УДК 621.822
М. Е. ПОДОЛЬСКИЙ
ВЛИЯНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ МАСЛЯНОЙ ПЛЁНКИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЛЕГКОНАГРУЖЕННЫХ РОТОРОВ
Рассматривается задача об устойчивости равновесного положения вертикального или слабонагруженного ротора, вращающегося в гидродинамических подшипниках с круглоцилиндрической рабочей поверхностью и с зазором, целиком заполненным смазочной жидкостью. Для определения сил, с которыми масляная пленка действует на ротор, используются уравнения
| (1) |
В этих уравнениях 
, 
и 
– проекции вектора скорости частицы жидкости на координатные оси 
, 
и 
соответственно; 
– давление; 
– плотность, 
– кинематическая вязкость жидкости; 
и 
– коэффициенты, посредством которых выбирается тот или иной способ учета влияния сил инерции.
Первые три уравнения системы (1) – это уравнения движения. Если в них принять 
, то они представят собой «усеченные» (с учетом малости высоты зазора) уравнения Навье–Стокса [1]. При 
эти уравнения сводятся к уравнениям классической теории смазки [1, 2]. Их физический смысл очевиден: в отсутствие сил инерции силы, обусловленные перепадом давлений, уравновешивают силы трения. То же относится и к уравнению 
: силы, под действием которых давление могло бы по толщине пленки измениться, малы, так что 
.
Четвертое уравнение – уравнение неразрывности – записано в неусеченном виде, поскольку выражает собой закон сохранения массы, который имеет один и тот же вид вне зависимости от формы и размеров зазора.
Отдельных пояснений требует вопрос о силах инерции. В общем случае сила инерции частицы жидкости состоит из двух слагаемых [1]. Первое из них отвечает локальному ускорению
|
,второе – конвективному
|
.В этих формулах 
– вектор скорости частицы, 
– оператор Гамильтона.
Не останавливаясь на физическом смысле 
и 
(см. [1]), отметим только, что учет влияния конвективных сил инерции связан с необходимостью решать нелинейные уравнения, в то время как уравнения движения, в которых фигурируют только локальные ускорения, остаются линейными.
Для составления граничных условий (см. также [3, 4]) рассмотрим смазочный слой между двумя пластинами (рис. 1) (их рабочие поверхности совпадают с касательными плоскостями к поверхностям трения).
|
Рис. 1. Граничные условия |
Обозначим через 
скорость, с которой i-ая пластина движется в своей плоскости. Тогда, предполагая, что движение вдоль оси отсутствует, искомые граничные условия можно будет записать так
| (2) |
Здесь 
и 
– расстояния от плоскости 
точек рабочих поверхностей соответственно 1-ой и 2-ой пластин, 
и 
– проекции скоростей 
и 
на ось . При определении и учтено, что в «смазочном» приближении, т. е. с учетом малости толщины масляной пленки по сравнению с другими ее размерами, углы 
и 
малы.
Если силы инерции не учитываются, т. е. если , то, принимая во внимание условия (2) и интегрируя четвертое из уравнений (1) по толщине пленки, получим уравнение неразрывности в интегральной форме (подробнее см. [3]). Это уравнение называется уравнением Рейнольдса и применительно к опорному подшипнику (рис. 2) имеет вид [3]:
| (3) |
.При записи уравнения (3) использовались безразмерные переменные (помечены черточками над буквами) и принималось 
. Переход от размерных величин к безразмерным осуществляется по формулам (см. также рис. 2):
| (4) |
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.В формулах (4) 
– толщина пленки, 
– угловая скорость, 
– радиус шейки вала, 
– радиальный зазор, 
– длина подшипника; в уравнении (3) кружком обозначена производная по безразмерному времени 
, 
– динамическая вязкость.
