Системы счисления

Системы счисления

Цель урока

Обучающая Создание условий для формирования понятия системы счисления

Развивающая В процессе решения проблемной ситуации и исследовании работы счётчика развитие учащимися представлений о способах представления числовой информации

Воспитывающая

Создание условий понимания процесса развития, как единственно-возможной формы существования цивилизации, уважения прошлого и ответственности за будущее.

Задачи урока

  познакомить учащихся с историей возникновения и развития систем счисления;

  указать на основные недостатки и преимущества непозиционных систем счисления;

  сформировать у учащихся понятие «непозиционные системы счисления».

Рекомендации к проведению урока

n  Блок подготовки к восприятию нового материала.

Результат блока: знание учениками понятий цифра, число, система счисления.

n  Блок изучения нового материала.

Результат блока: знакомство с понятием основания системы счисления, совершенствование понятия разряда, запоминание развёрнутой формулы записи числа.

n  Блок закрепления изученного материала.

Результат блока: умение записывать числа в любых системах счисления, сравнивать числа, записанные в позиционных системах с разными основаниями.

n  Блок подведения итогов урока.

Результат блока: качественная оценка деятельности учащихся на уроке.

План урока

Историческая справка. Из истории систем счисления.

В истории систем счисления выделяют несколько этапов: начальная стадия счета, непозиционные системы счисления, алфавитные системы нумерации, поместные или позиционные системы счисления.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой, вероятно, возникла унарная система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке).

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твёрдой поверхности: камне, дереве, глине (до изобретения бумаги было ещё очень далеко). Каждому мешку в такой «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тысяч лет до н. э.)

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем большее число надо записать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться – нанести лишнее количество палочек, или наоборот, не дописать палочки.

Поэтому позже эти значки стали объединять в группы (по 3, 5 и 10 палочек). Таким образом, возникали уже более удобные системы счисления. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счётные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса. Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые называются цифрами.

Цифры – это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит.

Что же такое тогда число?

Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывались. Но с появлением письменности число отделилось от предметов пересчёта и появилось понятие натурального числа. Дробные числа появились в связи с тем, что человеку потребовалось что-то измерять и единица измерения (эталон) не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Далее понятие числа развивалось в математике и сегодня считается фундаментальным понятием не только математики, но и информатики.

Число – это некоторая величина.

Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью цифр.

Все известные системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Последние являются в свою очередь результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Появились разные условные обозначения для различных чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Бумагу заменяли глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

В этой системе счисления использовали в качестве цифр ключевые числа 1, 10, 100, 1000 и т. д. и записывались они при помощи специальных иероглифов.

единицы сотни

десятки тысячи

Именно из комбинации таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялась не более девяти раз.

- Почему? (Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заменить одним числом, но на разряд старше. Например, ║║║║║ = ∩).

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. Вначале писали число высшего порядка, а затем низшего.

Пример 1.

Число 2376 «рисовалось» так: - два цветка лотоса (две тысячи); - три свёрнутых пальмовых листа (три сотни); - четыре дуги (четыре десятка); - два шеста (две единицы).

 

2.  Римская система счисления.

Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло:

Но, все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще — несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяща", "тьма", "легион", "леодр"... — все они получались при приписывании к "единице" — букве "аз" разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

Римская система счисления.

Знакомая нам римская система принципиально не намного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни: в книгах, в фильмах.

В ней для обозначения чисел используются знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенных модели) для 10, а для чисел 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов (Centrum – сто, Dimimille – половина тысячи, Mille - тысяча). V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

В римской системе счисления для обозначения цифр использовались следующие латинские буквы:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

Правила составления чисел в римской системе счисления:

Число равно:

a.  сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовём их группой первого вида);

b.  разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L (50) и C (100) из «младших» может стоять только X (10), перед D (500) и М (1000) – только С (100), перед V (5) – только I (1).

c.  Сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 2.

Записать число 444 в римской системе счисления.

 

Начальная стадия счета "характеризуется изображением сосчитываемых множеств при помощи частей тела, особенно пальцев рук и ног, палочек, узлов веревки и т. д. несмотря на крайнюю примитивность этого способа изображения, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа". И именно в этот начальный период было сделано одно из крупнейших открытий античной математики. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Примером является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н. э."

  На вопрос об измерительном происхождении позиционного принципа отвечает гипотеза Нейгебауера. Согласно этой гипотезе "основные этапы образования позиционной системы в Вавилоне были таковы:

1) установление количественного соотношения между двумя самостоятельными существовавшими системами мер

2) опускание названий разрядовых единиц при письме".

"позиционная шестидесятеричная система: оказалась вполне естественным конечным результатом долгого развития, ничем принципиально не отличающегося от аналогичных процессов в других культурах".

 Позиционные системы счисления

  Появление позиционной системы обозначения чисел считается одной из основных вех в истории материальной культуры. В ее создании принимали участие целые народы. В 6 в. н. э. подобная система возникла у племени майя. Наиболее распространено мнение, что основанием системы счисления майя является число 20, имеющее "пальцевое" происхождение. Однако известно, что в системе майя есть одно отступление от двадцатеричного основания. Вес следующего за узловым числом 20 индейцы майя выбрали равным 360 (а не 400). Все последующие веса разрядов являются производными от чисел 20 и 360, которые и выступают в роли узловых чисел, образующих систему майя. год майя делили на 18 месяцев, по 20 дней в каждом, плюс еще пять дней". Таким образом, как и основание вавилонской системы, узловые числа системы майя имеют астрономическое происхождение. Существенно подчеркнуть, что годовой календарь майя по своей структуре (360+5) совпадал

  Мы для повседневных вычислений используем десятичную систему счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас () выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:

  "Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".

Лаплас ()

"Девять индусских знаков - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски zephirum, можно написать какое угодно число".

Леонардо Пизано Фибоначчи ()

Что касается выбора числа 10 в качестве основания десятичной системы счисления, то существует общепринятое мнение, что оно имеет "пальцевое" происхождение. Однако не следует забывать, что в древней науке число 10 всегда несло в себе особую смысловую нагрузку. Пифагорейцы называли его четверицей или тетрактидой.

Лозунг «Всё есть число».

Так говорили пифагорейцы, подчёркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведёт семейный бюджет и т. д. и т. п. Числа, цифры… они с нами везде.

Изучение нового материала

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

Простота выполнения арифметических операций. ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Позиционных систем очень много, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньше 2.

Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу.

Таблица 1

Название	Основание	Цифры	Где используется
Двоичная	2	0,1	в ЭВМ
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	в ЭВМ
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А10 В11 С12 D13 E14 F15	в ЭВМ
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	В современной повседневной жизни
Двенадцатеричная	12 (дюжина)	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, знак, знак	В мире до первой трети XX века
Пятеричная	5	0, 1, 2, 3, 4	В Китае

Пояснение: обведите рамку системы счисления, используемые в ЭВМ.

Развёрнутая форма записи числа

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:

Аq = ± (аn-1 qn-1 + an-2 qn-2+ … а0q0 + a-1q-1+а -2q-2+… a-m q-m) – развёрнутая форма записи числа.

Здесь:

А – само число;

q – основание системы счисления;

а1 – цифры данной системы счисления (an-2; an-1 и др.);

n – число разрядов целой части числа;

m – число разрядов дробной части числа.

Итоги урока

Для оценки работы учащихся на уроке удобно подготовить следующую карту, определив при этом шкалу оценок:

Ф. И.	вопросы	рацпредложения	Решения задач	итого
плюсиков	оценка
Иванов	+++	+++	+	7	хор
Петров	++++	++++	++	10	отл
Сидоров	++	++	+	5	уд