Журнал «Электро» №6, 2004 г.
Уравнения напряжения и схема замещения трансформатора.
- канд. техн. наук.
- Первый заместитель Генерального директора .
Для расчёта электрических цепей, содержащих трансформатор как многополюсник, используются его схемы замещения, строящиеся таким образом, чтобы соответствовать происходящим в трансформаторе электромагнитным процессам и адекватно отражать их влияние на всю электрическую цепь.
Построение схемы замещения трансформатора базируется на таком фундаментальном понятии, как электромагнитное рассеяние, выражающем собой тот факт, что индуктивности первичной и вторичной обмоток трансформатора и взаимоиндуктивность между ними, приведённые к одному числу витков, различаются между собой, поэтому при нагрузке первичное напряжение не полностью трансформируется во вторичное напряжение.
Теоретические вопросы по электромагнитному рассеянию и схемам замещения трансформаторов обстоятельно изложены в [1 - 4], в которых в свою очередь даны многочисленные ссылки на другие работы в этой области.
Наиболее исследована, обоснована теоретически и на практике получила набольшее распространение Т-образная схема замещения. Параметры ветвей этой схемы определяются основными конструктивными данными активной части трансформатора, такими, как активное сечение стержня магнитопровода, средние диаметры, радиальные размеры и высота обмоток. Представление в виде аналитической зависимости параметров схемы замещения от основных размеров активной части, возможное, конечно, только при идеализированной модели трансформатора, может дать возможность более полного анализа электромагнитных процессов в трансформаторе.
В настоящей работе магнитное рассеяние обмоток трактуется как условное разделение магнитного поля, наводимого каждой из обмоток, на поле в стали магнитопровода и поле в окне магнитопровода. Соответственно, индуктивности обмоток и взаимоиндуктивности между ними имеют две составляющие: само - или взаимоиндуктивность «по воздуху» и индуктивность от потока в сердечнике, которые при идеализированной модели трансформатора могут быть выражены аналитически через конструктивные параметры обмоток трансформатора. Оперирование ими позволяет обосновать с формально-математической точки зрения построение схемы замещения и связать аналитической зависимостью параметры её ветвей с основными размерами активной части трансформатора. При этом упрощается методика составления системы уравнений напряжения трансформатора на основе магнитосвязанных электрических цепей обмоток.
Основные уравнения трансформатора.
Примем следующие предположения и допущения:
числа витков в первичной и вторичной обмотках равны, то есть, электромагнитные параметры вторичной обмотки приведены к числу витков первичной обмотки;
полагаем для установившегося режима работы токи, напряжения и магнитные потоки изменяющимися гармонически и представленными в комплексной форме записи.
Индуктивная связь между первичной обмоткой (Об1) и вторичной обмоткой (Об2) трансформатора (рис. 1) выражается следующей системой уравнений напряжения:
|
U1 = jωL11I1 − jωМ12I2 + R1I1 ;
0 = − jωМ12I1 + jωL22I2 + R2I2 + U2 ;
где U1 − первичное напряжение, приложенное к Об1; U2 − вторичное напряжение ; I1 и I2 − токи в Об1 и Об2 соответственно; ω — угловая частота сети; L11 и L22 - собственные индуктивности Об1 и Об2 соответственно; М12 — взаимоиндуктивность между Об1 и Об2; R1 и R2 - активные сопротивления Об1 и Об2 соответственно.
Магнитодвижущая сила (МДС) питаемой от сети Об1 уравновешивается МДС намагничивания и трансформируемой МДС Об2. Уравнение баланса приведённых токов:
I1 = I0 + I2 ; (2)
где I0 — ток намагничивания.
Преобразуем (1), используя уравнение МДС (приведённых токов):
U1 = jωL11(I0 + I2) − jωМ12I2 + R1I1 ;
0 = − jωМ12(I0 + I2) + jωL22I2 + R2I2 + U2 ;
далее получаем:
|
U1 = jωМ12I0 + jω(L11− М12)I0 + jω(L11− М12)I2 + R1I1 ;
jωМ12I0 = jω(L22− М12)I2 + R2I2 + U2 ;
Этой системе уравнений соответствует электрическая схема (рис. 2).