|
Рис. 2. Геометрия подшипника |
Для безразмерной толщины пленки (см. рис. 2) имеем
| (5) |
, 
,так что
| (6) |
, 
.В условиях рассматриваемой задачи относительный эксцентриситет 
мал. Поэтому малой, порядка , будет и величина 
. Следовательно, с точностью до величин порядка 
, уравнение для можно записать так (см. (3) и (6)):
| (7) |
.Принимая во внимание, что зазор целиком заполнен маслом, и отсчитывая давления от их значений на торцах подшипника (местными потерями пренебрегаем), решение уравнения (7) получим в виде
| (8) (9) |
,
.Отсюда находим проекции гидродинамической реакции масляной пленки на оси 
и 
:
| (10) |
, 
.Здесь
| (11) |
, 
.Формулами (8) … (11) дается точное решение задачи, справедливое при любых 
. Коэффициент 
в первой из формул (11) имеет смысл коэффициента боковых утечек. При 
(теория длинного подшипника) 
, при 
(теория короткого подшипника) 
.
Результаты расчетов по теории короткого подшипника в практически интересном диапазоне значений очень близки к точным. Например, при 
ошибка в определении составляет 6%, при 
– 8% , в то время как по формулам теории длинного подшипника более 1300% (при ).
Запишем теперь, считая ротор жестким и вертикальным, уравнения движения его центра масс. С учетом (10) и (11) получим
| (12) |
, 
,где
| (13) |
, 
,
– масса ротора, отнесенная к одному подшипнику.
В переменных
| (14) |
, 
уравнения движения принимают вид
| (15) |
, 
.Уравнения (12) и (15) получены для вертикального (т. е. ненагруженного вала). Если на ротор действует постоянная радиальная сила 
, направленная, например, в отрицательную сторону оси 
, то, вместо (15), получим уравнения (использовавшиеся для их получения формулы (10) тем точнее, чем меньше 
):
| (16) |
.Тривиальные решения уравнений (15) и (16), определяющие равновесные положения ротора, неустойчивы, и, таким образом, получается, что в рассматриваемых условиях (вертикальный или легконагруженный вал) нормальная работа машины не может быть обеспечена. Поскольку в общем случае это не так, были предприняты попытки уточнения теории (см. также [5]). Один из первых шагов в указанном направлении был сделан А. Г. Бургвицем [6], который обратил внимание на необходимость учета локальных сил инерции. В пространственной постановке для решения этой задачи могут быть использованы уравнения (1), если в них положить 
.
Будем, следуя Э. Л. Позняку [7], искать давление в виде
| (17) |
,где функции 
и 
удовлетворяют соответственно уравнениям
| (18) |
, 
и
| (19) |
, 
.Из четвертого уравнения (1), полагая, как и выше, что 
, и обозначая, как обычно, производную по времени точкой над соответствующей буквой, получим
| (20) |
,откуда следует, что
| (21) |
.А так как, согласно (19),
|
, 
,то уравнение (21) приводится к уравнению
| (22) |
.Поскольку при выводе этого уравнения никакие дополнительные предположения не использовались, уравнение (22), рассматриваемое как уравнение для определения , является, в рамках принятых допущений, точным.
В отличие от , для определения 
приходится составлять приближенное уравнение. Воспользуемся методом интегральных соотношений. Аппроксимируя скорости и как функции 
квадратичными параболами, получим
| (23) |
.Физический смысл функций и очевиден: функция учитывает влияние сил инерции (динамическая, инерционная составляющая), функция – влияние вязкости (квазистатическая, вязкостная составляющая).
При 
и 
уравнения (22) и (23) переходят в уравнения, которые впервые, хотя и без подробного обоснования, были даны Э. Л. Позняком [7].
Применительно к опорным подшипникам, используя ранее принятые обозначения, имеем уравнения
| (24) |
| (25) |
, 
,
, 
.Здесь Re – число Рейнольдса:
| (26) |
. Л. Позняка подвергался критике А. Г. Бургвицем и Г. А. Завьяловым [8], которые, основываясь на работах А. Т. Полецкого [9], предложили свой способ решения задачи. Вообще говоря, для такой критики имеются определенные основания. Однако в ряде случаев, представляющих практический интерес, оба способа – и Э. Л. Позняка, и А. Г. Бургвица – – приводят к одним и тем же результатам [10]. Суть вопроса состоит в том, что давление должно быть периодической функцией 
. Это требование легко удовлетворяется в модели короткого подшипника [10]. В модели длинного подшипника дело обстоит сложнее.
