УДК 539.3

КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ

,

Саратовский государственный технический университет, Саратов, Россия

Рассмотрим следующую краевую задачу, определяющую условия движения неоднородных пологих оболочек переменной толщины с начальными неправильностями в рамках неклассической теории:

,

, ;

(1)

(2)

,

(3)

(4)

где приняты такие условные обозначения: , , h = h(x1, x2) ≥ h0  > 0, h0 = constR, – измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом пространстве (план оболочки) с границей , – отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки, h = h(x1, x2), – известная функция, определенная на замкнутой области и определяющая соответственно «нижнюю» и «верхнюю» граничные поверхности оболочки, – плотность материала оболочки; – компоненты тензора напряжений, – компоненты тензора деформаций, ,

, , , A = x3 +B, B = –,

,

,

, C = 1 – ,

– модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, – кривизны поверхности приведения в недеформированном состоянии, функция w0(x1, x2) – определяет начальную неправильность оболочки, функция [u30(x1, x2, t) + w0(x1, x2)] – определяет полный прогиб оболочки, ui0 = ui0(x1, x2, t), ui1 = ui1(x1, x2, t) – искомые функции, определяющие коэффициенты в аппроксимации компонент ui (x1, x2, x3, t), , – интенсивность поперечной нагрузки, , , , – известные функции, определяющие начальные условия, – вектор единичной нормали к .

Далее будем использовать обозначения функциональных пространств из монографии [1], кроме того, символами , – обозначим норму и скалярное произведение в пространстве .

Теорема. Пусть имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения и выполняются такие условия:

1) , , , , , , ;

2) ; , , , , ;

3) найдется такая положительная постоянная , что для любых функций , , при этом и , выполняется условие

.

Тогда

1) существует хотя бы одно решение задачи (1)–(4), при этом

;

(5)

2) приближенное решение задачи (1)–(4) может быть найдено методом Бубнова-Галеркина, при этом все множество приближенных решений слабо компактно в пространствах, соответствующих (9), и его предельные точки определяют решение задачи (1)–(4).

Литература

1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 588 с.