Лабораторная работа № 3 «Идентификация параметров ЛДД объекта на основе прямого МНК и прямого компенсационного МНК»

Лабораторная работа № 3
«Идентификация параметров ЛДД объекта

на основе прямого МНК и прямого компенсационного МНК»

1. Цель работы

Исследовать возможности идентификации параметров линейного дискретного динамического (ЛДД) объекта алгоритмами на основе прямого МНК (ПМНК) и прямого компенсационного МНК (ПКМНК) по измеряемым входному и зашумленному аддитивной помехой выходному сигналам. Оценить влияние корректирующих параметров алгоритмов на ошибки идентификации и помехоустойчивость.

2. Постановка задачи

Идентифицируемый объект задается математической моделью в виде дискретной передаточной функции (ДПФ) согласно варианта в табл. 3.1. Задание ДПФ может осуществляться либо непосредственно коэффициентами полиномов знаменателя и числителя ДПФ, либо полюсами и нулями, которые далее пересчитываются в коэффициенты. Входной псевдослучайный сигнал и помеха считываются из файлов данных «XX. dat» и «PY. dat» соответственно, либо генерируются программно в виде псевдослучайных последовательностей с равномерным или нормальным законами распределения. В любом случае помеха и входной сигнал между собой не коррелируют. Выходной сигнал вычисляется путем решения разностного уравнения объекта.

Ставится задача оценивания параметров ДПФ при известных порядках полиномов числителя и знаменателя и исследования влияния корректирующих параметров на точность и помехоустойчивость алгоритмов ПМНК и ПКМНК.

3. Порядок выполнения работы

1. Сравнить влияние свойств входных сигналов и помех на ошибки идентификации. Для этого выбрать равномерный закон распределения псевдослучайных сигналов, задать RND=5, N=1000, широкополосную (ШП) помеху уровня =0,1, зафиксировать параметры (SNR, ) и характеристики (закон распределения) сигнала, оценить параметры объекта и записать среднеквадратичные ошибки идентификации.

Провести эксперимент с нормальным законом распределения псевдослучайных сигналов. Сравнить результаты.

2. Повторить поз. 1 для N=3000 и N=6000. Сравнить результаты.

3. Исследовать влияние параметра RND – случайного числа, осуществляющего запуск генератора псевдослучайных (равномерный закон распределения) сигналов на качество идентификации при N=3000 и ШП помехе уровня

=0,1. Значение параметра RND изменять в диапазоне [5, 1005] с шагом =50. Зафиксировать график , а также кривые распределения при минимальном и максимальном значениях . Сравнить результаты.

Провести эксперимент с нормальным законом распределения псевдослучайных сигналов. Сравнить результаты.

Таблица 3.1

№	n m
1	2 2	-1,3	0,6	-	-	1,0	0,5	0,5	-
2	3 1	-1,0	0,3	0,1	-	1,0	0,5	-	-
3	4 2	0,2	0,3	-0,1	-0,2	1,0	1,4	0,4	-
4	2 2	-1,0	0,41	-	-	1,0	1,4	0,53	-
5	2 1	-1,1	0,2	-	-	0,2	0,3	-	-
6	3 1	-1,0	0,3	0,1	-	1,0	0,5	-	-
7	3 3	0,6	0,4	0,2	-	1,0	2,5	2,0	0,5
8	2 1	-0,6	0,34	-	-	1,0	0,8	-	-
9	2 2	1,6	0,73	-	-	1,0	-1,0	0,34	-
10	4 3	-0,6	0,5	-0,15	0,1	1,0	2,4	2,0	0,7
11	2 2	-1,2	0,4	-	-	0,1	0,7	0,4	-
12	2 1	-0,9	0,1	-	-	1,0	0,3	-	-
13	3 2	-0,9	0,5	-0,1	-	0,1	0,2	0,3	-
14	2 2	-0,6	0,2	-	-	0,0	0,4	0,3	-
15	4 1	-0,7	0,4	0,1	-0,1	1,0	0,7	-	-
16	3 3	0,6	0,2	-0,15	-	0,0	0,1	0,4	0,3
17	2 0	-1,5	0,65	-	-	1,0	-	-	-
18	3 2	-1,3	0,9	-0,2	-	1,0	1,2	0,4	-
19	4 3	-1,4	0,6	-0,3	0,22	1,0	-0,5	0,4	2,0
20	3 1	-1,95	1,63	-0,55	-	1,0	-0,1

