Министерство образования и науки Российской Федерации
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра строительной механики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к расчетно-графической работе
“Расчет рамно-балочных систем
на вибрационную нагрузку”
Казань
2012
УДК 624
ББК 38112
Ш17
Ш17 Методические указания к расчетно-графической работе “Расчет рамно-балочных систем на вибрационную нагрузку”. – 2-е издание, испр. / Шакирзянов, . – Казань: КГАСУ, 2012. – 20 с.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета.
Методические указания предназначены для успешного усвоения теоретических знаний, закрепления навыков по расчету сооружений на динамические воздействия и выполнения расчетно-графической работы (РГР) по динамике сооружений.
Определяются общая схема и последовательность выполнения РГР, даются рекомендации для ее самостоятельного выполнения и примеры решения задач.
Ил. 13, табл. 1
Рецензент
Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики КГАСУ
УДК 624.04(075)
ББК 38112
ÓКазанский государственный архитектурно-строительный
университет, 2012
Ó , 2012
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Динамика сооружений является важной составной частью строительной механики. Как теоретическая наука, она разрабатывает методы расчета сооружений на динамические воздействия, а как прикладная наука − занимается решением различных типов задач.
В данной работе рассматривается решение следующих четырех задач динамики, решаемых при действии вибрационной нагрузки:
1) определение частот и форм собственных колебаний;
2) проверка на резонанс;
3) проверка динамической прочности;
4) проверка динамической жесткости.
Из множества различных типов сооружений уделяется внимание расчету сооружений, расчетные схемы которых можно представить в виде плоских стержневых систем с сосредоточенными массами, а рассеянием энергии колебаний можно пренебречь.
Порядок расчета на вибрационную нагрузку
Расчет балок и рам с сосредоточенными массами, имеющих несколько динамических степеней свободы на вибрационную нагрузку 
(или 
) обычно состоит из решения трех задач динамики.
1. Расчет на собственные колебания (1-я задача динамики) состоит из определения частот и форм собственных колебаний динамической системы. Для этого необходимо:
– выбрать расчетную схему и массовую модель сооружения;
– определить степени свободы сосредоточенных масс и их число n;
– определить величины масс, участвующих в колебаниях по каждой степени свободы и построить диагональную матрицу масс m; для системы с двумя степенями свободы она имеет вид
– рассмотреть единичные загружения от воздействия единичных сил;
– во всех единичных загружениях построить эпюры моментов;
– вычислить податливости 
и построить квадратную матрицу податливости 
; для системы с двумя степенями свободы она имеет вид
– решить вековое уравнение 
(где 
− динамическая матрица, E − единичная матрица) и вычислить собственные значения li, затем круговые частоты собственных колебаний wi; при необходимости можно определить формы собственных колебаний ai.
Для системы с одной динамической степенью свободы круговую (циклическую) частоту собственных колебаний можно определять по одной из формул:
,
где m − величина сосредоточенной массы, δ, r − податливость и жесткость в направлении степени свободы, g − ускорение свободного падения, yст − статический прогиб точки от действия веса сосредоточенной массы.
2. Проверка на резонанс (2-я задача динамики) состоит из проверки условий 
. Если во всех случаях результат 
, то резонанса нет и можно ограничиться расчетом на статическое воздействие нагрузки; если хотя бы в одном случае результат <0,3, то динамический расчет надо продолжить.
3. Проверка динамической прочности (3-я задача динамики) состоит из проверки условия прочности 
. При длительном воздействии вибрационной нагрузки (»10 7 циклов) за допустимое динамическое напряжение принимается доля допустимого статического напряжения: 
.
Для построения динамической эпюры моментов 
необходимо:
– построить вектор амплитуд действующей на массы нагрузки 
;
– пользуясь единичными эпюрами от единичных загружений, построить грузовую эпюру MP от вектора нагрузки ;
– вычислить все коэффициенты 
;
– вычислить вектор статического прогиба 
;
– решить систему канонических уравнений расчета на вибрационную нагрузку; для системы с двумя степенями свободы эта система уравнений имеет вид:
из которой определяются максимальные инерционные силы J1, J2;
– определить обобщенные силы 
;
– построить эпюру динамических моментов от действия обобщенных сил Qi по формуле
,
из которой определить значение максимального момента 
и затем проверить условие прочности.
Для системы с одной динамической степенью свободы эпюру динамических моментов можно строить по формуле
,
где 
− динамический коэффициент.
4. Проверка динамической жесткости (4-я задача динамики) решается при необходимости. Она состоит в проверке условия 
. Максимальные перемещения по направлениям степеней свободы масс при их колебаниях вычисляются по формуле
.
