Связь параметров однородных электрических цепей и чисел последовательностей Фибоначчи

УДК 621.372

СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ЧИСЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ФИБОНАЧЧИ

к. т.н., почетный проф. БелГУТ, академик МАС

Белорусский государственный университет транспорта (БелГУТ)

Введение. В науке и технике широкое применение находят однородные электрические цепи. На практике однородные электрические цепи также широко используются для моделирования различных структур и процессов (цепей связи и телемеханики, линий электропередач, соединительных линий микросхем и др.), связанных с передачей энергии, сигналов и др. [1].

Настоящая статья является продолжением ранее опубликованных работ [2, 3] по исследованию параметров однородных электрических цепей с помощью числовых последовательностей Фибоначчи, их связи с цепными матрицами и последних с соотношениями Кассини и гиперболическими функциями.

Уравнение передачи электрической цепи. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из цепного (каскадного) соединения трех (n = 3) простейших - (рис.1) и Г-образных (рис.2) четырехполюсников с R1 = R2 = 1.

Рисунок 1 – Однородная -образная электрическая цепь

Рисунок 2 – Однородная Г-образная электрическая цепь

Соотношения между величинами напряжения и тока на входе Uн,, Iн и выходе Uк, Iк цепи определяются уравнениями передачи:

, (1)

где А, В, С и D – коэффициенты пропорциональности [3]. Входящие в уравнения (1) коэффициенты пропорциональности А, В, С и D можно представить также в виде цепной матрицы типа А [3].

(2)

определитель которой, равен

∆ = АD – BC = 1. (3)

Определиявляется основным уравнением передачи электрических цепей. Здесь обратим внимание, что основное уравнение передачи электрической цепи (3) включает три независимых параметра, четвертый параметр определяется по уравнению связи (3). Он всегда равен единице. Это важное свойство потому, что по своей сути определикак основное уравнение передачи цепи совпадает с известным соотношением Кассини [4]. Однако до настоящего времени этого никто не отмечал. В то же время определиявляется фундаментальным уравнением в теории электрических цепей, и (3) изначально связан с анализом и синтезом электрических цепей, в основе которых лежат гиперболические функции [4].

Основное уравнение передачи (3) можно представить также в ином виде

ch2 g – sh2 g = 1, (4)

где g – постоянная передачи цепи

В общем случае постоянная передачи цепи – комплексное число и определяется выражением:

g = а + jb = , (5)

где а – постоянная затухания цепи; b – фазовая постоянная; Uн и I1 – напряжение и ток на входе цепи (см. рисунок 1 и 2); Uк и Iк – напряжение и ток на выходе цепи, нагруженной на характеристическое сопротивление .

В том случае, когда g действительное число или, что то же самое

АD = х2 и ВС = у2

выражение (4) точно соответствует уравнению равнобокой гиперболы х2 + у2 = 1.

Таким образом, основное уравнение передачи (3) и его коэффициенты А, В. С и D связаны с гиперболическими функциями (5).

AD = ch2 g, BC = sh2

или

sh

Постоянной передачи электрической цепи g соответствует соотношение:

(6)

Основное уравнение также связано с последовательностями Фибоначчи. Как известно, в основу последовательности чисел Фибоначчи:

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 …,

1… (8)

положено рекуррентное соотношение Fn = Fn–1 + Fn–2, с начальными числами F1 = 1 и F2 = 1, n > 2. В некоторых случаях рекуррентная последовательность (1) начинается с чисел F1 = 1 и F1 = 2 :

F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 …,

34 55 … (9)

При этом обратим внимание, что последовательность (9) представляет собой сумму чисел двух последовательностей (8), сдвинутых на одну позицию Fn + Fn–1. Такие двойные последовательности рекуррентных чисел характерны для многих структур природы, например, ДНК, филлотаксис и др. Двойными являются и более сложные последовательности – Люка, обобщенные и др.

Из последовательности (8) следует известное соотношение Кассини

Fп-1Fп + 1 – = (–1)п. (10)

Соотношение Кассини одно из интересных свойств чисел Фибоначчи, установленных в 1860 г. французским астрономом Жан-Домеником Кассини (1625–1712).. Намного раньше (1608) это соотношение было известно Иоганну Кеплеру (1571–1630) [5].

Цепная матрица (2) однородных электрических цепей (см. рис. 1 и 2) связана с числами Фибоначчи соответствующими матрицами:

, . (11)

где n – число четырехполюсников в цепи.

Матрицам (11) соответствуют следующие уравнения передачи

F2n–1F 2n+1 – F22n = 1, F2n+1F 2n-1 – F22n = 1, (12)

которые совпадают с соотношением Кассини.

Из уравнений передач (3) и (11) также следует:

(13)

Решая (13), (14) относительно А, В. С и D , получаем формулы связи коэффициентов основного уравнения цепи и гиперболических функций:

, B = sh g, C = sh g, .

Заключение. Связь параметров однородной электрической цепи с числами последовательностей Фибоначчи подтверждают фундаментальность электрических моделей структур природы, науки и техники [1]. Здесь обратим внимание на идентичность основного уравнения электрической цепи (2) и соотношения Кассини (2). Уравнение и соотношения были установлены в различные эпохи и по различным причинам. Однако позволю себе утверждать, что уравнение (2) и соотношение (10) отражают фундаментальные свойства Мироздания, а также многих структур в науке и технике. Так, например, многие системы управления производством, в том числе обществом, имеют многоуровневые иерархические структуры, которым соответствует модель в виде многозвенной однородной электрической цепи (см. рис. 1 и 2). Все уровни модели иерархических системы (токи и напряжения цепей) жестко связаны между собой. Скрепом уровней являются триады рекуррентных чисел Фибоначчи, определяемые соотношением Кассини или основным уравнением электрической цепи. Изменение какого-либо параметра независимых параметров цепи приводит к изменению структуры всей системы. В устойчивых иерархических системах должны быть устойчивые составляющие уровней (токи и напряжения соответствующих звеньев цепи). В таких иерархических системах на смену законам диалектики (А + В = 1) приходит законы триалектика (АВ + C = 1) [8]. Так ли это, задача следующих исследований.

Список литература:

1. Семенюта модели золотого сечения и рекуррентных последовательностей чисел / // Гармоническое развитие систем – третий путь человечества. – креативных технологий». – Одесса, 2012. – С. 87–94.

2. Семенюта математики гармонии в теории линейных электрических цепей // Международные исследования в науке и образовании. / // –2012. –№ 1; URL: www. es. *****/mino/62-197.:

3. О связи основного уравнения четырехполюсника и рекуррентных последовательностей чисел Фибоначчи // Междисциплинарные исследования в науке и образовании. – 2012. – № 1 K; URL: www. es. *****/mino/ .

4. Гарновский основы электропроводной связи: часть 1 / . – М.: Связьиздат, 1956. – 692 с.

5. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. – М.: Мир, 1998. – 703 с.

6. Stakhov A. The Mathematics of Harmony – From Euclid to comtemporary Mathematics and Computer Science / А. Stakhov. – World Scientific. 2009. – 676 c.

7. О связи рекуррентных числовых последовательных и гиперболических функций / // Применение АВМ и ЭЦВМ к решению некоторых задач механики деформируемых тел. – Гомель : БелИИЖТ 1972. – Вып. 114. – С. 39–43.

8. Сергиенко модель гармонии энергетического пространства Вселенной и ее оппоненты (эссе-очерк). Глава 3. Триалектическая логика и триалектический метод познания действительности // «Академия Тринитаризма», М., Эл , публ.17666, 24.09.2012.