Основные теоремы. Уравнение Слуцкого

4. Основные теоремы. Уравнение Слуцкого

Рассмотрим основные теоремы теории потребительского выбора, которые известны как лемма Шеппарда (теорема 1), тождество Роя (теорема 2) и уравнение Слуцкого (теорема 3).

Теорема 1 (лемма Шеппарда). Для функции расходов m(p, u) и функций спроса Хикса хi0 = Hi(p1,p2,u) справедливо следующее соотношение:

Доказательство. Приведем графическое доказательство. Пусть переменная u и одна из цен, допустим второго товара, равны, соответственно: u = u*, p2 = p2*. Тогда функция расходов m (p1,p2*,u*) является функцией только переменной р1. Предположим, что эта функция дифференцируема.

Что является производной функции m (p1,p2*,u*) при p1 = p1* ?

Так как полезность потребительского набора [H1(p1*,p2,*u*), H2(p1*,p2*,u*)] равна u*, выполняется следующее соотношение:

m (p1,p2*,u*) ≤ p1 H1(p1*,p2,*u*) + p2* H2(p1*,p2*,u*). (34)

Следовательно, все точки графика функции, стоящей в правой части неравенства (34), расположены над (выше) точками графика функции m (p1,p2*,u*), соответствующей левой части неравенства (34), и при p1 = p1* графики функций касаются. Точнее, график линейной по p1 функции p1 H1(p1*,p2,*u*) + p2* H2(p1*,p2*,u*) является касательной к графику функции m (p1,p2*,u*) в точке p1 = p1* (см. рис.5).

Р p1 H1(p1*,p2,*u*) + p2* H2(p1*,p2*,u*)

а m(p1,p2*,u*)

p1* р1

Рис.5

Последнее означает, что производные функций, образующих левую и правую части неравенства (34), в точке p1 = p1* равны и, следовательно,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

что и требовалось доказать.

Алгебраическое доказательство теоремы можно найти в [ 2] или [ 3].

Теорема 2 (тождество Роя). Для функций спроса Маршалла и функции косвенной полезности справедливо следующее соотношение.

Доказательство. Допустим х1* и х2* - решение задачи потребительского выбора, т. е. х1* = D1(p1,p2,M) и х2* = D2(p1,p2,M). Пусть u* = U(x*). Тогда можно утверждать, что

х1* =

H1(p1,p2,u*) и х2* = H2(p1,p2,u*) и М = m (p1,p2,u*). И, следовательно,

u* ≡ V(p, m (p, u*)) для фиксированного значения u* и любых р. Продифференцируем последнее тождество по pi (i = 1,2). Получим:

Используя теорему 1, заменим ∂m/∂pi на Hi(p1,p2,u*) = xi* = Di(p1,p2,M), и перепишем (35) по другому:

Из последнего соотношения легко получить утверждение теоремы.

Теорема 3 (уравнение Слуцкого). Для функций спроса Маршалла и функций спроса Хикса справедливы следующие соотношения:

где величина Маршаллианского спроса оценивается при заданных ценах и доходе, а величина спроса по Хиксу – для уровня полезности, соответствующего найденной точке Маршаллианского спроса.

Доказательство. Рассмотрим тождество xj*(p, m(p, u)) ≡ Hj(p, u), (j = 1,2) и продифференцируем обе части этого тождества по переменной pi (i = 1,2). Получим

Согласно теореме 1, ∂m/∂pi есть функция Hi(p, u) = xi*(p, m(p, u)). Поэтому (37) можно истолковать следующим образом:

Сделав замену фиктивных переменных (постоянных величин, записанных в виде переменных), получим соотношение (36), которое известно как уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого позволяет, во-первых, анализировать изменение спроса, описываемого функциями Хикса, не зная самих функций. Во-вторых, отнести рассматриваемые товары к той или иной категории в зависимости от направления и величины изменения спроса на них при изменении цен и дохода. В-третьих, если записать это уравнение в терминах коэффициентов эластичностей, то можно оценивать эластичность спроса по Хиксу, используя для этого функции спроса Маршалла.

Приведем формулировку уравнения Слуцкого в терминах коэффициентов эластичностей:

Еij = ЕijH - αj ЕiM , (38)

где Еij - эластичность маршаллианского спроса на i - й товар по цене j - го товара, ЕijH – эластичность спроса по Хиксу (компенсированного спроса) на i - й товар по цене j - го товара, Е iM - эластичность маршаллианского спроса на i - й товар по доходу, αj – доля расходов на j –й товар в доходе потребителя ( αj = pjхj*/ M).

Далее с помощью несложных преобразований уравнений (38) можно получить уравнения агрегации, которые отражают зависимости между эластичностями спросов по Хиксу для различных товаров при изменении цены одного из них.

