Поспи студент!

. Случайным вектором или n-мерной случайной величиной называют

упорядоченный набор из n случайных величин

Величина коэффициента корреляции заключена в пределах

Вероятности состояний марковского случайного процесса – это

Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,3. Тогда вероятность наступления 75 успехов при 200 испытаниях может быть определена с помощью

теоремы Муавра-Лапласа

Вероятность того, что в столбике из 150 наугад отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет от 50 до 75, может быть определена с помощью теоремы

Муавра-Лапласа

Всхожесть семян некоторого растения равна 0,8. Тогда вероятность того, что из 1000 посаженных семян число проросших будет заключено между 750 и 850, можно определить с помощью

теоремы Муавра-Лапласа

Дискретный случайный вектор – это

случайный вектор, компоненты которого дискретные случайные величины

Дисперсия суммы двух случайных величин равна

Для зависимых случайных величин соотношение при

справедливо, если

Для однородного марковского процесса плотности вероятностей перехода

не зависят от

Для однородных цепей Маркова матрица переходов

не зависит от времени

Для плотности распределения непрерывной двумерной случайной величины справедлива нормировка : , равная

1

Если и независимые случайные величины, то характеристическая функция их суммы равна

Если две независимые случайные величины распределены по закону Пуассона с параметрами и , то их сумма имеет распределение

Пуассона с параметром

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их разности равна

Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна

Если случайные величины и связаны линейной зависимостью (где , – любое), то коэффициент корреляции равен

+1

Если случайные величины и связаны линейной зависимостью (где , – любое), то коэффициент корреляции равен

–1

Если случайные величины независимы, то ковариация равна

0

Закон распределения дискретного случайного вектора – это совокупность всех возможных значений данного вектора и вероятностей , равных

Значение функции распределения двумерной случайной величины при равенстве аргументов есть

1

Игральную кость бросают 100 раз. Чтобы найти границы, в которых будет заключено число выпадений тройки с вероятностью 0,95, можно воспользоваться

теоремой Муавра-Лапласа

Ковариационная матрица случайного вектора – это матрица, состоящая из элементов , равных

Ковариация случайных величин и определяется как

Композиция (или свертка) плотностей распределения двух случайных величин и , имеющих плотности распределения соответственно и , – это выражение вида

Марковский процесс называется однородным, если

вероятности перехода за единицу времени не зависят от того, где на оси времени происходит переход

Математическое ожидание и дисперсия - распределения с n степенями свободы равны соответственно

Математическое ожидание суммы случайных величин равно

сумме их математических ожиданий

Независимые случайные величины и имеют соответственно характеристические функции и , тогда характеристическая функция их суммы равна

Независимые случайные величины имеют распределение Пуассона с параметрами и . Тогда сумма распределена по закону Пуассона с параметром , равным

2

Некоррелированность случайных величин из их независимости

следует

Некоррелированные случайные величины быть зависимыми

могут

Непрерывный случайный вектор – это

случайный вектор, компоненты которого – непрерывные случайные величины

Неравенство Чебышева имеет вид

Переходные вероятности марковского процесса – это вероятности перехода процесса из одного состояния в любое другое так, что равна

Плотность вероятности перехода определяется для

марковского процесса с непрерывным временем и с дискретными состояниями

Плотность распределения и функция распределения двумерной случайной величины связаны соотношением

По теореме Муавра-Лапласа вероятность неравенства при больших вычисляется следующим образом:

При больших соотношение

справедливо, если подчиняются биномиальному закону распределения

Производство дает 1,5% брака. Тогда вероятность того, что из взятых на исследование 1000 изделий выбраковано будет не больше 15, может быть определена с помощью теоремы

Муавра-Лапласа

Пуассоновский процесс – это

случайный марковский процесс с дискретными значениями и вероятностями состояний

Пусть – плотность вероятностей случайного вектора , и – плотности вероятностей координат этого вектора, причем , тогда случайные величины и

зависимы

Пусть – плотность вероятности случайного вектора , и – плотности вероятностей координат этого вектора, причем , тогда случайные величины и

независимы

Пусть , где одинаково распределены и , . Утверждение

справедливо, если независимы

Пусть и – случайные величины и ( – число). Для их характеристических функций формула

всегда справедлива

Пусть и – случайные величины и ( число). Для их характеристических функций формула

всегда справедлива

Пусть две независимые случайные величины и имеют дисперсии и , тогда равно

5

Пусть случайные величины и связаны зависимостью , тогда коэффициент корреляции равен

1

Пусть случайные величины и связаны зависимостью , тогда коэффициент корреляции равен

–1

Пусть случайные величины и таковы, что , – характеристическая функция , тогда характеристическая функция равна

Пусть случайные величины и таковы, что , – характеристическая функция , тогда характеристическая функция равна

Свойство переходных матриц цепи Маркова –

все их элементы неотрицательны и их суммы по строкам равны 1

Случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Тогда вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не менее чем на , имеет оценку сверху

0,04

Случайная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию – 1, тогда вероятность того, что величина отклонится от нуля не меньше чем на 3, имеет оценку сверху

1/9

Случайная величина линейно зависит от случайной величины ( ), тогда коэффициент корреляции равен

1

Случайные величины и называют независимыми, если функция распределения вектора может быть представлена в виде

Случайный процесс – это

семейство случайных величин , где параметр бесконечному множеству значений

Случайный процесс с дискретным временем – это семейство случайных величин

где принимает дискретные значения

Случайный процесс с непрерывным временем – это семейство случайных величин , где

изменяется на некотором интервале (конечном или бесконечном)

Состояние системы (или состояние случайного процесса) – это

возможное значение случайного процесса

Среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию (если последнее существует)

если опыты независимы и их число достаточно велико

Среднее время возвращения в состояние в цепи Маркова равно

, где – предельная вероятность состояния

Среднее время пребывания в состоянии за время в цепи Маркова равно

, где – предельная вероятность состояния

Сумма вероятностей , составляющих закон распределения двумерного дискретного случайного вектора, равна

1

Термины "некоррелированные" и "независимые" случайные величины эквивалентны для случая

нормального распределения

Уравнения Колмогорова позволяют найти

вероятности состояний в марковском процессе

Условная функция распределения случайной величины при условии есть

Утверждение

верно, если – попарно независимы и для всех

Утверждение о том, что функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией

всегда справедливо

Формула

всегда верна

Формула

всегда верна

Формула

верна для независимых и

Формула

верна

Формула для коэффициента корреляции имеет вид

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию двух переменных , равную

Характеристическая функция случайной величины – это функция

Хи-квадрат распределение с n степенями свободы – это функция распределения случайной величины , где – независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону

нормальному с параметрами и

Цепь Маркова – марковский случайный процесс с

дискретным временем и дискретным конечным множеством состояний

Частота события сходится по вероятности к его вероятности при увеличении числа опытов

если событие рассматривается в схеме Бернулли

Чтобы определить, сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, когда с вероятностью 0,9 ожидать отклонение частоты выпадения "герба" от 0,5 на абсолютную величину меньшую чем 0,02, следует воспользоваться

теоремой Муавра-Лапласа

Электростанция обслуживает сеть, в которой 2000 ламп, вероятность включения каждой из них в зимний вечер равна 0,8. Вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет более 1800, можно определить с помощью

теоремы Муавра-Лапласа