В данной работе динамическая жесткость проверяется по табл. 1, где даны предельные значения допустимых амплитуд вибраций a (в зависимости от частоты вибраций f), действующих на человека в течение восьмичасовой рабочей смены в производственных условиях.
Таблица 1
Допустимые амплитуды вибраций, действующих на человека в течение восьмичасовой рабочей смены в производственных условиях
f, гц | 2 | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
a, мм | 1,28 | 0,16 | 0,045 | 0,0225 | 0,0113 | 0,0056 |
Примеры решения задач
Пример 1. На стальной балке находится работающий двигатель весом G=200 кг (рис. 1а), создающий при N=2000 об/мин вибрационную нагрузку с амплитудой P0=10 кг. Решить четыре задачи динамики при следующих данных: балка двутавр №60 с моментом инерции I=76806 см4 и моментом сопротивления изгибу W=2560 см3, модуль упругости стали E=2×106 кг/см2, допустимое напряжение [s]=1600 кг/см2.
Решение. Вначале представим исходные данные в системе СИ:
P0=98 Н; G=1960 Н; E=19,6×1010 Н/м2; I=7,68×10-4 м4; W=2,56×10-3 м3; [s]=1,57×108 Н/м2.
Рис. 1
1. Решаем 1-ю задачу динамики − находим частоту собственных колебаний.
Пренебрежение размерами двигателя, массой балки и ее продольными колебаниями позволяет определять положение груза (двигателя) при ее малых вертикальных колебаниях только одним вертикальным перемещением. Поэтому принимаем, что данная система является динамической системой с одной степенью свободы.
Тогда круговую частоту собственных колебаний можно вычислять по формуле 
, где статический прогиб yст находится из рассмотрения единичного загружения (рис. 1 б) и построения в нем единичной эпюры 
(рис. 1 в). Имеем:
.
Тогда
(c-1).
2. Для решения 2-ой задачи динамики (проверки системы на резонанс) вычислим круговую частоту вращения двигателя:
(c-1).
Тогда
.
Следовательно, колебания системы происходят в резонансно-опасной зоне. В этом случае необходимо решать следующие две задачи динамики, т. к. возможны большие напряжения и амплитуды колебаний.
3. Решаем 3-ю задачи динамики − проверяем систему на прочность. Для этого вычислим динамический коэффициент:
.
Максимальная сила, действующая на балку, будет равна сумме веса двигателя G и вибрационной силы 
, сведенной к статической силе с использованием динамического коэффициента (рис. 1 г). Поэтому эпюру изгибающих моментов (рис. 1 д) можно построить по формуле
.
Максимальное напряжение в балке будет:
(Н/м2).
Если принять
(Н/м2),
то условие прочности выполняется: 
< 
.
4. Решим 4-ю задачу динамики − проверим систему на жесткость. Предполагая, что максимальная амплитуда колебаний будет в конце консоли при действии силы Р0, получим:
20,58×98×1,19×10-7=2,4×10-4 (м)=0,24 (мм).
Так как частота вращения двигателя f=N/60=2000/60=33,3 (Гц), то из табл. 1 следует, что при данной частоте амплитуда колебаний превышает допустимую: 
. Значит, присутствие человека рядом с работающим двигателем недопустимо.
Пример 2. На раме с сосредоточенной массой m=500 кг и размерами l=5 м работает двигатель, создающий при N=1200 об/мин вибрационную нагрузку с амплитудой P0=15 кг (рис. 2 а). Остальные данные такие же, как в примере 1. Пренебрегая собственным весом двигателя и стержней рамы, решить четыре задачи динамики.
Решение.
1. Расчет на собственные колебания
Если не учитывать продольные колебания стержней и их массы, то раму можно рассматривать как динамическую систему с одной массой, колеблющейся под воздействием вертикальной составляющей вибрационной нагрузки. Поэтому при определении частоты собственных колебаний можно воспользоваться формулой 
.
Рис. 2
Данная рама статически неопределима. Поэтому для определения податливости δ в единичном состоянии (рис. 2 б) воспользуемся методом сил. Для этого выберем основную систему с неизвестной 
(рис. 2 в), запишем каноническое уравнение метода сил 
, построим единичную эпюру 
(рис. 2 г) и грузовую эпюру 
(рис. 2 д). Затем, вычислив коэффициенты канонического уравнения и решив его, по формуле 
построим эпюру моментов (рис. 2 е). Далее вычислим податливость по формуле определения перемещений:
Тогда 
(c-1).
Форма собственных колебаний рамы совпадает с картиной прогиба, изображенной на рис. 2 б.
2. Проверка на резонанс
Вычислим круговую частоту вращения двигателя:
(c-1).
Тогда 
.
Значит, колебания системы происходят в резонансно-опасной зоне.