Замкнутая магнитная система из электротехнической стали обусловливает очень тесную индуктивную связь между обмотками. Поэтому значения L11 и L22 и М12 , приведённые к одному числу витков, очень близки друг другу и при решении системы (1) приходится вычислять разность этих величин. Для разрешения этой системы уравнений напряжения необходимо, как отмечалось в [1,2], привести реальный трансформатор к виду (модельной задаче), доступному для точной математической обработки, то есть к такому виду, при котором интегральные характеристики участков поля поддаются аналитическому очень точному расчёту.
Для этого проделываются следующие мысленные операции: ярма заменяются полупространствами с бесконечно большой магнитной проницаемостью; высоты обмоток полагаются равными длине стержня. В результате магнитное поле в пределах объёма обмоток содержит только осевую составляющую. В этом случае само - и взаимоиндуктивности «по воздуху» концентрических обмоток трансформатора выражаются аналитически через конструктивные параметры.
Путь магнитного потока рассеяния обмоток проходит по межобмоточному каналу вдоль стержня от ярма к ярму. Полный магнитный поток фазы трансформатора условно разделяем на две составляющие, рассматриваемые отдельно:
магнитный поток сердечника, все силовые линии которого полностью замыкаются только по стали и сцепляются со всеми витками первичной и вторичной обмоток
магнитный поток, проходящий по «воздуху» в пространстве, занятом обмотками, и частично по магнитопроводу.
Соответственно выделяются из собственных индуктивностей первичной L11 и вторичной L22 обмоток и взаимоиндуктивности между ними М12 две составляющие: одна, обусловленная магнитным потоком в стержне,
и другая - магнитными потоками рассеяния, проходящими вне стали.
Тогда полная собственная индуктивность Об1:
L11 = Lσ1 + Lmc ; (4)
где Lσ1 — индуктивность Об1 «по воздуху», Lmc – составляющая индуктивности Об1 и Об2 , обусловленная магнитным потоком намагничивания.
Lmc = w2/Rmc (5)
где w — число витков Об1 и Об2 , Rmc = — магнитное сопротивление цепи намагничивания магнитопровода, здесь lc, Sc и μ означают соответственно длину, площадь активного сечения и относительную магнитную проницаемость стали магнитной цепи.
Полная собственная индуктивность Об2:
L22 = Lσ2 + Lmc ; (6)
где Lσ2 — индуктивность Об2 «по воздуху».
Полная взаимоиндуктивность между Об1 и Об2:
M12 = Mσ12 + Mmc ; (7)
где Mσ12 — взаимоиндуктивность «по воздуху» между Об1 и Об2,
Mmc – составляющая взаимоиндуктивности, обусловленная магнитным потоком намагничивания:
Mmc = w2/Rmc . (8)
Mmc = Lmc при одинаковом числе витков Об1 и Об2 .
Следует отметить, что магнитный поток «по воздуху» трансформатора пренебрежимо мал в режиме холостого хода по сравнению с потоком в магнитопроводе, однако с ростом нагрузки трансформатора становится всё более существенным и определяющим электромагнитные процессы в нём.
Расчёт само - и взаимоиндуктивностей «по воздуху» обмоток
трансформатора
Само - и взаимоиндуктивности обмоток трансформатора «по воздуху» определяются магнитными проводимостями соответствующих каналов рассеяния в окне магнитопровода между самими обмотками и стержнем. При принятой нами идеализированной конструктивной модели для них можно получить аналитические выражения, зная геометрические параметры обмоток, такие как D1 и D2 - средние диаметры Об1 и Об2 соответственно, b1 и b2 — радиальные размеры Об1 и Об2 соответственно, h — высота обмоток (рис. 4). Высота канала рассеяния принимается равным высоте обмотки.
Индуктивности обмоток «по воздуху» рассчитываются по методу
потокосцепления [3,4] и выражается в общем виде наглядной формулой [3],
Sσ = μ0w2Sσ/h , (9)
где Sσ — эквивалентная площадь поперечного сечения канала рассеяния обмотки.
