Спектр случайного процесса с дискретным временем

Спектр случайного процесса с дискретным временем

1.  Определения

Закон распределения случайной величины может быть задан различными способами, в том числе с помощью характеристической функции

, (1)

где ― мнимая единица, ― плотность распределения. Характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности. Она может рассматриваться также как производящая функция моментов случайной величины. Действительно, разложив в ряд Маклорена, из (1) получаем

, (2)

где ― начальный момент порядка . Характеристической функцией пользуются наряду с плотностью или другими формами представления закона распределения случайной величины.

В некотором смысле аналогом для случайного процесса с дискретным временем служит функция

(3)

где ― коэффициент корреляции порядка , то же самое, что . Использование функции иногда проще приводит к нужным результатам. чем другие формы задания случайного процесса. Полагая , функцию (3) можно представить как производящую функцию автокорреляций

(4)

Функция называется спектральной плотностью. В силу четности коэффициентов автокорреляции получаем

(5)

Это означает, что величины являются коэффициентами в разложении в ряд Фурье по косинусам.

Умножая (5) на и интегрируя от 0 до , находим

(6)

Соотношения (5) и (6) свидетельствуют о том, что корреляционная функция и спектральная плотность однозначно определяются друг через друга.

График функции называется спектром. Из определения (5) следует, что имеет период и обладает симметрией . Поэтому спектр обычно изображают только на интервале . Часто вместо функции строят .

Еще одной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная функция

(7)

2.  Интерпретация спектральной плотности

Как известно, исчерпывающей характеристикой случайного процесса служит совокупность совместных распределений случайных величин – значений процесса в моменты времени при любом и любых . Оценить эти распределения по одному или нескольким временным рядам, практически невозможно.

Именно поэтому стационарные процессы с дискретным временем описываются более простыми, но зато практически реализуемыми способами:

1).  Моментами низких порядков: средним, дисперсией и ковариационной функцией.

2).  Параметрическим представлением в виде линейной комбинации текущего и предыдущих значений процесса, текущего и предыдущих значений белого шума, то есть в виде модели АРСС и ее частных случаев АР и СС моделей.

3).  Разложением по гармоникам, то есть с помощью спектральной плотности.

Все 3 способа однозначно взаимосвязаны, от любого из них можно перейти к двум другим. Но каждый способ привносит понимание некоторых особенностей процесса, позволяет почувствовать такие его свойства, которые не открываются, если пользоваться другими способами.

Первый из способов не нуждается в комментариях. Кстати, одно из определений стационарности случайного процесса (стационарность в широком смысле) состоит в требовании, чтобы среднее, дисперсия и ковариационная функция не зависели от времени.

Второй способ дает возможность генерировать реализации случайного процесса.

Нам осталось прокомментировать третий способ, то есть объяснить, как следует подходить к интерпретации спектральной плотности процесса.

Выше было показано, что спектральная плотность и ковариационная функция взаимосвязаны: коэффициенты автокорреляции служат коэффициентами Фурье спектральной плотности. Это значит, что коррелограмма и спектральная плотность однозначно определяют друг друга.

Понять, какие свойства случайного процесса характеризует спектральная плотность, помогают следующие выкладки. Рассмотрим функции

(8)

Эти функции имеют вид скалярного произведения и характеризуют силу взаимосвязи временного ряда с гармоникой периода .

Введем функцию . Имеем

Здесь ― оценка дисперсии, ― оценка коэффициента автокорреляции порядка , . Если то и в пределе получается

(9)

Таким образом, тем больше, чем сильнее взаимосвязь временного ряда с гармоникой периода .

Еще более прозрачную интерпретацию интенсивности можно получить путем следующих рассуждений. Найдем эту функцию для ряда

, (10)

где ― постоянная, ― некоторый стационарный процесс, не коррелированный с гармоническим неслучайным процессом .

Для вычисления функций и нам понадобятся формулы, которые без труда получаются, если воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии :

, . (11)

Построим функцию и рассмотрим ее при малых . Сумма мала по предположению, поэтому члены, содержащие в выражениях для и можно не принимать во внимание. Имеем

В силу формул (11) при все члены в выражениях для и стремятся к нулю за исключением слагаемого . При имеем .

Следовательно, , то есть в точке существует пик функции , высота которого имеет порядок .

Обычно спектр наряду с пиком на основной частоте имеет боковые пики на кратных частотах . Например, если пик спектра отвечает году, то с большой вероятностью будут также пики, отвечающие 6, 4, 3, 2, 1 месяцам.

Таким образом, спектральная плотность характеризует степень взаимосвязи между временным рядом и гармоникой с периодом (частотой ).

3.  Спектр марковского процесса

Для марковского процесса имеют место следующие соотношения а) б) при . Спектральную плотность найдем, пользуясь ее представлением в виде производящей функции (4), где ,

Спектр марковского процесса для случая изображен на рис. 1.

Рисунок показывает, что при в спектре преобладают низкие частоты, то есть гармоники с большими периодами.

4.  Спектр процесса

Рассмотрим процесс

. (12)

Для коэффициентов автокорреляции процесса получаем соотношение

. (13)

Левая часть равенства (13) равна . Правая же часть после деления на записывается как . Отсюда видно, что производящая функция автоковариаций процесса может быть представлена в виде , где ― производящая функция автоковариаций процесса . Полагая в соотношении (13) , получим

Если подставить сюда вместо и их выражения через , , то получим

(14)

Следовательно, спектральная плотность процесса (12) равна

где отношение дисперсий находится из формулы (14).

Рисунок 2. Спектр процесса АР(2) при

На рис. 2 изображен спектр процесса (12) при . Из графика видно преобладание частот в области максимума

5.  Спектральная плотность процесса

Использованная выше процедура для построения производящей функции процесса может быть обобщена. Рассмотрим процесс , линейно связанный с процессом

. (15)

Заметим, что производящую функцию автоковариаций этого процесса можно выразить через производящую функцию порождающего процесса . Для этого проведем преобразования

Отсюда видно, что коэффициент при автоковариации порядка ряда равен коэффициенту при в выражении , где ― производящая функция процесса . Это значит, что

(16)

Формула (16) дает также возможность построить производящую функцию автоковариаций для процесса в виде

(17)

Разделив (17) на и подставив вместо , получим спектральную плотность процесса.

Примечание. Рассуждения, которые привели нас к построению спектральной плотности процесс Юла (12) и общего процесса авторегрессии – скользящего среднего , могут быть представлены как одно из приложений так называемого -преобразования. Этот аппарат является аналогом преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа применяется к функциям континуального переменного, определенным на положительной полуоси, а -преобразование – к решетчатым функциям, определенным на множестве . -преобразование является наиболее удобным аппаратом для решения разностных уравнений.

(По этому вопросу см.

Гельфанд конечных разностей. – М.: Наука. 1967.

Чураков методы обработки экспериментальных данных в экономике: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004.)