Задачи «на смеси и сплавы» с решениями.
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:
- концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c = m/M;
- процентным содержанием данного вещества называется величина с× 100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2 или c(m1+m2), тогда получаем уравнение: c1m1+c2m2 = c(m1+m2).
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Задача №1.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение.
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54 - х) литров кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится 
литров кислоты. Всего за два раза вылили= 30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x + x× = 30.
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров кислоты.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Задача №2.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?
Решение.
1 способ
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г - масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:
0,5x+0,7y=0,65(x+y)
Получаем соотношение 1:3.
Ответ: растворы необходимо смешать в отношении 1:3.
Уравнение к подобным задачам легко составить, если заполнить табличную модель условия задачи:
Концентрация вещества | Масса раствора | Масса вещества | |
1 раствор | 50 % = 0,5 | х | 0,5x |
2 раствор | 70 % = 0,7 | у | 0,7y |
Смесь растворов | 65 % = 0,65 | х + у | 0,65(x + y) |
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.
2 способ
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, 
г – масса чистой кислоты в первом растворе, а 
г – масса чистой кислоты во втором растворе, 
г – масса чистой кислоты в смеси, тогда можно составить равенство: + = ,при упрощении, которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).
С помощью составления таблиц можно решить следующие задачи:
Задача № 3.
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы.
Решение.
Концентрация вещества | Масса раствора | Масса вещества | |
1 раствор | 20 % = 0,2 | х | 0,2x |
2 раствор | 50 % = 0,5 | у | 0,5y |
Смесь растворов | 30 % = 0,3 | х + у | 0,3(x+y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,2x + 0,5y = 0,3(x+y).
Решив уравнение получим 
.
Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 1 : 2.
Задача № 4.
Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором – 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Решение.
Концентрация золота | Масса сплава | Масса золота | |
1 сплав | 35 % = 0,35 | х | 0,35x |
2 сплав | 60 % = 0,6 | у | 0,6y |
Смесь сплавов | 40 % = 0,4 | х + у | 0,4(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,35x + 0,6y = 0,4(x+y).
Решив уравнение получим 
.
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 4 : 1.
Задача № 5.
При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение.
Концентрация соли | Масса раствора | Масса соли | |
1 раствор | 40 % = 0,4 | х | 0,4x |
2 раствор | 48 % = 0,48 | у | 0,48y |
Смесь растворов | 42 % = 0,42 | х + у | 0,42(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,4x + 0,48y = 0,42(x + y)
Решив уравнение получим 
.
Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 3 : 1.
Задача № 6.
Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Решение.
Концентрация меди | Масса сплава | Масса меди | |
1 сплав | 70 % = 0,7 | х | 0,7x |
2 сплав | 40 % = 0,4 | у | 0,4y |
Смесь сплавов | 50 % = 0,5 | х + у | 0,5(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,7x + 0,4y = 0,5(x + y).
Решив уравнение получим .
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 1 : 2.
С помощью составления таблиц легче решаются и задачи другого типа:
Задача № 7.
В ёмкость, содержащую 100 граммов 2% раствора соли, добавили 175 граммов воды, некоторое количество соли и тщательно перемешали полученную смесь. Определите, сколько граммов солибыло добавлено, если известно, что после перемешивания получился раствор, содержащий 2,5% соли.
Решение.
Концентрация соли | Масса раствора, г | Масса соли, г | |
Раствор | 2 % = 0,02 | 100 | 0,02×100=2 |
Вода | 175 | ||
Соль | х | х | |
Смесь | 2,5 % = 0,025 | х + 275 | 0,025(x + 275) |
Составим уравнение по массе вещества:
2 + х = 0,025(x + 275),
х = 5.
Ответ: 5 грамм.
Задача №8.
Для приготовления коктейля используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля жирность которого 4%?
Решение.
Концентрация жира | Масса раствора, г | Масса жира, г | |
Молоко | 2 % = 0,02 | 500 - х | 0,02×(500 - х) |
Мороженое | 10% = 0,1 | х | 0,1х |
Коктейль | 4% = 0,04 | 500 | 500 × 0,04 = 20 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,02×(500 - х) + 0,1х = 20,
х = 125.
Ответ: 125 грамм.
Задача №9.
Имеются два сплава, состоящие из олова и железа. В первом сплаве содержится 55% железа и 45% олова, а во втором – 80% железа и 20% олова. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, в котором масса железа больше массы олова ровно в три раза?
Решение.
