ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛОЖЕНИЯ

И МАСШТАБА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Пермский филиал государственного университета

Высшая школа экономики, г. Пермь

Основы доверительного оценивания и построения наилучших доверительных интервалов

Пусть - независимая повторная выборка из некоторой совокупности с параметрами

Доверительный интервал для некоторого параметра функции распределения есть, нестрого говоря [3], интервал в параметрическом пространстве, определяемый какой-либо парой статистик наблюденной выборки накрывающий «истинную» параметрическую точку с вероятностью не меньшей заданного значения . Величину называют доверительной вероятностью.

В тех случаях, когда существует возможность нахождения функции от результатов наблюдения , закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра, наиболее распространенным подходом в построении доверительных интервалов является точный метод.

Например, статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы [4]. Поэтому, двусторонний доверительный интервал для параметра нормальной совокупности имеет вид:

где - односторонний квантиль распределения Стьюдента с степенью свободы, - выборочное среднее и выборочная дисперсия, соответственно.

Для построения интервальной оценки параметра воспользуемся тем фактом, что статистика имеет распределение Хи-квадрат с степенями свободы [1]. Доверительный интервал для параметра (среднеквадратичного отклонения) имеет вид:

где - квантиль распределения хи-квадрат.

Одной из наиболее широко изучаемых проблем в статистической теории является проблема построения хороших доверительных множеств для параметра , причем как скалярного, так и векторного [3].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При классическом подходе, когда имеет распределение , часто применяется подход, заключающийся в минимизации вероятности накрытия ошибочных значений параметра, если вероятность накрытия истинного значения параметра достаточно велика. Другими словами, желательно найти семейство множеств минимизирующих при ограничении для любого . В литературе такие множества часто называют равномерно наиболее точными доверительными множествами. Но такие доверительные множества часто не существуют даже в классе инвариантных доверительных множеств. Вместо этого часто рассматривается проблема нахождения множества наименьшего размера при ограничении вида для любого .

Такие доверительные интервалы рассматривал Пратт [18,19]. Пратт показал, что минимизация средней длины доверительного интервала связана с минимизацией вероятности накрытия значений параметра, отличных от истинных. Он показал, что в случае двухсторонних доверительных равномерно наиболее точных несмещенных (р. н.т. н.) доверительных интервалов ожидаемая длина интервалов также минимальна. В случае односторонных доверительных интервалов аналогичного заключения сделать нельзя. Этот феномен был проиллюстрирован в работах Пратта [18] и Маданского [16].

Размер доверительного множества измеряется посредством , где - неотрицательная мера, определенная на параметрическом пространстве. В задачах с непрерывным параметром в качестве обычно принимают меру Лебега, а в случае дискретного параметра в качестве может быть взята считающая мера. Такой подход в доверительном оценивании можно встретить в работах Хотеллинга (1939), Брауна (1986), Кохена и Стравдермана (1973), Хванга и Казеллы (1982), Неймана (1986) и Вийсмана (1979), Вайна (1984) и Леманна (1986).

Пусть случайная величина со значениями на отрезке вещественной прямой, плотность распределения которой принадлежит семейству , которое будем называть семейством сдвигов независимо от того один или оба параметра ( – положения, – масштаба) неизвестны. Так как , где имеет плотность распределения , то известный параметр можно просто опускать, полагая, что включает множитель , если он известен, а при известном принять в качестве наблюдаемой величины. С учетом этого, можно охватить все три случая единой записью, используя для обозначения пары символ , а для преобразования – . В каждом из трех случаев множество всех преобразований образует группу, символами будем обозначать тождественное преобразование (единицу группы) и преобразование обратное к . Будем предполагать, что для семейств, зависящих только от параметра масштаба и для двух других случаев. При этом общая плотность семейства запишется в виде , где равно .

Рассматривается следующий точный метод построения доверительных множеств: выбирается эквивариантная статистика , а затем ищется множество такое, что , где - доверительная вероятность. Поскольку эквивариантна, вероятность в левой части не зависит от параметра, а ограничение на параметр под знаком этой вероятности определяет доверительное множество. Приведем необходимые далее определения [8,10].

ЛИТЕРАТУРА

1.  Бочаров вероятностей. Математическая статистика / , . - М.:Наука, 19с.

2.  Дынкин и достаточные статистики для семейств вероятностных распределений / . // Успехи мат. наук. - МВып.6. - С.68-90.

3.  Теория статистических выводов/Ш. Закс - М.: Мир,19с.

4.  Ивченко статистика / , . - М.:Высшая школа, 19с.

5.  К теории оценивания параметра масштаба / , // Теория вероятностей и ее применениеВып.4. - С.313-322.

6.  Каган оценивания для семейств с параметрами сдвига, масштаба и экспонентных / // Труды ЛОМИ АН СССР. - Л: Наука, 1968. - С.19-87.

7.  Каган задачи математической статистики / , , . - М:Наука, 19с.

8.  Клебанов оценки и достаточные статистики/ // Теория вероятностей и ее применениевып. 2. - С.392-397.

9.  О семействах распределений, зависящих от параметра сдвига и обладающих достаточной статистикой ранга, не больше двух / , // Теория вероятностей и ее применениевып. 3. - С.604-611.

10.  Клебанов оценки плотностей и характеризация смейств распределений с достаточной статистикой для параметра сдвига / // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. - Л: Наука, 1978. - С. 11-16.

11.  Радионова множества для параметра положения и масштаба / , // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм. ун-тС.29-44.

12.  Рухин параметра врещения на сфере / // Ученые записки ЛОМИ АН СССР. - Л.: НаукаТ.29. - С.74-92.

13.  Сапожников методы нахождения распределений некоторых статистик / // Теория вероятностей и ее применение.-1992.-вып. 2. - C.800-801.

14.  Сапожников алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвуз. сб. науч. тр. - Пермь: Перм. ун-тC. 200-216.

15.  Сапожников сдвигов, допускающие нетривиальные достаточные статистики / // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвуз. сб. научн. трудов. Пермь: Перм. ун-т.- 1995.-С. 137-150.

16.  Madansky A. More on length of confidens intervals / A. Madansky // Journal of the American Statistical Association.- 1962.- vol.57.- P.586-589.

17.  Pitman E. The estimation of location and scale parameters of a continuous population of any given form / E. Pitman // Biometrika.- 1939.- v.30.- P. 391-421.

18.  Pratt J. W. On a general concept of «In probability» / J. W.Pratt // Ann. Math. Statist.- 1959.- P.549-558.

19.  Pratt J. W. Length of confidence intervals / J. W. Pratt // Journal of the American Statistical Association.- 1964.- v.56.- P.260-272.

20.  Stasy E. W. A generalization of gamma-distribution / Stasy E. W. // Ann. Math. Statist. -1962.-v.28.- P..