3. Проверка динамической прочности
Вычислим динамический коэффициент:
.
Максимальное значение вибрационной силы, действующей на балку, будет равно 
, а максимальное значение момента будет в заделке (рис. 2 е). Тогда оно будет определяться по формуле
(Нм).
Максимальное напряжение в балке будет:
(Н/м2) <
(Н/м2).
Условие прочности выполняется.
4. Проверка динамической жесткости
Вычислим амплитуду колебаний сосредоточенной массы:
22,4×15×9,81×1,211×10-7=3,992×10-4 (м)≈0,4 (мм).
Так как частота вращения двигателя f=N/60=1200/60=20 (Гц), то по табл. 1 следует, что амплитуда колебаний превышает допустимую: 
. Значит, условие динамической жесткости не выполняется, и данную конструкцию эксплуатировать нельзя.
Пример 3. На стальной раме из двутавра №24 находятся два груза с массами m=1000 кг и работающий двигатель с N=200 об/мин (рис. 3). Двигатель создает вибрационную нагрузку, максимальное значение которой 
=100 Н. Провести расчет рамы на воздействие вертикальной составляющей вибрационной нагрузки 
, считая грузы точечными. Собственным весом двигателя и стержней рамы пренебречь.
Рис. 3
Решение. Установим необходимые исходные данные: a=3 м; m=1000 кг; E=2,1×106 кг/см2 =2×1011 Н/м2; I=3460 см4=0,346×10-4 м4; EI=0,692×107 Нм2; W=289 см3=0,289×10-3 м3; [s]=1600 кг/см2=1,57×108 Н/м2; [sдин]=1/4[s]=3,92× 107 Н/м2.
1. Расчет на собственные колебания
Если не учитывать продольные колебания стержней, то положение двух точечных масс данной рамы будет определяться двумя независимыми параметрами y1, y2 (рис. 4 а). Следовательно, число динамических степеней системы равно двум.
Рис. 4
Выберем положительные направления перемещений и обобщенных сил (рис. 4 а, б). В направлении первой степени свободы колеблются обе массы, а в направлении второй степени − только одна из масс. Поэтому 
и матрица масс системы будет
.
Для определения матрицы податливости d рассмотрим два единичных загружения системы (рис. 4 в, г) и в каждом из них построим эпюры изгибающих моментов. Данная рама статически неопределима, поэтому ее статическую неопределимость раскроем методом сил, как более выгодному в этом случае (nмс= 3=4−3=1, nмп= nугл+ nлин=2+2=4).
На рис. 5 представлены основная система (рис. 5 а), единичная эпюра 
(рис. 5 б) и грузовая эпюра 
(рис. 5 в) для первого единичного состояния.
Каноническое уравнение метода сил будет 
, а его коэффициент 
и свободный член 
.
Рис. 5
Тогда 
. По формуле 
строим эпюру моментов для первого единичного состояния (рис. 6 а).
Аналогично строится эпюра второго единичного состояния (рис. 6 б).
Рис. 6
Вычислим элементы матрицы податливости 
. В статически неопределимой системе их можно вычислить двумя способами: 1) 
или 2) 
. Второй способ проще:
.
Аналогично, 
.
Величину последнего элемента найдем первым способом:
.
Тогда 
, 
.
Если ввести обозначение 
, то матричное уравнение собственных колебаний
принимает вид
. (1)
Из векового уравнения 
получим полином
,
который имеет два корня 
, 
.
Определим собственные значения и соответствующие им круговые частоты собственных колебаний:
; 
;
; 
.
Для определения форм собственных колебаний систему уравнений (1) запишем в обычном виде:
Если положить a1=1 и исключить первое уравнение, то второе уравнение будет
,
откуда
.
Из этого уравнения определяются ординаты форм собственных колебаний:
– для первой формы при 
имеем 
, 
;
– для второй формы при 
=13 имеем 
, 
.
Эти формы удовлетворяют условию ортогональности:
.
Представим обе формы колебаний графически (рис. 7 а, б):
Рис. 7
2. Проверка на резонанс
Определим круговую частоту вибрационной силы:
.
Тогда
;
.
Как видно, близко резонансное состояние по 1-ой форме. Следовательно, расчеты необходимо продолжить.
3. Проверка динамической прочности
С этой целью проведем расчет на вынужденные колебания. Вначале определим вектор амплитудных значений вибрационной нагрузки:
.
Запишем канонические уравнения расчета на вибрационную нагрузку
и вычислим их коэффициенты:
;
;
.
Определим правые части уравнений:
.
Тогда 
, 
.
Система канонических уравнений принимает вид
из которой получаем: J1= 264, J2= 718.
Определим обобщенные силы:
;
.