Вещество | Концентрация | Масса сплава | Масса вещества | |
1 сплав | Железо | 55% = 0,55 | х | 0,55х |
Олово | 45% = 0,45 | 0,45х | ||
2 сплав | Железо | 80% = 0,8 | у | 0,8у |
Олово | 20% = 0,2 | 0,2у | ||
смесь | Железо | 0,55х + 0,8у | ||
Олово | 0,45х + 0,2у |
Составим уравнение по массе вещества:
0,55х + 0,8у = 3(0,45х + 0,2у),
Откуда получаем 
.
Ответ: первый и второй сплавы надо взять в отношении 1 : 4.
Задача №10.
Сплав золота и серебра, содержащий 80% золота, сплавили с некоторым количеством серебра, в результате чего было получено 20 кг нового сплава, содержащего 70% серебра. Определите, сколько килограммов серебра было добавлено?
Решение.
Концентрация серебра | Масса сплава, кг | Масса серебра, кг | |
1 сплав | 20 % = 0,2 | 20 - х | 0,2(20 - x) |
серебро | х | х | |
Новый сплав | 70 % = 0,7 | 20 | 14 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,2(20 - x) + х = 14,
х = 12,5.
Ответ: 12,5 кг.
Задача №11.
Определите, сколько нужно взять литров пресной воды, не содержащей солей, чтобы, смешав эту воду с некоторым количеством морской воды, содержащей 3% солей, получить в результате 60 литров воды, содержащей 1% солей?
Решение.
Концентрация соли | Объём раствора, л | объём соли, кг | |
Морская вода | 3 % = 0,03 | 60 - х | 0,03(60 - x) |
Пресная вода | х | ||
Смесь воды | 1 % = 0,01 | 60 | 0,6 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,03(60 - x) = 0,6,
х = 40.
Ответ: 40 литров.
Задача №12.
В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во втором – 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится 44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация раствора в первом сосуде?
Решение.
Концентрация кислоты | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | |
1 сосуд | х | 3 | 3х |
2 сосуд | у | 5 | 5у |
Смесь растворов | 44% = 0,44 | 8 | 3,52 |
Из таблицы получаем первое уравнение: 3х + 5у = 3,52.
Концентрация кислоты | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | |
1 сосуд | х | 1 | х |
2 сосуд | у | 1 | у |
Смесь растворов | 40% = 0,4 | 2 | 0,8 |
Из второй таблицы получаем второе уравнение: х + у = 0,8.
Имеем систему уравнений:
3х + 5у = 3,52,
х + у = 0,8.
Решив систему, получим х = 0,24 = 24%.
Ответ: концентрация раствора в первом сосуде 24%.
Задача №13.
В двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй – 250 кг. Если весь сироп перемешать, то получится сироп, в котором 30% сахара. А если смешать равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать 28% сахара. Какова масса сахара, содержащегося во второй бочке?
Решение.
Концентрация сахара | Масса раствора, кг | Масса сахара, кг | |
1 бочка |
| 150 | х |
2 бочка |
| 250 | у |
Смесь | 30% = 0,3 | 400 | 0,3×400 = 120 |
Из таблицы получаем первое уравнение: х + у = 120.
Смешаем равные массы сиропа, а именно, возьмём по 1 кг сиропа из каждой бочки. Составим вторую таблицу:
Концентрация сахара | Масса раствора, кг | Масса сахара, кг | |
1 бочка |
| 1 |
|
2 бочка |
| 1 |
|
Смесь | 28% = 0,28 | 2 | 0,28×2 = 0,56 |
Получаем второе уравнение:
+ 
= 0,56.
Решим систему уравнений: х + у = 120,
+ = 0,56; из которой получим у = 90.
Ответ: 90 кг сиропа во второй бочке.
Задача №14.
Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 %= 0,3 цинка, то он содержит 400×0,3=120 кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:
.
Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет 150*40/100=60 кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:
х-60+75+65=250, откуда х=170 кг
Ответ: 170 кг.
Задача №15.
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?
Решение.
Сначала составим таблицу, которая помогает зрительно воспринимать данные задачи:
Концентрация железа | Масса руды, кг | Масса железа, кг | |
Руда |
| 500 | х |
Руда, после удаления примесей |
| 300 | х-0,125×200=x-25 |
Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна 
.
Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125×200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна 
.
По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=0,2. Составим уравнение:
- 0,2=,
5(x-25)-300=3x,
x=212,5.
Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.
Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:
212,5-25=187,5 (кг)
Ответ: 187,5 кг.
Задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.
