Методические указания по изучению темы 4.
Комплексные числа
Комплексным числом называется пара действительных чисел, которая условно записывается в виде: z = a + bi, где a и b - действительные числа, i – символ, называемый мнимой единицей. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. Число а называется действительной частью комплексного числа, а число b – мнимой частью. Мнимая единица удовлетворяет условию: 
. Комплексное число называется нулем, если его действительная и мнимая части равны 0; комплексное число z = a + 0i отождествляется с действительным числом а; комплексное число z = 0 + bi называется чисто мнимым и обозначается bi. Комплексные числа a + bi и a – bi называются сопряженными. Для комплексных чисел вводятся понятие равенства и операции сложения и умножения.
Два комплексных числа 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
и 
, то есть когда равны их действительные и мнимые части; в противном случае они называются неравными. Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число 
. Сумма двух сопряженных чисел есть число действительное: 
.
Произведением двух комплексных чисел называется число
.
Произведение сопряженных чисел 
- число действительное и неотрицательное.
Все действия с комплексными числами производят по правилам алгебры, рассматривая комплексное число как алгебраический двучлен, а символ i как обыкновенное число, заменяя в вычислениях 
на -1.
Для выполнения операции деления комплексных чисел 
умножаются числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю:
.
Каждому комплексному числу a + bi ставится в соответствие точка комплексной плоскости; абсцисса этой точки равна действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой. Вектор, проведенный из начала координат в эту точку, называется вектором данного комплексного числа.
Величина 
называется модулем комплексного числа; модуль равен длине вектора, изображающего это комплексное число. Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу. Аргумент комплексного числа находится следующим образом:
а) определяется острый угол 
;
б) аргумент в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому комплексному числу, вычисляется следующим образом:
- в первой четверти 
;
- во второй четверти 
;
- в третьей четверти 
;
- в четвертой четверти 
.
Комплексное число можно записать в тригонометрической форме: 
, где 
- модуль комплексного числа, а 
- его аргумент.
По формуле Эйлера: 
. Из этой формулы следует, что комплексное число можно представить в показательной форме: 
.
Над комплексными числами в показательной и тригонометрической формах удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня.
Методические указания к выполнению задания 7
(Комплексные числа)
Литература: [1, гл.2]
Пример выполнения задания 1.1
Даны два комплексных числа: 
и 
.
1. Найдите сумму 
, произведение 
, разность 
, частное 
и квадрат 
.
Сумма двух комплексных чисел 
;
Разность 
;
Произведение находится формальным перемножением с последующей заменой 
на –1:
;
Чтобы найти частное, знаменатель умножается на 2 + 4i :
.
.
2. Найдите модуль и аргумент полученных комплексных чисел:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
3. Все результаты представьте в виде таблицы:
|
|
|
|
|
|
| |
| 2-4i | 5i | 2 + i | -2 + 9i | 20 + 10i | -1 + 0.5i | -12 – 16i |
|
| 5 |
|
|
|
| 20 |
|
|
|
|
|
| - |
|
4. На комплексной плоскости изобразите векторами числа: , , 
, 
.
y
9
5
-2 2 x
-4
Пример выполнения задания 1.2
Выполните действия в алгебраической форме. Результат запишите в тригонометрической и показательной формах: 
.
Решение:
.
Найдем модуль полученного комплексного числа: 
.
Вычислим вспомогательный угол: 
.
Изобразим комплексное число z на комплексной плоскости:
y
0 1
+
-1 _ х
Так как вектор, соответствующий комплексному числу z находится в четвертой четверти, то аргумент данного комплексного числа находится по формуле:
.
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:
.
Показательная форма:
.