Если, 
то, в силу (24) и (25),
| (27) |
, 
.Периодичность функции 
означает, что
| (28) |
.Из (17), (27) и (28) следует, что для того чтобы найти 
, нужно, помимо (28), иметь еще одно условие, устанавливающее зависимость между 
и 
. Если, однако, 
, так что 
, то задача по определению сводится к определению только одной постоянной 
. Справедливость последнего утверждения, равно как и более общего вывода о возможности при соответствующих граничных условиях рассматривать функции 
и 
независимо друг от друга, становится очевидной, если в левых частях уравнений (24) и (25) положить 
и сложить эти уравнения друг с другом. Существенно также, что согласно вторым выражениям в (24) и (25) производные 
и 
при и являются суммами вида
|
.Поэтому для выполнения условия периодичности оказывается достаточным произвольные постоянные 
приравнять к нулю.
Возвращаясь к случаю произвольных значений и считая эксцентриситет малой величиной, проинтегрируем уравнения (24) и (25). Поступая так же, как и при выводе (8), (9) и (10), и, принимая во внимание (17), найдем составляющие гидродинамической реакции пленки, вычисленные с учетом локальных сил инерции:
| (29) |
Полученные ранее формулы (10) являются частным случаем формул (29) при 
.
С учетом локальных сил инерции уравнения движения центра масс ротора (при 
) примут вид
| (30) |
Принципиальное отличие уравнений (30) от уравнений (16) состоит в том, что при 
они содержат гироскопические слагаемые 
и (
), оказывающие, как известно [11], стабилизирующее действие. С помощью критерия Рауса-Гурвица получим, что устойчивость обеспечивается при выполнении условия
| (31) |
.Рассмотрим теперь влияние конвективных сил инерции. Для этого в уравнениях (1) нужно принять 
. Ограничимся случаем плоской задачи. Тогда нужно будет рассмотреть первое из уравнений (1), которое, в сочетании с четвертым уравнением системы (1), приводится к виду
| (32) |
.Примем, как и выше, , . Тогда, принимая во внимание граничные условия (2) и переходя к безразмерным переменным (4), будем иметь (
, 
):
| (33) |
| (34) |
,
.Аппроксимируя, как и при выводе (23), профиль скорости по высоте зазора квадратичной параболой
| (35) |
и интегрируя (32) по толщине пленки, из (33) и (34) получим, с учетом третьего уравнения в (1),
| (36) |
.Здесь 
– по формуле из (29), а 
– подлежащая определению функция от .
При малых величина мала. Поэтому, в силу (35),
|
,и, с учетом (5) и (6),
| (37) |
.Из четвертого уравнения системы (1) следует (при 
), что (как и выше, используются безразмерные переменные)
|
.Подставляя сюда выражение для 
по формуле (35), с точностью до величин порядка получим
| (38) |
,откуда
| (39) |
,где 
– некоторая постоянная.
Так как величина мала, то, с точностью до 0(),
|
, 
,и из (36) и (37) получим
| (40) |
.В условиях рассматриваемой задачи есть периодическая функция и, как и выше (см. обоснование способа Э. Л. Позняка при малых ), приходим к выводу, что в формуле (39) = 0. В таком случае из (38), (39) и (40) следует, что
|
,а для получим (
– аддитивная постоянная):
| (41) |
.Отсюда находим проекции гидродинамической реакции на оси и (см. также формулы (10) и (11))
| (42) |
, 
.На стационарном режиме 
, 
, что достаточно близко к точному решению Л. Г. Степанянца 
[12].