4. Выбрать более подходящие для идентификации сигналы (см. поз.1 и поз. 3) и исследовать влияние параметра N на ошибки идентификации, положив уровень ШП помехи =0,25. Значение параметра N изменять в диапазоне [50, 1000] с шагом =50 и далее в диапазоне [1000, 15000] с шагом =1000.

5. Исследовать помехоустойчивость алгоритмов ПМНК и ПКМНК, изменяя уровень ШП помехи в диапазоне с шагом =0,1. Значения остальных параметров сигналов и алгоритмов должны соответствовать минимальным ошибкам идентификации.

Примечания:

- входной сигнал и помеха на выходной сигнал могут считываться из файлов «XX. DAT» и «PY. DAT» соответственно, поэтому в папке вместе с выполняемым модулем должны присутствовать и указанные файлы;

- для получения графиков АЧХ объекта и спектров помех необходимо задать шаг дискретизации по времени =0,1 необходимый при выполнении дискретного преобразования Фурье.

4. Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Краткое описание методики формирования линейной алгебраической системы уравнений и алгоритмов идентификации ПМНК и ПКМНК.

4. Результаты идентификации и исследований алгоритмов ПМНК и ПКМНК:

рисунки АЧХ объекта, спектра помехи и кривых законов распределения (равномерный и нормальный) для N=1000 и N=6000, а также таблица с параметрами (SNR, ) сигналов и помех;

графики зависимости , а также кривые распределения (для двух законов) при минимальном и максимальном значениях ;

графики зависимости при ШП помехе =0,25;

графики зависимости для ШП помехи ;

таблицы со значениями истинных параметров объекта, их оценки и ошибки идентификации для одного варианта совокупности квазиоптимальных значений параметров алгоритмов и сигналов при ШП помехе уровня =0,25.

5. Анализ полученных результатов и выводы.

5. Основные теоретические положения

Пусть ЛДД объект описывается математической моделью в виде линейного разностного уравнения

, , , (3.1)

которое может быть представлено в операторной форме

, (3.2)

, ,

.

Уравнению (3.1) соответствует дискретная передаточная функция (ДПФ)

. (3.3)

С учетом помех уравнение (3.2) записывается в виде

, (3.4)

где так называемая обобщенная помеха определяется выражением

.

Соотношение (3.4) при представляет собой систему линейных алгебраических уравнений

(3.5)

относительно неизвестных коэффициентов и .

Система (3.5) с учетом обозначений

, ,

, ,

записывается в векторно-матричной форме

(3.6)

или

. (3.7)

Преобразуем (3.7) к виду

, (3.8)

где

,

,

,

– оператор усреднения на конечном интервале .

Из-за неизмеримости обобщенной помехи решение системы (3.8) осуществляется МНК из условия минимума функционала

в результате чего оценка искомых коэффициентов является решением усеченной системы

и формально определяется в виде

. (3.9)

Элементы матрицы и векторов и представляют собой отсчеты смещенных (построенных по не центрированным реализациям) выборочных (при ограниченном ) корреляционных функций соответствующих сигналов, что позволяет для получения улучшенной (по сравнению с оценкой МНК ) оценки воспользоваться статистическими алгоритмами уточнения.

