный перенос ). График функции получается из графика функции f(x) параллельным переносом на вектор . Пример. График функции ( рис. 5б ) получаем из графика функции ( рис.5а ) параллельным переносом на вектор или последовательным сдвигом по оси OX на 3 единицы и по оси OY на –2 единицы. Отметим, что при перемещении точка ( 0; 1 ) графика функции перейдет в точку ( 3; -1 ), а асимптота y = 0 функции перейдет в асимптоту

y = -2 функции .

Рассмотрим метод деформации (растяжение, сжатие).

4)  График функции получаем из графика функции деформацией: при происходит сжатие в “k” раз, а при 0<k<1 растяжение в раз. При этом сжатие происходит к оси OY, а растяжение – от оси OY, т. е. точка (0 , y) остается неподвижной.

Пример. График функции получаем из графика сжатием в 2 раза ( рис.6а ), а график функции - из графика растяжением в 2 раза ( рис.6б).

Рис.6б

5)  График функции получаем из графика функции растяжением от оси OX в k раз при , или сжатием к оси OX в раз при 0<k<1 .

Пример. График функции y=2sinx получаем из графика функции y=sinx растяжением от оси ОХ в 2 раза(рис.7а), а график функции y=0,5sinx – сжатием к оси ОХ в 2 раза (рис.7б).

Метод симметричного отображения.

6)  График функции получаем симметричным отображением относительно оси OY графика функции f(x), а график функции - f(x) получаем симметричным отображением относительно оси OX графика f(x).

Пример. График функции получаем симметричным отображением относительно оси ОУ графика функции (рис.8а), а график функции - получаем симметричным отображением относительно оси ОХ графика функции

(рис.8б)

7)  График функции получаем из графика f(x) так: положительная часть графика f(x) ( расположенная над осью OX ) сохраняется, а отрицательная часть cотображается симметрично OX.

Пример. График функции ( рис.9б ) получаем с помощью графика функции (рис.9а). Верхняя часть графика сохраняется, а нижняя – отображается симметрично оси ОХ.

Рис.9а Рис9б

8)  График функции строится так: левая часть

( для x<0 ) графика f(x) отбрасывается, а правая часть сохраняется, и отображается симметрично OY.

Пример. График функции ( рис.10б ) строим с помощью графика функции y=arctgx (рис.10а). Правая часть графика сохраняется и отображается симметрично относительно оси ОУ.

Применим рассмотренные выше методы для построения графиков более сложных функций.

Пример 3.1. Построить график функции . Решение. Эта функция вида , то есть четная функция и, следовательно, график ее симметричен относительно оси OY.

Учитывая, что , то следует построить график функций сдвигом вдоль оси OX на 4 единицы графика функции .

Итак:

1)  строим график функции (рис.11а);

2)  сдвигом его на 4 единицы по оси OX строим график функции ( рис. 11б );

3)  сохраняем правую часть ( для ) графика функции и ее отображаем симметрично относительно оси OY. Для уточнения графика определим точку пересечения графика с осью OY. При , т. е. точка пересечения графика с осью OY: ( 0;-2 ). График функции представлен на рис.11в.

Пример 3.2. Построить график функции .

Решение. Используя формулу ,

преобразуем данную функцию к виду

или .

Период функции и поэтому достаточно построить

график функции в интервале длиной . Построение графика проведем в следующей последовательности:

1) строим график функции ( рис.12 ) в интервале ;

2) сжатием в 2 раза к оси OX получаем график функции в интервале ( рис.12 );

сдвигом графика на единиц по оси OX получаем график функции ( рис.12 );

3) растяжением в 2 раза вдоль оси OY и симметричным отображением относительно оси OX получаем график функции ( рис.12 );

4) график данной функции получаем из графика сдвигом вдоль оси OY на 3 единицы ( рис. 12 ).

3.2. Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Несмотря на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним, что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь графика функции. Если при ( или ), то

- вертикальная асимптота.

Если при (или ), то - горизонтальная асимптота. Так функция имеет вертикальную асимптоту , так как при . Функция имеет горизонтальную асимптоту , так как при и. Функция имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту . Построим графики некоторых функций, используя свойства элементарных функций.

Пример 3.3. Построить график функции . Решение. Так как ,то функция четная и график ее симметричен относительно оси OY. Значения x, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, обращается в нуль, являются недопустимыми для x и одновременно они помогают найти вертикальные асимптоты. Найдем их.

Имеем:

или

.

График имеет четыре вертикальные асимптоты

.

Определим нули функции. Имеем:

или

.

Итак, на оси OX имеется пять точек графика функции:

(-2;0), (-1;0), (0;0), (1;0), (2;0). График функции имеет четыре асимптоты. Для построения графика необходимо знать с какой стороны ветви графика приближаются к асимптотам. Для этого достаточно определить интервалы знакопостоянства функции. Напомним, что

.

Решим неравенство

1) или 2)

или Ǿ

Итак, если , то y>0 и, следовательно, если и , то . Поэтому график функции в интервале

(-2;2) расположен ниже оси OX, а в интервалах (-∞;-2), (2;+∞) – выше оси OX ( рис.13 ).

Пример 3.4. Построить график функции .

Решение. Напомним, что график функции расположен в прямоугольнике ,

причем основные точки графика: (-1;-), (0;0), (1;). Найдем область определения данной функции. Имеем:

.

Следовательно, график функции расположен в прямоугольнике . Находим координаты основных точек графика .

После проведенных исследований легко построить график функции (рис.14).

Пример 3.5. Построить график дробно-линейной функции .

Решение. Преобразуем данную функцию, выделив целую часть

.

Так как при (или ), то x = -1 – вертикальная асимптота; при (или ) и поэтому y = 2 – горизонтальная асимптота. Строим асимптоты x =-1 и y =2. Графиком служат две ветви гиперболы, расположенные во 2-ой и 4-ой четвертях относительно построенных асимптот (перед дробью знак минус). Для более точного построения графика следует определить точки пересечения графика с осями координат. При x = 0 y =-2, при y = 0 x = 1, то есть график нижней ветви гиперболы проходит через точки (0;-2) и (1;0). Верхняя ветвь гиперболы строится симметрично относительно точки пересечения асимптот (рис.15).

Пример 3.6. Построить график функции . Решение. Так как , то , т. е..

Область определения функции определяем из неравенства

Так как y(-x) = y(x), то функция четная. Нули функции: y = 0, если

или

x = -2, x =2

y(-2) = y(2) = 0.

Наибольшее значение функция достигает в точках, где

x = 0 - ось симметрии; . график функции представлен на рис. 16.