Для удобства расчёта разбиваем весь канал рассеяния обмотки по радиальному размеру на два участка: участок, занятый обмоткой и участок от внутренней поверхности обмотки до стержня. Эпюра магнитной индукции (МДС, напряжённости магнитного поля) в пределах обмотки в зависимости от радиальной координаты имеет форму треугольника.
Индуктивность рассеяния обмотки «по воздуху» определяется следующим образом:
Lσ = ∫ dΦσ (10)
где dΦσ — потокосцепление бесконечно тонкой цилиндрической трубки магнитного потока, i — ток в обмотке.
Разобьём этот магнитный поток рассеяния на элементарные цилиндрические трубки магнитного потока бесконечно малой толщины. Радиальную ось координат Х направим к оси обмотки (рис. 4). Магнитная индукция,
принимающая своё максимальное значение в области канала рассеяния, незанятой обмоткой:
Bσ = μ0Imw/hоб, (11)
где Im — амплитуда тока в обмотке.
Магнитная индукция по радиусу обмотки изменяется по закону:
Bx = Bσ(x/b) ,
где x — радиальная координата точки обмотки, b — радиальный размер обмотки.
Магнитный поток цилиндрической трубки с координатой x:
dΦσx = Bx π(D + b − 2x)dx = Bσ(x/b) π(D + b − 2x)dx,
где D — средний диаметр обмотки.
Эта трубка магнитного потока сцеплёна с числом витков, которые и наводят в ней этот поток: (x/b)w. С учётом этого потокосцепление цилиндрической трубки магнитного потока с радиальной координатой x:
dΨσx = (x/b)wdΦσx = (wBσπ/b2)x2(D + b − 2x)dx.
Полное потокосцепление на участке в пределах обмотки:
Ψσоб = ∫0b dΨσx = ∫0b (wBσπ/b2)x2(D + b − 2x)dx = wBσ π(D − ) .
Магнитная индукция в канале между обмоткой и стержнем равна Вσ . Полное потокосцепление на участке канала между обмоткой и стержнем:
Ψσкан = wBσSσкан = wBσ( (D − b)2 − Sс) ,.
здесь Sσкан= (D − b)2 − Sс — эквивалентная площадь канала между обмоткой и стержнем.
Полное потокосцепление обмотки:
Ψσ = Ψσоб + Ψσкан = wBσ [ π(D − ) + (D − b)2 − Sс] . (12)
Индуктивность обмотки «по воздуху»:
Lσ = Ψσ/i = μ0w2[ π(D − ) + (D − b)2 − Sс]/hоб = μ0w2Sσ/hоб, (13)
здесь эквивалентная площадь поперечного сечения канала рассеяния обмотки:
Sσ = π(D − ) + (D − b)2 − Sс . (14)
Соответственно, индуктивность Об1«по воздуху»:
Lσ1 = μ0w2Sσ1/hоб = μ0w2[ π(D1 − ) + π/4 (D1 − b1)2 − Sс]/hоб, (15)
здесь эквивалентная площадь поперечного сечения канала рассеяния Об1:
Sσ1 = π(D1 − ) + π/4 (D1 − b1)2 − Sс ; (16)
индуктивность Об2 «по воздуху»:
Lσ2 = μ0w2Sσ2/hоб = μ0w2 [ π(D2 − ) + (D2 − b2)2 − Sс]/hоб , (17)
здесь эквивалентная площадь канала рассеяния Об2
Sσ2 = π(D2 − ) + (D2 − b2)2 − Sс. (18)
Взаимоиндуктивность «по воздуху» между обмотками рассчитываем через потокосцепление Об2 от магнитного потока, наводимого в ней током в Об1.
Разобьём весь магнитный поток от тока в Об1 «по воздуху», сцепляющийся с Об2, на цилиндрической трубки бесконечно малой толщины dx. Радиальную ось координат Х направим к оси обмотки.
Mσ12 = ∫ dΨσ21x , (19)
где i1 — ток в Об1, Ψσ21x — потокосцепление Об2 от тока в Об1,
dΨσ21x — потокосцепление бесконечно тонкой цилиндрической трубки магнитного потока.
