Спецификация экзаменационной работы

12 Задание

Спецификация экзаменационной работы

№ задания	Раздел содержания по Спецификации	Проверяемые элементы математической подготовки	Коды элементов содержания	Проверяемые виды деятельности	Уровень трудности	Примерное время выполнения (в минутах)
12	1.5	Решение линейных неравенств с одной переменной	3.11	алгоритм	Б	1,5

Кодификатор элементов содержания экзаменационной работы

Код раздела	Код контролируемого элемента	Элементы содержания, проверяемого заданиями экзаменационной работы
3	11	Линейные неравенства с одной переменной
3	12	Системы линейных неравенств с одной переменной
3	14	Числовые неравенства и их свойства

Краткие теоретические сведения

Числовые неравенства – выражения вида где и - некоторые числа.

Свойства числовых неравенств:

1. Если a > b и b > c , то a > c.

2. Если a > b, то a + с > b + c.

3. Если a > b и m > 0, то am > bm; eсли a > b и m < 0, то am < bm.

4. Если a > b и c > d , то a + c > b + d.

5. Если a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 и a >b, c > d, то ac > bd.

Линейные неравенства – выражения вида где и - некоторые числа.

Значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если они имеют одинаковые решения.

Утверждения, которые применяются при решении неравенств:

a)  если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному неравенству;

b)  если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному неравенству;

c)  если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному неравенству.

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств (или частным решением). Решить систему неравенств – значит найти все её частные решения или доказать, что их нет.

Решение типовых заданий

1. Известно, что 4 < a < 6 и 3 < b < 5. Найти оценку для числа – 2а.

1) -8 < -2 a < -12, 2) 8 < -2a < 12,< a < -8,< a < -12.

Решение. Умножим все части двойного неравенства 4 < a < 6 на -2, получим неравенство противоположного смысла: 4·(- 2) > - 2а > 6·(- 2) т. е< -2 a < -12.

Ответ: 1.

2. Сложить почленно неравенства 6 > 3 и – 4 < 5.

1) 2 > 8,> 11 ,> - 1, 4) 2 < 8.

Решение. На основании свойства 4: если 6 > 3 и 5 > - 4, то 6 + 5 > 3 – 4 т. е.11 > - 1.

Ответ: 3.

3. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях и , удовлетворяющих условию ?

1)  , 2) , 3) , 4) .

Решение. Исходя из условия , получим (на основании утверждения а) ).

1) , умножим обе части неравенства на (-1), на основании утверждения с) получим неравенство , которое не удовлетворяет условию ; 2) , умножим обе части неравенства на (-1), на основании утверждения с) получим неравенство , которое не удовлетворяет условию ; 3) из условия следует , например, при а = 5 и b = 3 получим 5 – 3 > - 5, числовое неравенство 2 > - 5 верное; 4) из условия не следует , например, при а = 5 и b = 3 получим 5 – 3 < - 5, числовое неравенство 2 < - 5 неверное.

Ответ: 3.

4. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства ?

1)  , 2) , 3) , 4) .

Решение. 1) Исходя из утверждения а) получим (осуществили перенос слагаемых из левой части в правую часть) или следует из неравенства ; 2) Исходя из утверждения а) получим (осуществили перенос слагаемых из левой части в правую часть) или не следует из неравенства ; 3) Исходя из утверждения а) получим (осуществили перенос слагаемого из правой части в левую часть) или следует из неравенства ; 4) Исходя из утверждения а) получим (осуществили перенос слагаемого из левой части в правую часть) или следует из неравенства .

Ответ: 2.

5. Решить неравенство .

1)  , 2) , 3) , 4) .

Решение. На основании утверждения а) получим . Разделим обе части неравенства на и получим (на основании утверждения b) ).

Ответ: 2.

6. Решить неравенство

1)  , 2) , 3) , 4) .

Решение. По утверждению а) имеем , исходя из утверждения с) получим .

Ответ: 1.

7. Какое из приведенных чисел является решением неравенства ?

1)  , 2) 13, 3) , 4) 0.

Решение. Умножим обе части неравенства на 12 (на основании утверждения b) ) и получим , исходя из утверждения с) получим. Следовательно число 0 является решением неравенства .

Ответ: 4.

8. Решить систему неравенств

1)  , 2) , 3) , 4) нет решений.

Решение. Решением системы является отрезок [2;2,5] или .

Ответ: 2.

9. Какое из чисел является решением системы

1)  9,, 3) 4, 4) 5.

Решение. Решением системы является промежуток [-9; 4) или . Следовательно, число – 4 является решением системы неравенств.

Ответ: 2.

Задания для самостоятельного решения.

1.Известно, что 3 < b < 5. Найти оценку для числа – 3b.

1) -9 < -3 b < -15, 2) 3 < -3b < 5,< -3b < -8,< -3b < -8.

2. Сложить почленно неравенства 8 > 3 и – 7 < 5.

1) 4 > - 13,> 13 ,> - 4,< 13.

3. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях и , удовлетворяющих условию ?

1) , 2) , 3) , 4) .

4. Какое из приведенных ниже неравенств не является верным при любых значениях и , удовлетворяющих условию на 1 ?

1) , 2) , 3) , 4) .

5. Какое из следующих неравенств следует из неравенства ?

1)  , 2) , 3) , 4) .

6. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства

1)  , 2) , 3) , 4) .

7. Решить неравенство .

1)  , 2) , 3) , 4) .

8. Решить неравенство .

2)  , 2) , 3) , 4) .

9. Решить неравенство

1)  , 2) , 3) , 4) .

10. Решить неравенство

1)  , 2) , 3) , 4) .

11. Какое из приведенных чисел является решением неравенства ?

1)  , 2) 1, 3) ,

12. Какое из приведенных чисел является решением неравенства ?

1)  - 2, 2) 2, 3) 3,

13. Решить систему неравенств

1)  , 2) , 3), 4) нет решений.

14. Решить систему неравенств

1)  , 2) , 3) , 4) нет решений.

15. Какое из чисел является решением системы

1)  - 10, 2) 4,, 4) 5.

16. Какое из чисел является решением системы

1)  2,, 3) 3,

Ответы

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
№ верного ответа	3	3	2	3	1	3	1	4	4	2	4	4	1	1	3	2