Они показаны на рис. 8 а.
По формуле 
строим эпюру наибольших динамических моментов (рис. 8 б). Из нее определяем: 
.
Таким образом, условие прочности выполняется.
Рис. 8
4. Проверка динамической жесткости
Техническая частота вращения двигателя: 
Гц.
Максимальные перемещения масс при колебаниях:
,
.
На рис. 8 в показана примерная форма колебаний рамы. Как и следовало ожидать (так как частота нагрузки близка к первой форме), она близка к первой форме собственных колебаний.
Из табл. 1 следует, что если человек во время работы будет постоянно находиться рядом со 2-ой массой, то амплитуда колебаний будет превышать допустимую (при частоте f=3,33 Гц амплитуда a ≈ 1 мм). Поэтому жесткость рамы недостаточна и ее необходимо укрепить.
Пример 4. Провести расчет рамы (рис. 9 а) на вибрационную нагрузку 
. Собственным весом двигателя и стержней рамы пренебречь. Заданы жесткостные характеристики стержней рамы EI=5×106 Нм2, W=0,0002 м3, [sдин]=3,92×107 Н/м2, величины сосредо-точенных масс 
1000 кг, =30 Н, число оборотов двигателя N=800 об/мин.
Рис. 9
1. Расчет на собственные колебания
Если не учитывать продольные перемещения стержней, то масса m1 может совершать только вертикальные, а масса m2 − лишь горизонтальные колебания. Поэтому данная рама имеет две динамические степени свободы, а ее матрица масс будет
.
Рис. 10
Рассмотрим два единичных загружения (рис. 9 б, в). Построение эпюр моментов в этих состояниях проведем по методу перемещений, как более выгодному (т. к. nмс= 3=5−3=2, nмп=nугл+nлин=1+0=1). На рис. 10 показаны основные системы метода перемещений (рис. 10 а, б), эпюры моментов в единичном и двух грузовых состояниях (рис. 10 в, г, д).
Канонические уравнения метода перемещений в обоих случаях загружения будут
, 
.
По рис. 10 в, г, д определим их коэффициенты:
, 
.
Тогда 
.
Эпюры моментов в единичных загружениях строим по формулам
, 
.
Они представлены на рис. 11.
Рис. 11
Теперь вычислим коэффициенты матрицы податливости:
, 
, 
и определим матрицу податливости и динамическую матрицу:
, 
.
Если ввести обозначение 
, то матричное уравнение примет вид
. (2)
Тогда из векового уравнения получим полином 
, который имеет два корня: 
, 
.
Поэтому
; 
;
; 
.
Для определения форм колебаний рамы систему уравнений (2) запишем в обычном виде:
Если положить a1=1 и исключить первое уравнение, то второе уравнение будет:
,
откуда получаем 
.
Из этого уравнения определим ординаты форм собственных колебаний:
– для первой формы при 
имеем , 
;
– для второй формы при 
=1 имеем , 
.
Эти формы удовлетворяют условию ортогональности:
.
Представим обе формы колебаний графически (рис. 12 а, б):
Рис. 12
2. Проверка на резонанс
Определим круговую частоту вибрационной силы:
.
Тогда
;
.
Как видим, близко резонансное состояние по 1-ой форме.
3. Проверка динамической прочности
Канонические уравнения расчета на вибрационную нагрузку будут
Вычислим их коэффициенты:
;
;
В данном случае 
.
Определим правые части уравнений. Так как
, то
.
Тогда
, 
.
Решим систему канонических уравнений
из которых имеем J1= 71 , J2= 91.
Определим обобщенные силы:
;
.
Они показаны на рис. 13 а.
По формуле 
строим эпюру наибольших динамических моментов (рис. 13 б). Тогда
.
Условие прочности выполняется.
Рис. 13
4. Проверка динамической жесткости
Определим техническую частоту вращения двигателя:
Гц.
Максимальные перемещения масс при их колебании будут:
,
.
Сравнение этих перемещений с их допустимым значением по табл. 1 (при частоте f=13,3 Гц допустимая амплитуда a ≈ 0,03 мм) показывает, что жесткость рамы достаточна для ее эксплуатации.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к расчетно-графической работе
“Расчет рамно-балочных систем на вибрационную нагрузку”
Составители: ,
Редактор:
Редакционно-издательский отдел
Казанского государственного архитектурно-строительного университета
Подписано в печать 31.05.12 . Формат 60´84/16
Заказ 319 . Печать ризографическая Усл.-печ. л. 1,25
Тираж 100 экз. Бумага офсетная № 1 Уч.-изд. л. 1,3.
________________________________________________________________
Печатно-множительный отдел КГАСУ
Казань, Зеленая, 1