В частности, для i = j = 2 имеем следующие два уравнения:

α1Е11H + α2 Е21H = 0 и α1Е12H + α2 Е22H = 0 , где

Е11H - эластичность спроса по Хиксу на 1 - й товар при изменении цены 1 - го товара,

Е21H - эластичность спроса по Хиксу на 2 - й товар при изменении цены 1 - го товара,

Е12H - эластичность спроса по Хиксу на 1 - й товар при изменении цены 2 - го товара,

Е22H - эластичность спроса по Хиксу на 2 - й товар при изменении цены 2 - го товара,

α1 - доля расходов на первый товар в доходе потребителя ( α1 = p1х1*/ M),

α2 - доля расходов на второй товар в доходе потребителя ( α2 = p2х2*/ M).

1.5. Оценка благосостояния потребителя

1. 5.1. Оценка благосостояния потребителя в статике

Для оценки благосостояния потребителя в теории потребления используются различные меры. Рассмотрим такие из них как компенсационное и эквивалентное изменения дохода.

Допустим, цена одного из товаров изменилась (например, цена первого товара) и стала равной q1. Если она возросла, то будет иметь место ситуация, изображенная на рис.6а, если цена понизилась, то – ситуация, изображенная на рис.6б.

При исходной цене первого товара р1 , цене второго товара – р2 и доходе М потребитель выбрал набор А, полезность которого, при заданной с помощью функции полезности U(x1,x2) системе предпочтений, равна U(A).

При повышении цены первого товара бюджетная линия перемещается ближе к началу координат. Потребитель выбирает новый набор. Обозначим его В. Полезность этого набора U(B) меньше, чем U(A), т. е. U(B) < U(A) (см. рис 6а).

При понижении цены первого товара бюджетная линия отодвигается дальше от начала координат и потребитель выбирает новый набор товаров В. Полезность набора В больше, чем набора А, т. е. U(B) > U(A) (см. рис. 6б).

Если потребитель желает сохранить исходный уровень благосостояния, т. е. остаться на первоначальной кривой безразличия, то он выберет набор С, который является самым дешевым из всех, доступных потребителю наборов при новых ценах на кривой безразличия U(A). Как видно на рисунке 6а) для приобретения набора С требуется больший доход, чем М, которым располагает потребитель. Обозначим через Мс стоимость набора С. Разность Мс – М = ΔМк называется “компенсацией” или компенсированным изменением дохода потребителя. Она равна величине дохода, в которой нуждается потребитель для сохранения первоначального уровня благосостояния.

Рис. 6

Набор С находится как решение двойственной задачи потребительского выбора:

m = q1х1 + р2х2 → min (37)

U(x1, x2) = U (А) (38)

При повышении цены (рис.6а) компенсационное изменение дохода положительно: потребитель нуждается в дополнительных денежных средствах для сохранения исходного “уровня жизни”. Необходимая сумма денег ΔМк = (Мс – М) является оценкой “проигрыша” потребителя.

Если потребитель желает сохранить первоначальный уровень благосостояния при понижении цены первого товара (рис.6б), то величина “компенсации” будет отрицательной. Это говорит о том, что при новых, более низких, ценах потребитель имеет излишек дохода, если сохраняет первоначальный уровень благосостояния. Величина этого излишка оценивает “выигрыш” потребителя.

Рассмотрим другую ситуацию. Допустим, потребитель желает достичь уровня благосостояния, соответствующего новой кривой безразличия, при старых ценах. Обозначим через D самый дешевый набор при исходных ценах на кривой безразличия U(B). Для определения набора D потребитель решает задачу типа (25),(26) при U(x1,x2) = U(B). Она формулируется следующим образом:

m = р1х1 + р2х2 → min (39)

U(x1, x2) = U (B) (40)

Расход потребителя на набор D обозначим Мd. Разность Мd – М = ΔМэ называется эквивалентным изменением дохода потребителя. Эквивалентное изменение дохода оценивает возможность достижения потребителем нового уровня благосостояния при прежних ценах.

При повышении цен величина эквивалентного изменения дохода будет отрицательной (рис.7а), при понижении – положительной (рис.7б).

Рис. 7

Рассмотренные величины излишка потребителя являются дополнением к тому понятию излишка потребителя, которое обычно связывается только с функцией спроса от цены при прочих равных условиях. Компенсационное и эквивалентное изменения дохода позволяют оценить излишек потребителя с учетом изменения цен и дохода.

1.5.2. Оценка изменения благосостояния потребителя во времени

Для анализа и оценки изменения “уровня жизни “ потребителя во времени рассмотрим два временных периода: t = 0 и t = 1. Первый из них будем называть базисным, а второй – текущим.

