Функции вычисления систем уравнений

Функции вычисления систем уравнений

Функции решения алгебраических уравнений и систем

find(x,y,...) - возвращает значения х, у, ..., удовлетворяющие ограничениям: равенствам и неравенствам, которые определены в блоке решения уравнений. Число уравнений должно равняться числу неизвестных х, у, ... 'Когда блок решения уравнений ищет одну неизвестную, функция Find возвращает скаляр. В остальных случаях она возвращает вектор, первым элементом которого является искомое значение х, вторым - у и т. д. Перед использованием этой функции необходимо задать начальное приближение для каждой неизвестной. Если система имеет несколько решений, то найденное определяется заданным начальным приближением.

Maximize(f,varl,var2,...) - возвращает значения var1, var2, ..., которые обеспечивают максимальное значение функции f. Перед использованием этой функции необходимо задать начальное приближение для каждой неизвестной, и если ограничения даны, то ключевое слово - Given.

Minerr(x,y,...) - возвращает значения х, у, ..., наиболее близкие к решению системы уравнений, х, у, ... есть скалярные переменные, значения которых ищутся в системе уравнений. Если ищется одна неизвестная, то функция Minerr возвращает скаляр. В остальных случаях она возвращает вектор, первым элементом которого является искомое значение неизвестной х, вторым - у и т. д. Перед использованием этой функции необходимо задать начальное приближение для каждой неизвестной и ключевое слово Given. Если система имеет несколько решений, то найденное определяется заданным начальным приближением.

Minimize(f,var1,var2,...) - возвращает значения var1, var2, ..., которые обеспечивают минимальное значение функции f. Перед ее использованием необходимо задать начальное приближение для каждой неизвестной, и если ограничения даны, то ключевое слово - Given.

polyroots(v) - находит корни полинома и возвращает вектор, содержащий все его корни, коэффициенты которого находятся в v. Предварительно коэффициенты полинома должны быть представлены в виде вектора (рис. 2.30).

Рис. 2.30. Нахождение корней полинома с помощью функции polyroots(v) и графически

Для представления коэффициентов полинома в виде вектора необходимо использовать диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу). При графическом решении можно выбрать различное оформление. Для этого щелкните дважды в области графика и в появившемся диалоговом окне Formatting Currently Selected X-Y Plot (Выбор текущих форматных установок Х-У графика) выберите нужные установки.

root(f(x),x) - находит корень уравнения с одним неизвестным. Возвращает значение х, при котором функция f(x) равна нулю. Использование функции root требует предварительного задания начального приближения. Если исследуемая функция имеет много корней, то найденный будет зависеть от начального приближения. Если оно расположено близко к локальному экстремуму функции f(x), то root может не найти корня, либо он будет далеко от начального приближения. Любое уравнение с одной неизвестной выглядит следующим образом: f(x) = g(x). Его можно преобразовать так, чтобы получилось равенство с нулем в правой части:

f(x) - g(x) = 0.

На рис. 2.31 дано решение нелинейного уравнения с одним неизвестным графически и с использованием встроенной функции root(f(x),x).

Рис. 2.31. Нахождение корня нелинейного уравнения с одним неизвестным графически и с помощью функции root(f(x),x)

Рассмотрим теперь решение системы линейных уравнений с помощью матричного уравнения вида R:=M-1 ´ V. Для этого необходимо вначале сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений - М и вектор-столбец свободных членов системы линейных уравнений - V, а затем столбец коэффициентов в правой части системы линейных уравнений.

На рис. 2.32 дано решение системы линейных уравнений с использованием матричного уравнения R:=M-1 ´ V.

Рис. 2.32. Решение системы линейных уравнений

с использованием матричного уравнения R:=M-1 ´ V

Рассмотрим теперь решение системы линейных уравнений с помощью блока встроенных функций Given - Find (Дано - найти). Перед использованием этого блока необходимо задать начальные приближения решения, пусть и далекие от оптимального. Затем с помощью функции Given надо ввести решаемую систему линейных уравнений и на заключительном этапе использовать функцию Find для решения этой системы.

На рис. 2.33 дано решение системы линейных уравнений с использованием блока встроенных функций Given - Find.

Рассмотрим теперь решение системы нелинейных уравнений с помощью блока встроенных функций Given - Find. Перед использованием этого блока необходимо сперва задать начальные приближения решения, пусть и далекие от оптимального. Затем с помощью функции Given надо ввести решаемую систему нелинейных уравнений и на заключительном этапе использовать функцию Find.

На рис. 2.34 дано решение системы нелинейных уравнений с использованием блока встроенных функций Given - Find.

Рис. 2.33. Решение системы линейных уравнений

с использованием блока встроенных функций Given - Find

Рис. 2.34. Решение системы нелинейных уравнений

с использованием блока встроенных функций Given - Find

Рис. 2.35. Решение параметрического нелинейного уравнения

с использованием встроенной функции root

Рис. 2.36. Решение параметрического нелинейного уравнения графическим способом

Рассмотрим теперь решение параметрического нелинейного уравнения с одним неизвестным, где используется встроенная функция root. Вначале уравнение f(x) = g(x,a) представляется в таком виде:

F(x, a) = f(x) - g(x, a).

