АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С НЕОРДИНАРНЫМИ ПОТОКАМИ И БЛОКИРОВКАМИ
, ,
Саратовский государственный университет
имени , Саратов, Россия
Пусть 
– сеть массового обслуживания с непрерывным временем, неординарными потоками и блокировками переходов требований. Сеть содержит 
систем массового обслуживания 
, 
, и 
требований одного класса. Вероятности перехода требований между системами сети определяются маршрутной матрицей 
, 
, где 
– вероятность того, что требование после обслуживания в системе 
поступает в систему 
. Система , 
, включает одинаковых обслуживающих приборов. Предполагается, что длительности обслуживания требований в системе имеют экспоненциальное распределение с параметром 
, 
, (данные ограничения на значения не влияют на общность полученных результатов); число требований, обслуживание которых завершается одновременно в этой системе, определяется биномиальным распределением с параметром 
. Состояние сети определяется вектором 
, , где 
– число требований, находящихся в системе . Множество состояний сети обозначим 
. Изменение состояния сети происходит вследствие переходов между системами групп требований. Если в результате переходов групп требований будет сформировано состояние сети, для которого выполняется условие 
, где 
, , – заданное ограничение на число требований в системах обслуживания, то переходы групп требований блокируются.
Из описания структуры и алгоритмов функционирования сети непосредственно следует, что ее эволюция может быть описана цепью Маркова 
с непрерывным временем и множеством состояний 
. Интенсивность перехода сети из состояния 
в состояние 
обозначим 
. Рассмотрим переход из состояния в состояние , обусловленный тем, что 
требований покинули систему 
, 
требований поступили в систему и 
требований оставались в системе . Таким образом, можно записать 
и 
, где 
– вектор оставшихся требований, а 
и 
– векторы, представляющие соответственно уходящие и поступающие требования. Все векторы 
и 
далее будем называть векторами перемещений. Соответствующая интенсивность перехода для этого частного перехода между состояниями и обозначается 
. Алгоритм перехода сети из состояния в состояние более подробно описан в работе [1].
Обозначим через 
подмножество состояний множества для некоторого фиксированного 
и введем в рассмотрение определенную на множестве цепь Маркова 
с непрерывным временем и интенсивностями перехода 
, ограниченными на . Пусть 
, 
, – неприводимые множества в по отношению к цепи Маркова . Назовем локальным множеством, а – локальным подмножеством состояний. Состояние может быть элементом различных локальных множеств , это делает возможным переходы из одного локального множества состояний в другое, так как в общем случае для 
.
Для многих классов сетей обслуживания интенсивности перехода могут быть представлены в виде произведения двух функций:
.
Здесь функция 
отображает характеристики обслуживания, то есть дисциплины и интенсивности обслуживания в системах обслуживания, а функция 
– характеристики маршрутизации, то есть маршрутные вероятности и вероятности блокировки переходов требований между системами обслуживания. Часто функция может быть выражена через произвольные заданные функции 
, 
и 
в следующем виде:
, (1)
где функция предполагается строго положительной на , а функции и – неотрицательными.
Предположим, что для любого фиксированного , для которого 
, 
и для 
следующая система уравнений имеет единственное положительное решение 
с точностью до постоянного множителя:
, 
. (2)
Определим на множестве цепь 
с непрерывным временем и интенсивностями перехода 
, которые удовлетворяют следующим соотношениям:
Цепь строго обратима, так как
.
Обозначим через 
стационарное распределение цепи , тогда для стационарной вероятности состояния сети справедливо выражение [2]
, 
, (3)
где 
– нормализующая константа.
Если функция имеет мультипликативную форму, в которой каждый множитель 
связан с соответствующей системой массового обслуживания, то [2, 3]
.
Здесь функция отображает характеристики обслуживания в системе , может зависеть от числа требований, находящихся только в системе , и имеет вид
Тогда функция обслуживания удовлетворяет (1), если положить
, (4)
.
Функция, отображающая характеристики маршрутизации, может быть представлена в виде [2]
, (5)
где 
– маршрутные вероятности переходов между системами групп требований, а 
– функция блокировки.
Рассмотрим сначала случай, когда в сети блокировок переходов требований не производится, в этом случае 
для всех 
, и 
. Пусть существует положительное решение 
уравнений группового трафика
. (6)
Тогда для всех таких, что 
, решением системы (2) является
.
Если существует функция 
такая, что для всех , 
и всех 
, (7)
то 
в (3) определяется равенством
, 
.
При независимой маршрутизации требований в сети с блокировками и без блокировок переходов требований маршрутные вероятности переходов групп требований имеют вид [2]
где
,
представляет число требований, осуществляющих переход из системы в систему 
. Здесь учитываются все возможные переходы требований между системами обслуживания в сети.
Если существует положительное решение 
, маршрутных уравнений
,
то решение уравнений группового трафика (6)
, (8)
и функция
удовлетворяет (7). Вероятности , входящие в соотношение (3), тогда определяются выражением
, .
Теперь рассмотрим случай, когда для каждой системы массового обслуживания задано максимальное число требований, которым разрешено находиться в системе, например, для системы должно быть 
, 
; при этом функция 
имеет вид (5) с
.
Здесь 
, а 
обозначает индикатор события 
, т. е. 
, если событие имеет место, и 
в противном случае. Таким образом, проверка условия возможности перехода групп требований производится для всех систем, но в случае невыполнения этого условия хотя бы для одной системы обслуживания запрещаются переходы всех групп выходящих требований, требования возвращаются в свои исходные системы и начинают обслуживаться повторно.
Предположим, что групповая маршрутизация является обратимой, т. е. решение 
системы уравнений группового трафика (6) удовлетворяет равенству
.
Тогда
(9)
является решением (2) и с , удовлетворяющей (7), 
в (3) определяется равенством
, 
. (10)
Теорема. Для сети с блокировками стационарное распределение имеет вид
, .
Доказательство. Подставляя (8) в (9), имеем
.
Учитывая, что 
и 
, получим
.
Тогда из отношения (7) следует, что
.
С учетом выражений (4) и (10) равенство (3) примет вид
, ,
где
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. И., С., П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46.
2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with state-dependent multiple job transitions // Advances in Applied Probability. 1991. V. 23, № 1. P. 152–187.
3. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. V. 6. P. 71–88.