Пусть в базисном периоде потребитель располагал доходом в М0 денежных единиц, цена первого товара была р10 , второго - р20 (Р0 = (р10,р20)). При этих условиях потребитель выбирал набор товаров Х0 = (х10, х20).

В текущем периоде доход потребителя составил М1 ден. ед., цены равны р11 и р21, соответственно для первого и второго товаров (Р1 = (р11, р21)). Набор потребителя в текущем периоде Х1 = (х11,х21).

Индекс номинального дохода М01 = М1/М0 показывает насколько (во сколько раз) изменился номинальный доход потребителя. Но его значение не отражает реального изменения положения потребителя, поскольку последнее характеризуется величиной реального, а не номинального дохода. Для оценки изменения реального дохода потребителя рассмотрим индексы реального дохода.

Индекс реального дохода характеризует динамику количества товаров в наборе потребителя. Понятно, что если, при одних и тех же ценах, потребитель в текущем периоде может купить бóльшие количества товаров, то его реальный доход больше, в противном случае - меньше. Следовательно, для построения индекса реального дохода необходимо элиминировать (устранить) влияние цен, т. е. оценить наборы товаров базисного (Х0) и текущего (Х1) периодов в одних ценах.

Оценим базисный и текущий наборы товаров в базисных ценах Р0. Базисный набор в этих ценах стоит р10х10 + р20х20 = М0. Затраты на текущий набор в базисных ценах составляют р10х11 + р20х21 = М║0 . Тогда отношение

показывает изменение реального дохода и называется индексом реального дохода базисно взвешенным, или индексом реального дохода Ласпейреса.

Приведем графическую иллюстрацию оценки изменения реального дохода потребителя. На рис.8 изображены: бюджетная линия базисного периода В0, бюджетная

линия текущего периода В1 и бюджетная линия В║0 , соответствующая доходу М║0 .

Индексу номинального дохода М01 соответствует отношение доходов, образующих бюджетную линию базисного периода В0 и бюджетную линию текущего периода В1.. На рис.7 этому индексу соответствует стрелка между данными бюджетными линиями.

Индексу реального дохода Ласпейреса (базисно взвешенному) соответствует стрелка между бюджетными линиями В║0 и В0 . Наборы товаров, расположенные на этих бюджетных линиях измерены в одних и тех же ценах, ценах базисного периода.

х2

● Х1 ●

В1 В0 x1

Рис.8

Для того, чтобы сделать наборы Х0 и Х1 сопоставимыми, мы повернули бюджетную линию В1 вокруг точки Х1 так, чтобы она стала параллельной В0. Этому повороту на рис.8 соответствует стрелка между соответствующими бюджетными линиям В1 и которая изображает индекс цен Пааше. Действительно, отношение дохода М1( В1) , к доходу М║0 (В║0) представляет собой оценку изменения цен, которая является агрегатным индексом текуще взвешенным, т. е. индексом цен Пааше. Обозначим его Р01(Х1) и запишем его математическую формулу:

Оценив базисный и текущий наборы товаров в базисных ценах, мы можем построить индекс реального дохода базисно взвешенный. Он называется индексом реального дохода Ласпейреса, обозначается I01(P0) и рассчитывается по формуле:

Построим другой индекс реального дохода, текуще взвешенный (Пааше). Для этого оценим набор Х0 в текущих ценах. Обозначим его стоимость при ценах Р1 через М║1. Тогда р11х10 + р21х20 = М║1, а отношение М1/ М║1 является оценкой динамики реального

дохода потребителя и называется индексом реального дохода Пааше. Этот индекс обозначается как I01(P1) и имеет следующее математическое выражение:

Ему соответствует индекс цен Ласпейреса Р01(Х0), который отражает изменение цен и рассчитывается по формуле (42):

На рис.9 изображены индекс реального дохода Пааше и соответствующий ему индекс цен Р01(Х0) Ласпейреса. Индекс цен Ласпейреса отражает поворот бюджетной линии В0 вокруг точки Х0, в результате которого она становится параллельной линии В1, т. е. занимает положение В║1. Величина дохода, соответствующая бюджетной линии В║1, равна стоимости набора Х0 в новых ценах Р1 = (р11, р21), т. е.М║1.

Следовательно, стрелка между бюджетными линиями В1 и В║1 изображает индекс реального дохода текуще взвешенный I01(P1), а стрелка между бюджетными линиями В0 и В║1 соответствует индексу цен Ласпейреса Р01(Х0).

В продолжение анализа индексов реального дохода можно привести два разложения индекса номинального дохода на индекс цен и индекс реального дохода. Покажем, что

М01 = Р01(Х1)∙I01(P0) и (46)

М01 = Р01(Х0)∙I01(P1) . (47)

По определению