А затем с помощью встроенной функции root(F(x,a),x) осуществляется решение. Для получения численных результатов решения нелинейного параметрического уравнения необходимо задать дискретные значения параметра а и начальное приближенное решение. На рис. 2.35 дано решение параметрического нелинейного уравнения с использованием встроенной функции root.

Рассмотрим теперь решение параметрического нелинейного уравнения с одним неизвестным

f(x) = g(x,a) графическим способом. Для этого в одной системе координат построим графики f(x) и g(x,a) для конкретного значения параметра а. В нашем примере значения а приняты равными 1 и 10. На рис. 2.36 приведено решение параметрического нелинейного уравнения графическим способом.

Можно графически представить целое семейство решений параметрического нелинейного уравнения с одним неизвестным на одном графике с различными значениями параметра а. На рис. 2.37 дано решение такого уравнения при различных значениях параметра а графическим способом с различными диапазонами изменения независимой переменной - аргумента функции.

Рис. 2.37. Решение параметрического нелинейного уравнения графическим способом

Функция решения обыкновенных

дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка r называется уравнение

f(x, y(x),y’ (x),...,yr(x))=0,

которое связывает независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные

у’(х), ..., уr(х).

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система уравнений

fi(x; y1(x), y2(x), …y’1(x),y’2(x),…) = 0, (i = 1, 2, …),

которая связывает независимую переменную х, искомые функции y1 = y1(х), y2 = y2(х), ... и их производные.

rkfixed (у, х1, х2, n, F) - выдаст таблицу результатов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка с фиксированным шагом интегрирования. Эта функция имеет пять аргументов:

у - вектор начальных значений искомых функций;

х1 - начальное значение независимой переменной;

х2 - конечное значение независимой переменной;

n - фиксированное число шагов интегрирования;

F - правые части системы уравнений, записанные в векторе в символьном виде. Функция rkfixed (у, х1, х2, n, F) выдает таблицу результатов решений с (m + 1) столбцами и n строками (m число уравнений в системе). Нулевой столбец таблицы - это текущие значения независимой переменной (аргумента) х. Они определяются через х1, х2 и n. Последующие столбцы решения определяют значения ординат искомых y1(х), y2(х), ... для соответствующих текущих значений аргумента х.

На рис. 2.38 показать операции с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F) для решения дифференциального уравнения второго порядка. Это уравнение представлено системой обыкновенных дифференциальных уравнений в явной форме Коши.

Первый шаг в подготовке процесса решения - создание правой части системы уравнений с записью ее в вектор F в символьном виде.

На втором шаге определяют:

Рис. 2.38. Подготовка к решению дифференциального уравнения

с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F)

• вектор начальных значений искомых функций – у;

• начальное и конечное значение независимой переменной - времени протекания исследуемого процесса tl и t2;

• (фиксированное число шагов интегрирования - n.

На третьем шаге возможны два способа представления результатов решения: в графическом и табличном виде. На рис. 2.39 дано графическое представление результатов решения системы с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F).

Результат решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F) в Mathcad представлен в виде таблицы - определенным образом построенной матрицы. При этом первый столбец таблицы (матрицы) содержит значения независимой 'переменной па каждом шаге интегрирования. Второй - значения первой искомой функции для заданного значения независимой переменной на каждом шаге интегрирования, третий - значения второй искомой функции и т. д. Если результаты решения системы дифференциальных уравнений присвоим, например, матрице Z, то значения независимой переменной на каждом шаге интегрирования будут содержаться в первом столбце матрицы Zj,1, где индекс j определяет число рассматриваемых значений и должен быть заранее известен.

Значения первой искомой функции для заданных значений независимой переменной на каждом шаге интегрирования будут содержаться во втором столбце матрицы Zj,2. Значения второй искомой функции будут находиться в третьем столбце матрицы Zj,3 и т. д. Зная значения независимой переменной и соответствующие значения искомых функций, легко построить графические зависимости, что и показано на рис. 2.39.

Щелкните по пункту Graph (График) падающего меню пункта Insert (Вставка) главного меню. В появившемся всплывающем меню щелкните по пункту X-Y Plot (График X-Y). В месте установки визира появится шаблон для построения декартова графика. Эту же операцию можно выполнить гораздо быстрее, нажав клавишу @. В метке под осью абсцисс введите вектор Zj,1 - значения независимой переменной. В метке слева от оси ординат - вектор искомой функции (Zj,2, Zj,3, …).

На рис. 2.40 дано табличное представление результатов решения системы дифференциальных уравнений с использованием функции rkfixed (y,x1,x2,n,F).

Рис. 2.39. Графическое представление результатов решения

системы дифференциальных уравнений с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F)

Рис. 2.40. Табличное представление результатов решения

системы дифференциальных уравнений с использованием функции rkfixed (у, х1, х2, n, F)