Решения олимпиадных задач,8 класс

Решения олимпиадных задач

8 класс

1. Квадрат любого натурального числа при делении на 3 дает в остатке либо 0, либо 1 (доказать!). Если ни х, ни у на 3 не делятся, то и х2 и у2 при делении на 3 дают в остатке 1. Значит, х2 + у2 при делении на 3 дает остаток 2, что невозможно (т. к. – также квадрат натурального числа). Следовательно, либо х, либо у делится на 3, ч. т.д.

2. Ответ: можно.

3. Разделим монеты на 4 кучки по 25 монет (назовем эти кучки A, B, C и D).

Первым взвешиванием сравним А и В.

а) Если А > B, то в А все монеты настоящие, а в В 1 или 2 монеты фальшивые. Вторым взвешиванием сравним А и С:

– если А = С, то настоящие монеты в кучках А и С;

– если А > С, то настоящие монеты в кучках А и D.

б) Если А = В, то либо в этих кучках все монеты настоящие, либо по одной фальшивой. Вторым взвешиванием сравним А и С:

– если А = С, то настоящие монеты в кучках А, В, С;

– если А > С, то настоящие монеты в кучках А, В;

– если А < С, то настоящие монеты в кучках С, D.

в) Если A < B, то ситуация аналогична а).

4. Ответ: 25.

Если обозначить первоначальное число банков через x, а число оставшихся банков через п, то решение задачи сводится к уравнению

Чтобы получить наименьшее значение x, число (100 – n) надо выбрать наибольшим.. Перебрав все делители числа 10000, меньшие 100, получим 100 – п = 80, откуда x = 25.

5. Ответ: 1683.

Составим таблицу 6 × 6, в каждой клетке которой напишем число, равное количеству допустимых путей, которыми король может дойти до этой клетки из левого нижнего угла. Заполняем таблицу постепенно. Левый столбец и нижняя строка заполняются единицами (почему?). В каждой из оставшихся клеток стоит сумма чисел, стоящих в трех соседних клетках – снизу, слева и снизу слева по диагонали. Ответом служит число, стоящее в верхнем правом углу таблицы.

1	11	61	231	681	1683
1	9	41	129	321	681
1	7	25	63	129	231
1	5	13	25	41	61
1	3	5	7	9	11
1	1	1	1	1	1

9 класс

1. Ответ:

Û Û

Û Û

Û Û

2. Ответ: 15.

Сумма номеров, присуждаемых всеми судьями, равна Если сумма мест победителя не меньше 16, то (учитывая, что победитель только один), сумма мест остальных 9 участников не меньше , но 153 + 16 > 165, что неверно. Итак, сумма мест победителя не больше 15.

Пример, когда сумма мест победителя ровно 15:

Участник	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Судья № 1	5	3	4	9	1	6	10	2	7	8
Судья № 2	5	4	9	3	6	10	1	7	8	2
Судья № 3	5	9	3	4	10	1	6	8	2	7
Сумма мест	15	16	16	16	17	17	17	17	17	17

3. Ответ: 5020.

Составим таблицу 7 × 7, в каждой клетке которой напишем число, равное количеству допустимых путей, которыми король может дойти до этой клетки из левого нижнего угла. Заполняем таблицу постепенно. Левый столбец и нижняя строка заполняются единицами (почему?). В центральной клетке ставим 0 (по условию). В каждой из оставшихся клеток стоит сумма чисел, стоящих в трех соседних клетках – снизу, слева и снизу слева по диагонали. Ответом служит число, стоящее в верхнем правом углу таблицы.

1	13	85	314	848	2078	5020
1	11	61	168	366	864	2078
1	9	41	66	132	366	848
1	7	25	0	66	168	314
1	5	13	25	41	61	85
1	3	5	7	9	11	13
1	1	1	1	1	1	1

4. Указание: рассмотреть формулу для вычисления длины медианы. Длина отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой пересечения медиан, равна двум третьим длины медианы.

5.

Так как произведение делится на 11, а 11 – число простое, то по крайней мере один из множителей делится на 11. Отсюда следует, что делится на 11, и оба множителя делятся на 11, ч. т.д.

10 класс

1. Ответ: нет.

Нечетное число делителей могут иметь только точные квадраты: если х – делитель числа a, то и а/х – тоже делитель числа а, поэтому непарный делитель возникает только при х = а/х, т. е. х = а2. Однако все точные квадраты при делении на 4 дают остаток либо 0, либо 1, а указанное в условии задачи число при делении на 4 дает остаток 3 (при n > 1).

2. Ответ:

Указание: рассмотреть левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно : .

3. См. решение задачи 9.3.

4. Ответ: .

Точка так как

Треугольник NOM равносторонний.

Пусть тогда по теореме о касательной и секущей

откуда

. Отсюда .

5. Ответ: при .

Если – решение системы, то и – также решения нашей системы. Поэтому для единственности решения необходимо (но недостаточно!), чтобы Подставив эти значения в систему, получим . Теперь необходимо убедиться, что при система не имеет других решений. Подставим в исходную систему:

Сложив эти уравнения, получим

Однако то есть равенство возможно лишь при т. е. Задача решена.

11 класс

1. См. решение задачи 10.1.

2. Ответ: при N (т. е. при всех натуральных нечетных а).

Перепишем уравнение в виде Так как все входящие в него величины – натуральные числа, то для существования решения необходимо, чтобы т. е. либо

При получаем – натуральное число при всех натуральных а.

При получаем – натуральное число при всех четных а. итак, мы имеем при четных а 2 решения, а при нечетных – одно, что нам и требовалось.

3. Ответ: .

Пусть

(1)

(2)

Так как четырехугольник вписанный, то

Поделив (1) на (2), получим:

По теореме косинусов для ΔDAB, ΔBCD:

.

4. Ответ: 11388.

Составим таблицу 8 × 8, в каждой клетке которой напишем число, равное количеству допустимых путей, которыми король может дойти до этой клетки из левого нижнего угла. Заполняем таблицу постепенно. Левый столбец и нижняя строка заполняются единицами (почему?). В центральных клетках ставим 0 (по условию). В каждой из оставшихся клеток стоит сумма чисел, стоящих в трех соседних клетках – снизу, слева и снизу слева по диагонали. Ответом служит число, стоящее в верхнем правом углу таблицы.

1	15	113	446	1146	2356	4834	11388
1	13	85	248	452	758	1720	4834
1	11	61	102	102	204	758	2356
1	9	41	0	0	102	452	1146
1	7	25	0	0	102	248	446
1	5	13	25	41	61	85	113
1	3	5	7	9	11	13	15
1	1	1	1	1	1	1	1

5. Первое число больше.

Второе число явно больше 2, и его можно найти из уравнения:

,

,

Подбираем корень (не подходит нам), делим обе части на :

Найдем производную функции, стоящей в левой части: .

На участке функция возрастает. Кроме того, и (и то и другое должно быть доказано!). Следовательно, интересующий нас корень исходного уравнения не может быть больше, чем .