Для этого проанализируем состоятельность оценки . Более близкое рассмотрение вектора ковариации помехи из (3.8) показывает, что

, (3.10)

причем , что следует из предположения о некоррелируемости сигналов и . Подчеркнем, что в (3.10) матрица имеет размерность [ x ()], а - единичная матрица порядка n. С учетом (3.8) и (3.10) соотношение (3.9) преобразуется к виду

, (3.11)

откуда видно, что является несмещенной оценкой , тогда и только тогда, когда , а именно, если обобщенная помеха является белым шумом. Данный факт при решении практических задач очень специфичен. Как правило представляет собой «цветной шум», что приводит к смещенности обычной МНК оценки, и эта смещенность определяется вектором шума .

Из выражения (3.11) следует, что оценка может быть уточнена в виде

, (3.12)

где - оценка, полученная за счет компенсации неизмеримого вектора правой части (3.11) при условии, что вектор может быть оценен. Таким образом, для получения несмещенной оценки (3.12), необходимо дать оценку вектора .

Для этого, сначала рассмотрим вспомогательную ДПФ, эквивалентную (3.3), но с другим порядком полинома числителя. Такая ДПФ будет иметь вид

, (3.13)

где новый вектор идентифицируемых параметров

, (3.14)

причем

, .

Поведение вход/выход объекта, описываемого ДПФ , должно быть эквивалентно поведению объекта, описываемого ДПФ . Однако, существенное различие между ними в том, что имеет более высокий порядок полинома числителя модели, в то время как имеет порядок полинома числителя . Для удобства написания и восприятия новые переменные, введенные в эквивалентную модель , отмечены тильдой.

По аналогии с (3.9), МНК оценка вектора искомых параметров ДПФ (3.13) находится как

(2.16)

где , , а вектор представлен в виде

(2.17)

Подобно (3.11), анализ показывает, что

, (2.18)

где имеет мерность х (). Важно отметить, что в (2.12) и (2.18) смещение оценок и определяется одним и тем же вектором шума .

Далее можно получить выражение для МНК оценки промежуточного вектора параметров и использовать их для определения оценки . Имея ввиду специфичную структуру вектора , данную в (2.17), можно представить матрицу и вектор в следующих блочных формах

, , (2.19)

,

,

.

Обращение матрицы дает

, (2.21)

где

. (2.22)

Объединение (2.16) и (2.21) приводит к

. (2.23)

С другой стороны, из (2.15), (2.18) и (2.21) следует, что

. (2.24)

Тогда, приравнивая (2.23) и (2.24) по , получаем

(2.25)

Из (2.25) следует

. (2.26)

Таким образом, полученная из (2.26) оценка вектора может быть использована в (2.13) для компенсации смещенности оценок идентифицируемых параметров вектора .

На практике может быть получено только конечное множество данных входа/выхода. В этом случае неизвестные в выражениях (2.10) и (2.26) могут быть оценены в виде

, 2.27)

, (2.28)

в результате чего, ПКМНК может быть представлен следующим образом.

1.  Вычисляются ковариационные оценки , , и по выражениям (2.27) и (2.28).

2.  Определяется МНК оценка

. (2.29)

3.  Оценивается вектор шума согласно (2.26)

. (2.30)

4.  Получение ПКМНК- оценок

. (2.31)

5.  Контрольные вопросы

1. Формирование линейной системы алгебраических уравнений для оценивания параметров ЛДД модели, отличие от случая идентификации ЛНД модели.

2. Причины возникновения ошибок идентификации параметров алгоритмом на основе ПМНК. Влияние корректирующих параметров алгоритма на ошибки идентификации (объяснить и проиллюстрировать результатами).

3. Суть ПКМНК параметрической идентификации. Сравнить результаты алгоритмов МНК и ПКМНК.

4. Помехоустойчивость алгоритмов МНК и ПКМНК. Факторы, влияющие на их помехоустойчивость.

5. Влияние свойств входного сигнала и помех на ошибки идентификации.