Из (42) следует, что конвективные силы инерции (их влияние отражает первое слагаемое в формуле (42) для 
) стремятся увеличить эксцентриситет и, таким образом, отрицательно сказываются на устойчивости равновесного положения ротора. Для оценки устойчивости с учетом совместного влияния конвективных и локальных сил инерции воспользуемся подходом Э. Л. Позняка. Применительно к рассматриваемой сейчас плоской задаче система исходных уравнений оказывается аналогичной системе уравнений (17)…(19), с той лишь разницей, что составляющая скорости принимается равной нулю, а для определения квазистатической составляющей гидродинамического давления принимается 
и используется уравнение
|
.Кроме того, поскольку рассматривается бесконечно длинный подшипник, то, как и выше, условия на торцах не ставятся, но требуется, чтобы давление было периодической функцией от . В соответствии с подходом Э. Л. Позняка (ввиду малости он полностью оправдывается и в этом случае) условие периодичности давления сводится к обеспечению периодичности каждой из функций 
и 
.
В результате для определения гидродинамической реакции пленки нужно в формулах (29) положить (в условиях плоской задачи ) и к получившимся такими образом значениям и 
прибавить конвективную часть формул (42) (нуль в первой формуле (42) и 
– во второй). В итоге будем иметь
| (43) |
С учетом (43) дифференциальные уравнения движения центра масс ротора примут вид
| (44) |
Исследование тривиального решения этих уравнений
|
, 
, 
на устойчивость приводит к условию
| (45) |
,оказавшемуся значительно более жестким, чем условие, которое при вытекает из неравенства (31), полученного без учета влияния конвективных сил инерции.
Таким образом, вопреки установившейся точке зрения, согласно которой нелинейные слагаемые всегда могут быть отброшены (соответствующую аргументацию см. в [13, 14, 15]), в задачах динамики слабонагруженных роторов роль конвективных сил инерции оказывается существенной.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.
2. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. – М.: ГИТТЛ, 1955. – 519 с.
3. Е. Физическая природа масляных вибраций и теоретические основы нестационарных явлений в гидродинамических опорных подшипниках // Турбины и компрессоры, 2004. Вып. №3, 4 (28, 29). – С. 59–64.
4. Некоторые особенности кинематики и геометрии поверхностей трения и их влияние на гидродинамику масляной пленки // Турбины и компрессоры, 2005. Вып. №1, 2 (30, 31). – С. 63–68.
5. С., П., И. Динамика роторов в упругих опорах. – М.: Наука, 1982. – 280с.
6. Г. Устойчивость движения шипа в подшипнике при неустановившемся движении смазки // Труды семинара по теории машин и механизмов. – М.: АН СССР. т. XYII, вып. С. 30–45.
7. Л. Исследование устойчивости роторов на подшипниках скольжения //Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. 1963. №2. С. 102–120.
8. Г., А. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость движения шипа конечной длины // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. 1963. №12. С. 38–49.
9. Т. Интегрирование дифференциальных уравнений неустановившегося течения смазки и определение реакции смазочного слоя // Труды III Всесоюзной конференции по трению и износу в машинах, т. III. – М.: ИМАШ АН СССР, 1960. С. 115–121.
10. Подольский М. Е. Некоторые вопросы динамики роторов в гидродинамических подшипниках//12th International Scientific and Engineering Conference: Hermetic sealing, vibration reliability and ecological safety of pump and compressor machinery. Kielce–Przemysl, 9–12 September 2008. Volume 1. Kielce. 2008. C. 173–179.
11. Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1987. – 304 с.
12. Г. Учет инерционных членов в гидродинамической теории смазки. Тр. Ленинградского политехнического института, № 000, 1958.
13. Г., А. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения. – М.: Машиностроение, 1964. – 148 с.
14. Г., А. К теории колебаний высокооборотных легконагруженных валов на масляной пленке // Сб.: Современные проблемы теории машин и механизмов. – М.: Наука, 1965. С. 287–296.
15. П. Самовозбуждающиеся колебания роторов, вызванные масляной пленкой подшипников скольжения // Труды ЦКТИ, Котлотурбостроение. 1964. №44. С. 87–96.
Поступила в редакцию 28.05.2009
После доработки 20.10.2009