Магнитная индукция от тока в Об1, одинаковая по значению в пределах Об2 по радиусу:
Bσ12 = μ0i1w/hоб . (20)
Магнитный поток цилиндрической трубки с радиальной координатой
х, расположенной в пределах обмотки по радиусу:
dΦσ21x = Bσ12 π(D2 + b2 − 2x)dx.
Эта трубка магнитного потока сцеплена с числом витков (x/b)w. С учётом этого, потокосцепление цилиндрической трубки магнитного потока с радиальной-координатой x:
dΨσ21x = (x/b)wdΦσ21x = (wBσ12π/b) x(D2 + b2 − 2x)dx.
Полное потокосцепление на участке канала в пределах обмотки:
Ψσ21об = ∫0b dΨσ21x dx = μ0i1w2/hоб π (D2 − ) .
В пределах канала между обмоткой и стержнем магнитный поток сцепляется со всеми витками Об2, магнитная индукция равна Bσ12 ,а площадь поперечного сечения этого канала, не занятого обмоткой:
Sσ12кан = (D2 − b2)2 − Sс.
Полное потокосцепление на участке между обмоткой и стержнем:
Ψσ12кан = wBσ12Sσ12кан = μ0i1w2/hоб [ (D2 − b2)2 − Sс] .
Полное потокосцепление обмотки:
Ψσ = Ψσ21об + Ψσ12кан = μ0i1w2/hоб [π (D2 − ) + (D2 − b2)2 − Sс] .
Взаимоиндуктивность рассеяния между обмотками:
Mσ12 = Ψσ21/i1 = μ0w2/hоб [π (D2 − ) + (D2 − b2)2 − Sс] , (21)
здесь площадь канала взаимоиндуктивности рассеяния между Об1 иОб2:
Sσ12 = [π (D2 − ) + (D2 − b2)2 − Sс] . (22)
Этот приём позволяет исключить из системы уравнений трансформатора само - и взаимоиндуктивности обмоток по стали.
С учётом (5)-(8) система (3) преобразовывается к следующему виду:
U1 = jω(Mσ12+ Mmc)I0 + (R1+ jω(Lσ1− Mσ12))I0 +(R1+ jω(Lσ1− Mσ12)I2 ;
|
I1 = I0 + I2 ;
Этой системе уравнений трансформатора соответствует Т-образная схема замещения (рис. 3) с нижеследующими параметрами. Полное сопротивление ветви со стороны Об1:
Zк1 = R1 + jωLσ1− jωМσ1
Полное сопротивление ветви со стороны Об2:
Zк2 = R2 + jωLσ2− jωМσ12 , (25)
Полное сопротивление ветви намагничивания (электродвижущая сила, индуцируемая в обмотках магнитным потоком в сердечнике):
Z0 = jω(Mσ12+ Mmc) ≈ jωwΦm . (26)
где Φm − амплитуда магнитного потока в сердечнике.
Систему (23) с учётом этого запишем следующим образом:
U1 = Z0I0 + Zк1I0 + Zк1I2 ;
|
I1 = I0 + I2 .
Из (27) следует уравнение изменения напряжения в трансформаторе:
U1 = Zк1I0 + Zк1I2 + Zк2I2 + U2 = Zк1I0 + Zк12I2 + U
При пренебрежимо малом намагничивающем токе (упрощённая схема замещения без ветви намагничивания):
U1 = Zк12I2 + U
При коротком замыкании (U2 = 0) получим выражение для сопротивления короткого замыкания между Об1 и Об2:
Zк12 = U1/I1 = R1 + jωLσ1− jω2Мσ12 + jωLσ2 + R2 = Zк1 + Zк
Соответственно, индуктивность короткого замыкания при противовключении обмоток [2], когда сумма их магнитодвижущих сил в точности равна нулю:
Lк12 = Lσ1 + Lσ2 − 2Mσ1
На основе полученных выражений для само - и взаимоиндуктивности рассеяния между обмотками выведем аналитическое выражение для расчёта индуктивности короткого замыкания между Об1 и Об2 по конструктивным данным обмоток:
Lк12 = Lσ1 + Lσ2 − 2Mσ12 = μ0w2/hоб [Sσ1 + Sσ2 − 2Sσ21] =
= μ0w2/hоб [ π(D2 + ) + b12π(D2 + b2 + b12) + π(D1 − ) ] (32)
где b12 — ширина канала между обмотками.
