Тезивы на Международную конференцию памяти Ефимова, проводимую РГУ на б. о. Лиманчик, сентябрь 2002 года.
Таганрогский государственный педагогический институт, г. Таганрог, Россия
*****@***com
О корректности задачи бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей с краем при внешней связи обобщенного скольжения
Объектом исследования являются (m + 1) – связные поверхности F трехмерного евклидова пространства E3, заданные в декартовой системе координат 
уравнением 
Считаем что край 
принадлежит классу 
. В этом случае, будем говорить, что поверхность F удовлетворяет условиям регулярности. Далее предполагаем, что гауссова кривизна K поверхности F строго положительна вплоть до края, т. е. 
, 
, и поверхность F расположена выпуклостью вниз.
Рассмотрим бесконечно малые деформации F, подчиненные условиям: 1) сферический (или гауссов) образ поверхности поточечно стационарен; 2) вариация 
элемента площади 
в любой точке поверхности удовлетворяет равенству:
, (1)
где H – средняя кривизна поверхности, 
– поле смещений точек поверхности при ее бесконечно малой деформации, 
– единичный вектор нормали поверхности, dg – заданная 2-форма на поверхности, 
– заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности деформации.
Бесконечно малую деформацию, подчиненную условиям 1), 2), будем называть ARG-деформациями.
Пусть вдоль края dF задано векторное поле 
, где 
– единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Oxy, 
– заданная функция.
Будем рассматривать бесконечно малые ARG-деформации поверхности F, подчиненные вдоль края dF условию обобщенного скольжения:
(2)
где h– заданная функция.
Имеют место следующие утверждения.
Утверждение 1. Пусть 
– поле смещений точек поверхности F при ее ARG-деформации. Тогда нахождение бесконечно малой ARG-деформации поверхности F положительной гауссовой кривизны сводится к рассмотрению самосопряженного дифференциального уравнения эллиптического типа относительно функции 
:
(3)
где 
,
При этом по известной функции 
компоненты 
в классе 
однозначно восстанавливаются по формулам:
Утверждение 2. При сделанных ранее предположениях относительно поверхности F, условие (2) представляет задачу с косой производной относительно функции
(4)
где 
– координаты единичного вектора 
– конормаль границы области D уравнения (3), 
.
Следуя [1] задачу (1), (2) назовем корректной в отношении величин g и h, стоящих в правых частях уравнения (1) и краевого условия (2), если ее решение всегда существует, единственно и непрерывно изменяется при непрерывном изменении этих величин.
Имеет место теорема.
Теорема. Пусть (m + 1) – связная поверхность F удовлетворяет условиям регулярности, гауссова кривизна K поверхности положительна вплоть до края и поверхность расположеа выпуклостью вниз. Предположим, что поверхность F подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности и на краю подчинена внешней связи обобщенного скольжения (4). Тогда, если 
, то существует не более чем счетное множество значений 
, 
таких что при заданном , 
краевая задача (1), (2) является корректной. При 
однородная задача 
(1), (2) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, а неоднородная задача (1), (2) разрешима при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функции g, h.
В силу утверждений (1), (2) доказательство теоремы сводится к исследованию разрешимости краевой задачи (3), (4) относительно искомой функции 
Разрешимость задачи (3), (4) исследуется методами работ [2], [3].
Литература.
1. , Обобщенные аналитические функции, М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
2. , , Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964.
3. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд. иностранной лит., 1957.
4. , О регулярности решений уравнений бесконечно малых ARG-преобразований поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях в евклидовом пространстве // Сб.: Отображение поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности. ТГПИ. 1999.
