Остаточные напряжения в упругопластическом пространстве, связанные с расширением сферической полости при задании перемещений точек ее границы

ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ, СВЯЗАННЫЕ С РАСШИРЕНИЕМ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ ПРИ ЗАДАНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ТОЧЕК ЕЕ ГРАНИЦЫ

,

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, Россия

1.  Введение

Проблема остаточных напряжений является актуальной в механике машиностроения. Они влияют как на прочность изделий, так и на долговечность и живучесть. В данной работе на примере задачи об определении остаточных напряжений в пространстве со сферической полостью, при заданных перемещениях точек ее границы, показана методика расчета остаточных напряжений.

2.  Постановка задачи

Рассмотрим сферическую полость радиуса a в упругопластическом пространстве. Пусть она расширяется посредством задания перемещений точек ее границы, при некотором значении которых материал в отдельных областях пространства переходит в пластическое состояние. Сразу после разгрузки в этих областях образуются несовместные остаточные деформации, не удовлетворяющие уравнениям совместности Сен-Венана. Так как несовместные деформации в сплошной среде не могут быть реализованы, то после разгрузки одновременно с возникновением несовместных деформаций возникают и силы, преобразующие поле несовместных деформаций в поле деформаций совместных. Эти силы носят название остаточных напряжений, уравновешенных внутри тела без приложения внешней нагрузки [1,2].

При заданных условиях нагружения перемещения точек среды u происходят только в радиальном направлении (u=u(r)), тензоры напряжений и деформаций имеют только радиальные и тангенсальные компоненты σr(r), σθ(r)=σφ(r), εr(r), εθ(r)=εφ(r)[2]. Аналогично, ненулевые компоненты тензоров остаточных напряжений, остаточных и совместных деформаций соответственно равны εpr(r), εpθ(r)=εpφ(r),

Краевая задача по определению остаточных напряжений в данном случае состоит из следующих уравнений[2]:

– уравнение равновесия

(1)

– соотношения Коши для совместных деформаций

(2)

– закон Гука

(3)

где – коэффициенты упругости Ляме. Здесь E – модуль Юнга, G – модуль сдвига, ν – коэффициент Пуассона. К уравнениям (1) – (3) необходимо добавить граничные условия .

3.  Остаточные деформации

Решение упругой задачи о расширении сферической полости равно[2]: Очевидно, что объемные (гидростатические) напряжения и деформации σ0=σr+2σθ=0, ε0=εr+2εθ=0. Отсюда, переход в состояние пластичности определяется только максимальными касательными напряжениями и максимальными сдвигами (τ=Gγ).

Пластические деформации возникают тогда, когда τ=τT (τT – предел текучести при сдвиге). Тогда область пластичности определяется формулой Ясно, что для образования области пластического материала необходимо, чтобы

Так как объемная деформация равна нулю, то остаточные деформации (после разгрузки) есть остаточные деформации сдвига γp={γp, a ≤ r ≤ rT; 0, r>rT}. Следовательно, εpr+2εpθ=0, γp= εpθ – εpr. Отсюда, (4).

4.  Остаточные напряжения

Сведем краевую задачу (1) – (3) к уравнению Ляме в перемещениях. Соотношения (2) подставляем в закон Гука (3) и затем то, что получится в уравнение (1). После необходимых преобразований с учетом равенств (4) получаем

(5)

где

Общее решение однородного уравнения, отвечающего уравнению (5), есть Частное решение неоднородного уравнения ищем, исходя из вида правой части. Возьмем частное решение в виде и проверим, что это выражение есть частное решение уравнения (5). Имеем

Таким образом, общее решение уравнения (5) равно

Подставим найденные перемещения в соотношения Коши (2), то есть найдем совместные деформации.

Найдем остаточные напряжения, подставив найденные совместные деформации в выражения (3). Получаем

Приводя подобные члены, имеем

Найдем остальные компоненты напряжения

Или после приведения подобных членов

Для определения C1 и C2 используем граничные условия. Из второго граничного условия находим Используя первое граничное условие, получаем

Значит,

Итак, учитывая граничные условия, имеем:

перемещение

совместные деформации

объемные деформации

деформации сдвига

остаточные напряжения

и компонента шарового тензора остаточных напряжений

А также максимальные касательные напряжения (остаточные)

псевдонапряжения, связанные законом Гука с совместными деформациями

и компонента шарового тензора псевдонапряжений

а также максимальные касательные псевдонапряжения

Отметим, что , где τp=Gγp, а тензор остаточных напряжений , где компоненты тензора σˆp равны а компоненты тензора есть

Тензор деформаций, связанный законом Гука с тензором остаточных напряжений, равен где компоненты тензора εˆp равны

Работа выполнена по проекту Программы межрегиональных фундаментальных исследований, выполняемых совместно УрО РАН и СО РАН (№ 12 – С – 1 – 1024)

Литература

1. , Миронов разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург : Изд-во УрО РАН, 19с.

2. , Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 19с.