В [4] отмечается, что расчёт индуктивностей рассеяния по отдельности для каждой из обмоток представляет значительные трудности. Поэтому обычно рассчитывается сразу же их сумма этих индуктивностей, то есть индуктивность короткого замыкания. Расчёт производится методом потокосцеплений [3,4] исходя из закономерности распределения магнитной индукции по радиальной координате. Предложенный в этой работе метод расчёта индуктивности короткого замыкания предполагает расчёт отдельных само - и взаимоиндуктивностей обмоток «по воздуху» по конструктивным параметрам обмоток и на их основе получение аналитических выражений для параметров Т-образной схемы замещения. Заметим, что формулы для расчёта индуктивности короткого замыкания между обмотками по методу расчёта само - и взаимоиндуктивностей «по воздуху» (32) и по традиционному методу потокосцеплений [4] полностью идентичны. Тем самым подтверждается обоснованность применения предложенного метода.
Полные сопротивления ветвей схемы замещения (рис. 4):
Zк2 = R2 + jω(Lσ2 − Мσ12 ) = R2 − jωμ0w2/hоб πD2 , (33)
Zк1 = Zк12 − Zк2 = Zк12 − R2 + jωμ0w2/hоб πD
В реальных силовых трансформаторах радиальные размеры концентрических обмоток существенно меньше их высоты (тонкие обмотки). В этом случае Zк2 ≈ 0 и Zк1 ≈ Zк12 . Схема замещения трансформатора cущественно упрощается: из Т-образной преобразуется в Г-образную (рис. 5), которую удобно применять при расчётах электрических цепей. Напряжение, приложенное к поперечной ветви этой схемы замещения:
Z0I0 = jωwΦm = U1 − Zк12I1 ; (35)
Соответственно, в номинальном режиме работы:
Z0I0 = jωwΦm = U1 − Zк12I1н = U1 − Uк, (36)
где I1н − номинальный ток первичной обмотки, Uк − напряжение короткого замыкания, выраженное в относительных единицах. Простой анализ Г-образной схеме замещения показывает, что напряжение, возбуждающее магнитный поток в сердечнике, с ростом активно-индуктивной нагрузки уменьшается. В номинальном режиме оно меньше номинального первичного напряжения на векторную величину напряжения короткого замыкания. Соответственно, магнитный поток намагничивания, магнитная индукция в стали меньше, чем в режиме холостого хода.
Выводы.
1 Для учёта явления электромагнитного рассеяния в уравнениях напряжения трансформатора и построения его схемы замещения предложено, условно разделить магнитные потоки каждой из обмоток на магнитные потоки в стали и магнитные потоки «по воздуху», что выражается условными понятиями само - и взаимоиндуктивностей обмоток «по воздуху». На этой основе обоснована с формально-математической точки зрения Т-образная схема замещения трансформатора, получены аналитические выражения зависимости её параметров от конструктивных данных обмоток.
2 Использование условных само - и взаимоиндуктивностей обмоток трансформатора «по воздуху» удобно для непосредственного составления уравнений и расчёта электрических цепей, содержащих трансформатор.
ЛИТЕРАТУРА
1 , Пинцов замещения многообмоточных трансформаторов. М.: "Энергия", 1974.
2 Лейтес схема двухобмоточного трансформатора: опыты холостого хода и короткого замыкания. В книге: Вопросы трансформаторостроения. Под редакций . Труды ВЭИ. М.: 1969.
3 Лейтес расчеты трансформаторов и
реакторов. М.: Энергия, 1981 .
4 Вольдек машины. Л.: "Энергия", 1974.
5 Электромеханическое преобразование энергии. М.: Энергия, 1968.
