Корректность эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с переменной массой

УДК 539.3

КОРРЕКТНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ

Саратовский государственный технический университет, Саратов, Россия

В рамках подхода И. В. Мещерского пологая оболочка определяется как распределенная механическая система переменной массы, занимающая в момент времени область , при этом: пространство параметризовано декартовой системой координат, – координаты точки в ; уравнение определяет срединную поверхность оболочки; – отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки; , измеримая по Лебегу односвязная область с границей ; функция , определяет толщину оболочки в момент времени ; , , , ; ; , ; n – внешняя нормаль к .

Исследуемая система эволюционных уравнений, соответствующая одному из вариантов геометрически нелинейной теории оболочек Рейсснера, с начальными и граничными условиями (первая начально-краевая задача) имеет вид:

,	(1)
, ,	(2)
	(3)
, , , ,	(4)
, , , ,	(5)

где , , – искомые функции; , , , , – строго положительные вещественные постоянные, ;

, , , ;

, ,

;, ;

– интенсивность поперечной нагрузки; , , , () – известные функции, определяющие начальные условия (5).

Далее используем обозначения функциональных пространств из [1]; символ обозначает норму в пространстве .

Теорема. Пусть имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения и выполняются условия:

, , , ,

, , .

Тогда

1) существует хотя бы одно решение задачи (1)–(5), при этом

, , , , ;

(6)

2) приближенное решение задачи (1)–(5) может быть найдено методом Бубнова-Галеркина, при этом все множество приближенных решений слабо компактно в пространствах, соответствующих (6), а его предельные точки определяют решение задачи (1)–(5).

Замечание. Результаты подобные сформулированным в теореме имеют место и при других случаях закрепления оболочек, например, оболочка может быть шарнирно оперта.

ЛИТЕРАТУРа

1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 588 с.